楊傳岡

（鹽城市第二小學(xué)，江蘇 鹽城 224005）

一、范希爾理論概述

在學(xué)生學(xué)習(xí)圖形與幾何的研究中，范希爾的幾何思維水平體系是最有影響的理論之一。[1]

1.幾何思維水平理論

荷蘭著名學(xué)者范希爾的幾何思維水平理論核心內(nèi)容有兩個：一是幾何思維水平分的五個層次,二是與之相對應(yīng)的五個教學(xué)階段。其中幾何思維的五個水平由低到高分別表示為層次0到層次4。具體地說，層次0是視覺（visuality）水平，學(xué)生只能借助圖像獲得一些基本概念，但無法厘清概念之間的相互關(guān)系；層次1是分析(analysis)水平，學(xué)生能根據(jù)概念解決簡單問題，了解一些幾何概念間的相互關(guān)系以及公式間的聯(lián)系，能結(jié)合圖形獲得一些結(jié)論；層次2是非形式化的演繹（informaldeduction）水平，學(xué)生能從不同角度理解概念的意義，能根據(jù)圖形或其他輔助材料進行推理和理解，從而發(fā)現(xiàn)并描述一些規(guī)律；層次3是形式化的演繹（formaldeduction）水平，學(xué)生能借助概念和性質(zhì)進行推理和論證；層次4是嚴密性(rigor)的數(shù)學(xué)水平，學(xué)生能在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中進行嚴密推理。他認為根據(jù)這五個層次標準可以診斷和評價學(xué)生的幾何思維水平。

2.五個教學(xué)階段理論

對應(yīng)幾何和思維的五個水平，范希爾提出了五個教學(xué)階段：階段1，學(xué)前咨詢；階段2，引導(dǎo)定向；階段3，闡明；階段4，自由定向；階段5，整合。該理論認為，在第五個階段結(jié)束時，新的思維水平就獲得了。具體地說：階段1，教師和學(xué)生進行雙向交談，教師了解學(xué)生如何理解指導(dǎo)語，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題；階段2，教師仔細安排活動順序，使學(xué)生認識學(xué)習(xí)的方向，逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特性；階段3，通過前面的經(jīng)驗和教師最低程度的提示，學(xué)生明確了學(xué)習(xí)內(nèi)容的意義，表達自己對內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法，開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)；階段4，學(xué)生碰到多步作業(yè)或能用不同方式完成作業(yè)，在尋找方法和解決問題的過程中，學(xué)生獲得了經(jīng)驗，通過自己確定學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向，他們對學(xué)習(xí)對象之間的關(guān)系越來越明確；階段5，學(xué)生回顧自己所用的方法并形成一種觀點，對象和關(guān)系被統(tǒng)一并內(nèi)化為一個新的思維領(lǐng)域。教師對學(xué)生的理解做一個全面評述，幫助學(xué)生完成這一過程，而不要輕易提出新的或不一致的觀點。

3.幾何思維水平特點

范希爾理論認為學(xué)生的幾何思維水平特點有：（1）次序性，學(xué)生的幾何思維水平必須循序漸進地發(fā)展；（2）進階性，學(xué)生提升幾何思維水平必須經(jīng)過教師的教學(xué)，而不是隨著年齡增長或心理成熟自然提升的；（3）內(nèi)隱性及外顯性，學(xué)生某個思維水平的內(nèi)隱性質(zhì)會成為下個水平的外顯性質(zhì)；（4）語言性，每個層次都有專門的階段性語言符號；（5）適配性，如果學(xué)生思維和教師教學(xué)不在同一水平，教師就無法獲得預(yù)期的教學(xué)效果；（6）跳躍性，學(xué)生的思維水平是一個“跳躍”的過程，而不是一個連續(xù)性過程。

二、范希爾理論具體運用

范希爾理論在幾何評價上的應(yīng)用主要包括兩個方面：一是在每個思維水平上設(shè)計出相應(yīng)的測試題；二是利用編制好的習(xí)題考查學(xué)生的思維水平。從這個意義上來說，范希爾理論是評測學(xué)生具體幾何思維水平的一項重要工具，教師可以借助范希爾理論評價小學(xué)生幾何開放題問題解決過程中所呈現(xiàn)出的思維水平。

