孔令德

（太原工業(yè)學院 計算機工程系，山西 太原030008）

0 引 言

20世紀40年代計算機發(fā)明后，很多復雜的幾何問題都借助計算機來解決，這促進了計算幾何的誕生。計算幾何是在以計算機為核心的信息環(huán)境下新產生的一門幾何學，是對物體的形狀信息進行的表示、分析與綜合，是由函數(shù)逼近論、微分幾何、代數(shù)幾何、數(shù)值分析和計算機科學組成的一門相互交叉的學科[1]。它的出現(xiàn)使幾何學從傳統(tǒng)時代進入數(shù)字化定義的信息時代。我國《高等教育法》規(guī)定：“高等教育的任務是培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實踐能力的高級專門人才”，這個法律條文明確了大學培養(yǎng)創(chuàng)新人才的任務。為適應數(shù)字化信息時代的需求，高等學校加強計算幾何教學, 培養(yǎng)學生實踐創(chuàng)新能力是深化教學改革的一條重要途徑，特別是針對應用型本科院校的相關專業(yè)，如數(shù)字媒體技術專業(yè)、數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、計算機科學與技術專業(yè)以及機械設計與制造專業(yè)等，將計算幾何課程列入高年級本科生和碩士生的教學計劃中有著較為重要的現(xiàn)實意義。本文所述的計算幾何主要指的是曲線曲面建模內容，國際上也稱為計算機輔助幾何設計，簡稱為CAGD。

1 計算幾何教學現(xiàn)狀及存在的問題

計算幾何研究方面，國外有皮格爾與蒂勒合著的經典教材《The NURBS Book》，重點介紹了關于NURBS的理論和算法[2]。作為NURBS的主要研究者，皮格爾與蒂勒提出“要想從事CAD，必須了解NURBS”。NURBS是計算幾何的集大成者，已經成為形狀的表示、設計和數(shù)據(jù)交換的工業(yè)標準。國內，蘇步青與劉鼎元先生于1981年合著的影響深遠的《計算幾何》，開啟了我國計算幾何研究的先河。北京航空航天大學的施法中先生在高等教育出版社出版的《計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條》已經成為計算機幾何領域的翹楚，內容涵蓋了國內外近年來的最新研究進展以及施法中先生的創(chuàng)新[3]。這些教材內容廣、理論深、研究成果水平高，對于本科生來說，由于先行課基礎知識并不充分，學習起來有一定的難度。

目前，國際上已有許多知名大學的相關專業(yè)，面向高年級本科生和碩士生開設了“計算幾何”課程。我國的計算幾何研究起步晚，開設“計算幾何”課程的大學也較少，且主要面向對象是碩士生和博士生[4]。適合本科教育的計算幾何教材相對較少，強調理論算法和實踐相對應的教材更是少之又少，這與信息社會發(fā)展的要求不相匹配，與高等本科教育培養(yǎng)人才目標不相對稱。因此，迫切需要整合適合本科教學的計算幾何課程的內容，拓寬學生的知識領域，提高學生的實踐創(chuàng)新能力，為學生的就業(yè)提供一個重要砝碼，為學生的繼續(xù)深造打下良好扎實的基礎。

2 計算幾何課程的教學內容組織

教學內容決定了學生學習知識的范圍和深度，直接影響著高等教育培養(yǎng)學生的目標和質量。考慮到高年級本科生的基礎和本課程對先行課知識的要求，整合課程內容的出發(fā)點是基于計算幾何的基本理論，使用Visual C++編程生成曲線曲面圖形，這些圖形包括二維曲線圖形和三維曲面圖形，而三維曲面圖形主要采用最簡單的平行投影講解。

2.1 課程的教學目標

通過該課程的學習，學生能夠了解計算幾何的研究內容，掌握自由曲線曲面的基本概念及基本理論，熟悉曲線曲面造型技術的主要算法，并能使用面向對象的編程語言獨立設計自由曲線、曲面模型。在實踐中培養(yǎng)學生分析問題和解決問題，獨立創(chuàng)新的能力，為學生走向相關的工作崗位或繼續(xù)深造奠定良好的基礎。

2.2 課程教學內容設置

課程教學內容分為理論教學、實驗教學及課程設計3個環(huán)節(jié)。理論教學為48個學時，內容包括緒論、圖形程序設計基礎、三次插值曲線、Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面、NURBS曲線曲面6個章節(jié)；實驗教學為12學時；課程設計為一周。