所謂數(shù)學(xué)開放題，就是“條件開放或結(jié)論開放的問題。也就是說，問題的條件和結(jié)論之間不存在充分必然的聯(lián)系，這樣的問題稱為數(shù)學(xué)開放題”。根據(jù)命題要素，數(shù)學(xué)開放題包括“條件開放題、策略開放題、結(jié)論開放題和綜合開放題”[2]。教師恰當應(yīng)用范希爾理論評價小學(xué)生的幾何思維學(xué)習(xí)水平，能有效改進“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)，更合理地推動學(xué)生幾何思維水平發(fā)展。

1.條件開放題中范希爾理論的思維評價

條件開放題就是有多余條件或條件不全的幾何開放題。條件開放題需要學(xué)生通過觀察、分析和聯(lián)想等方法處理題目所提供的信息，梳理、歸并、分析有用信息，及時發(fā)現(xiàn)干擾信息或欠缺信息，從而排除干擾或補全條件解決問題。

所謂條件不全型開放題，就是少條件的幾何開放題。這種開放題因為缺條件，所以需要學(xué)生自主補充條件才能順利解決。從學(xué)生根據(jù)問題情境所補充的不同條件，可以推斷該生幾何思維水平所處的具體層次。

【案例1】一個長方體的長6厘米，寬4厘米，高1厘米，（ ）它的表面積增加多少平方厘米？

層次0：學(xué)生認識長方體，但不知道怎樣才能增加長方體的表面積，無法補充條件。

層次1：補充問題“把長方體切開”。（學(xué)生能想到把長方體切開后表面積會增加，但根據(jù)補充的信息無法計算結(jié)果。）

層次2：補充問題“把長方體切成2個相同的小長方體”。（學(xué)生對長方體圖形特征比較熟悉，想到切開長方體后表面積會增加，能根據(jù)信息按橫切、豎切、縱切進行簡單計算。）

層次3：補充問題“把長方體切成3個相同的小長方體”。（多切下一個小長方體，表面積增加更多，計算面積的方法復(fù)雜些，思維水平也高些。）

層次4：補充問題“把長方體切成4個(或6個、8個……）相同的小長方體”。（學(xué)生知道把長方體橫著切開、豎著切開或縱著切開后，表面積都會增加，并能按照橫切、豎切、縱切和既橫切又豎切等不同情況分別計算增加的面積，思維無疑復(fù)雜多了，層次也更高。）

幾何條件多余型開放題就是問題中條件太多，需要學(xué)生根據(jù)問題靈活選擇合適條件解決問題。這種開放題能有效評價學(xué)生的判斷能力、選擇能力和解決問題的能力。

【案例2】桌上有四種規(guī)格的長方形、正方形硬紙片各若干張：（1）長6厘米，寬4厘米；（2）長6厘米，寬5厘米；（3）長5厘米，寬4厘米；（4）邊長4厘米。如果要從中選6張硬紙片粘貼成一個長方體或正方體，可以怎樣選？紙盒的表面積是多少平方厘米？（粘貼處材料忽略不計）

層次0：認識長方體和正方體，知道這些硬紙片能粘貼成長方體或正方體，但不知道怎么選，更不知道具體的粘貼方法。

層次1：能根據(jù)正方體特征選擇6張邊長4厘米的正方形紙片，粘貼成正方體，并能根據(jù)信息進行簡單計算。（6張正方形紙片相對容易選擇，正方體表面積也容易計算。）

層次2：能根據(jù)長方體特征選擇6張長方形紙片，6張分成3組，每組2張相同的硬紙片，粘貼成長方體，并用不同方法計算出它們的表面積。（選擇長方形要根據(jù)長方體特征選擇，計算表面積也有不同方法，思維水平稍微復(fù)雜些。）

層次3：能根據(jù)長方體特征選擇2張正方形紙片和4張長5厘米、寬4厘米（或4張長6厘米、寬4厘米）的長方形紙片，粘貼成長方體，并用不同方法計算出它們的表面積。（這兩種長方體都有2個相對面是正方形，選擇時要保證長方形和正方形匹配；計算表面積時，不同的計算方法能體現(xiàn)學(xué)生不同的思維水平。）

層次4：能靈活選擇6張紙片，把各種情況都考慮全面，并能用不同方法計算出它們的表面積：（1）12條棱分3組，每組4條棱相等的長方體，即2張長6厘米、寬4厘米的長方形紙片，2張長6厘米、寬5厘米的長方形紙片和2張長5厘米、寬4厘米的長方形紙片；（2）12條棱中有8條棱相等，即4張長6厘米、寬4厘米的長方形紙片，2張邊長4厘米的正方形紙片或4張長5厘米寬4厘米的長方形紙片和2張邊長4厘米的正方形紙片；（3）12條棱都相等，即6張邊長4厘米的正方形紙片。（能分類選出各種符合要求的紙片，能計算甚至用最優(yōu)化方法計算表面積，無疑代表了小學(xué)生最高的思維水平。）