（1）緒論安排4學時，介紹自20世紀70年代中期以來，該學科所取得的重要理論成果，重點介紹矢量代數(shù)，曲線曲面的參數(shù)表示，連續(xù)性，矢函數(shù)的導矢、切矢、曲線的自然參數(shù)方程，活動標架、曲線的曲率和撓率等基本知識[5]。教師需提供設計矢量類源程序代碼。

（2）圖形程序設計基礎安排6學時，介紹MFC上機操作步驟及基本繪圖函數(shù)；為了使用鍵盤方向鍵旋轉觀察三維物體，講解了制作網(wǎng)格模型動畫的雙緩沖技術；以立方體與球體為例，介紹三維網(wǎng)格模型動畫案例的設計過程。課堂需要的學習資料包括繪制藍色直線段、金剛石圖案顯示位圖、旋轉直線，繪制金剛石圖案和立方體線框模型、球體線框模型源程序。

（3）三次插值曲線安排6學時，主要講解三次樣條曲線、三次參數(shù)樣條曲線、Hermite樣條曲線和Cardinal曲線。課堂需要的學習資料包括繪制三次樣條曲線、三次參數(shù)樣條曲線源程序。

（4）Bezier曲線曲面安排10學時，主要講解Bezier曲線曲面的定義和性質，Bezier曲線的幾何作圖法，Bezier曲線的拼接法，Bezier曲線的升階與降價、雙三次Bezier曲面的拼接法等內容。課堂需要的學習資料包括Bezier曲線的定義算法、de Casteljau遞推算法、逼近整圓算法、雙三次Bezier曲面算法、Bezier球面三維網(wǎng)格模型算法、Bezier旋轉曲面算法的源程序。

（5）B樣條曲線曲面安排12學時，講解B樣條基函數(shù)的定義、準均勻B樣條曲線、分段Bezier曲線、非均勻B樣條曲線，重點介紹非均勻B樣條曲線、雙三次B樣條曲面。課堂需要的學習資料包括二（三）次均勻B樣條曲線算法、雙三次均勻B樣條曲面算法和非均勻B樣條曲線曲面算法的源程序。

（6）NURBS曲線曲面安排10學時，講解NURBS曲線曲面的定義和性質、權因子對NURBS曲線形狀的影響、NURBS曲線的節(jié)點插入、任意圓弧的NURBS表示、NURBS曲面繪制花瓶等內容。課堂需要的學習資料包括NURBS曲線算法、NURBS曲面算法、NURBS球算法和NURBS圓環(huán)算法的源程序。

實踐教學內容設置為12個學時，提供6個實驗項目[6]，見表1。實驗內容涵蓋Bezier曲線、B樣條曲線、NURBS曲線和NURBS曲面，實驗環(huán)境為Visual Studio 2010。教師在實驗課上講解實驗項目，學生課后完成實驗拓展項目。在學習完課程內容后，綜合運用所學知識，完成2個課程設計項目，見表2。

3 案例+翻轉課堂教學法

3.1 案例化教學法

在教學過程中，先運行案例演示效果讓學生清楚地了解以該理論為基礎的程序所能完成的功能，然后根據(jù)數(shù)學公式講解算法，讓學生了解復雜的數(shù)學公式如何編程實現(xiàn)，最后對照算法，講解代碼的實現(xiàn)。運行程序，可視化效果會激發(fā)學生的學習熱情，有助于提高教學效果。教師從案例出發(fā)，現(xiàn)場編程實踐，穿插講解計算幾何的數(shù)學公式，然后設計編程思路。這種案例化教學方法[7]既講授了計算幾何的數(shù)學理論，又講解了編程實現(xiàn)方法，提高了學生數(shù)學公式轉化為圖形效果的應用能力。

表2 計算幾何課程設計項目

3.2 翻轉課堂教學法

教材可選用諸如筆者的《計算幾何算法與實現(xiàn)（Visual C++版）》之類，學生可隨時掃描教材中為每個例子配置的二維碼，下載案例源程序。通過課前預習和課后復習，方便教師采用翻轉課堂模式進行教學。

4 教學評價方法

由于有了上機操作，課程的考核不再采用死記硬背的筆試方法進行，而是采用以編程操作為主的上機考核。通過建立過程評價、全面評價和能力導向的多元化考核評價體系，推動學生積極參與課堂教學，實現(xiàn)對學生知識轉化為能力的客觀評價[8]。

考核分為平時考核和期末考核。平時課堂考核占總分的40%，實驗占30%，期末獨立完成大型作業(yè)占30%。平時作業(yè)考核分小組進行，依據(jù)具體情況將全班同學分成若干組，定期輪流考核一組。完成課后作業(yè)，每人交全部的源代碼與執(zhí)行文件的電子檔，依次按要求進行演示，演示中和演示后回答提問。實驗部分的考核根據(jù)實驗項目完成情況進行，按完成實驗要求的情況和實驗實現(xiàn)效果評定成績。期末的大型作業(yè)要求交設計報告，包括源代碼和說明書。

5 課程特色

1）實現(xiàn)以能力培養(yǎng)為導向的教學目標。

數(shù)學的研究對象是“數(shù)”與“形”，幾何學是研究“形”的一門數(shù)學學科。計算幾何的教學內容涉及Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面和NURBS曲線曲面。其中，“數(shù)”是指Bezie、B樣條、NURBS等曲線曲面理論中數(shù)學公式的嚴格推理，“形”是指借助于計算機的強大計算能力，將曲線曲面的數(shù)學公式轉化為可視化的圖形表達。分形幾何的創(chuàng)始人Manderbrot曾經說過，“看到數(shù)學公式，我首先想到的是圖形，圖形的問題解決了，數(shù)學的問題也就解決了”?！皵?shù)”和“形”的特征在計算幾何課程中有著非常明顯的體現(xiàn)。課堂上，通過編寫案例，使學生將“數(shù)”和“形”的轉換結合起來，既培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、又培養(yǎng)學生的動手能力和創(chuàng)新能力。

2）創(chuàng)新線上和線下課程教學新模式。

教材中提供二維碼的方式便利學生隨時隨地利用手機、平板電腦等移動終端學習。學生課前掃一掃，可以通過閱讀源代碼、運行程序來學習算法，并帶著問題預習課本相關內容。課堂上，通過老師現(xiàn)場編程講解，可以給出同一個案例的多種編程實現(xiàn)方式，學生的學習效率會大幅提高。如果課堂學習尚有疑難未解，課后再掃一掃，不僅可以復習鞏固所學知識，還可以為實踐應用提供參考。在自媒體時代，教學二維碼為深化教學內容開辟了一條便捷的途徑，符合學生的學習習慣，有助于進行碎片化學習[9]。

6 結 語

對于計算機專業(yè)的學生而言，在正確的數(shù)學理論推導下，更加重視幾何結論的編程實現(xiàn)。該課程建設的主要內容是使用面向對象程序設計語言，對Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面、NURBS曲線曲面公式進行編程實現(xiàn)，從圖形化的角度闡述深奧的數(shù)學公式，同時給出相關算法和源程序，并提供上機實驗及課程設計項目。理論與實踐一體化的教學內容更符合計算機專業(yè)學生編程能力強、數(shù)學理解能力相對較弱的特點，不僅加深了學生對計算幾何理論的理解，而且強化了學生的實踐動手能力。計算機幾何課程的改革難點是對教師的現(xiàn)場編程能力要求較高，這進一步要求應用型院校加強雙師型教師的培養(yǎng)力度。

[1] 蘇步青, 劉鼎元. 計算幾何的新發(fā)展[J]. 自然雜志, 1981, 4(10): 729-734.

[2] Piegl L, Tiller W. 非均勻有理B樣條[M]. 2版. 趙罡, 穆國旺, 王拉柱, 譯. 北京: 清華大學出版社, 2010.

[3] 施法中. 計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013.

[4] 吳壯志. 關于計算機系開設“計算幾何”課程的建議[J]. 計算機教育, 2009(21): 33-35.

[5] 朱心雄. 自由曲線曲面造型技術[M]. 北京: 科學出版社, 2000: 7-14.

[6] 孔令德. 計算幾何算法與實現(xiàn)（Visual C++版）[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2017.

[7] 孔令德. 計算機專業(yè)應用型本科人才培養(yǎng)實踐[J]. 計算機教育, 2016(12): 17-20.

[8] 馬雪英, 王桂平. 以能力為導向的程序設計類課程教學體系[J]. 計算機教育, 2011(4): 74-78.

[9] 姜強, 趙蔚, 王朋嬌. 碎片化學習視域下基于智能手機的大學生移動學習認知研究[J]. 現(xiàn)代遠距離教育, 2014(1): 37-42.