2.結(jié)論開放題中范希爾理論的思維評價

結(jié)論開放題就是條件全，學(xué)生根據(jù)習(xí)題信息獲得不同結(jié)論的幾何開放題，也就是結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題。用結(jié)論開放題評價學(xué)生的思維，能有效區(qū)分他們的觀察、比較、分析、綜合、猜想、歸納或類比等思維水平，從而評判學(xué)生思維的深度和廣度，思維的發(fā)散和聚斂。

【案例3】拿一個正方體紙盒，沿著一些棱剪開，它的展開圖是怎樣的？

層次0：學(xué)生認識正方體，但對一個正方體紙盒的棱按照什么樣的次序順序剪開無從下手，也就無法看到最終的表面展開圖。

層次1：學(xué)生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，獲得“141”型展開圖（第一排一個正方形，第二排四個正方形，第三排一個正方形，其中第一和第三排的正方形位置可以任意調(diào)整，參見圖1）中的一個或幾個。（這種類型的展開圖比較多，是學(xué)生最容易剪開后看到的展開圖，有的看似不屬于某類型，但旋轉(zhuǎn)一下就是其中的一種了。）

圖1

層次2：學(xué)生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，不但能獲得“141”型展開圖，而且能獲得“231”型展開圖中的一種或幾種（第一排兩個，第二排三個，第三排一個，其中第三排的一個正方形位置可以調(diào)整，參見圖2）。（這種展開圖相對多些，也是學(xué)生剪開后容易看到的。）

圖2

層次3：學(xué)生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，不但能獲得“141”型展開圖，而且能獲得“231”型展開圖，還能獲得“222”型（每排都是兩個正方形，但它們的位置錯開，參見圖3）展開圖。（“222”型展開圖是學(xué)生剪開后很少看到的，代表了學(xué)生的較高思維水平。）

層次4：學(xué)生根據(jù)正方體特征沿棱剪開，除了能獲得“141”“231”和“222”型展開圖，還能獲得“33”型（兩排都是三個正方形，但位置錯開，參見圖4）展開圖。（這種展開圖是學(xué)生剪開后幾乎看不到的，代表了學(xué)生思維的最高水平。）

圖3

圖4

3.策略開放題中范希爾理論的思維評價

策略開放題就是從不同角度思考同一個問題，用不同策略解決問題，結(jié)果殊途同歸的幾何開放題。解決策略開放題時，學(xué)生要變換思維角度，用不同策略解決問題。這類問題解決過程有利于評價學(xué)生思維的廣闊性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性。

【案例4】王大爺要用16根1米長的柵欄靠墻圍一塊長方形菜地。他可以怎樣圍？

層次0：認識長方形，知道長方形特征，但無法按要求圍出長方形。

層次1：知道長方形特征，能用擺小棒的策略圍出長方形中的一種或幾種。（操作最容易，也是學(xué)生最喜歡的策略。）

層次2：知道長方形特征，能用畫圖策略畫出圖5長方形中的一種或幾種。（畫圖相對操作而言，比較抽象，說明學(xué)生思維水平的提高。）

圖5

層次3：知道長方形特征，能用列表策略解決問題（如表1）。（列舉相對畫圖抽象程度更高，而且長和寬是相對而言的，需要學(xué)生厘清長方形兩條邊的關(guān)系，并且有序列舉。）

表1

層次四：知道長方形特征，能用一一列舉的策略找出符合要求的長方形的長和寬：1,14；2,12；3,10；4,8；5,6；6,4或7,2。（一一列舉更抽象，需要學(xué)生有序，不重復(fù)，不遺漏。）

4.綜合開放題的范希爾理論評價

綜合開放題就是學(xué)生根據(jù)問題情境，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識或其他學(xué)科知識解決問題的幾何開放題。這種開放題不受單一知識的束縛，需要學(xué)生根據(jù)已有知識經(jīng)驗、生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗等綜合應(yīng)用所學(xué)過的知識和形成的技能發(fā)現(xiàn)解決問題的最佳途徑。應(yīng)用范希爾理論有助于評價學(xué)生全面考慮問題、綜合應(yīng)用知識的思維水平。

【案例5】如何測量一團橡皮泥的體積？

層次0：知道體積的意義，知道橡皮泥有體積，但不知道如何進行測量。

層次1：知道橡皮泥有體積，能把橡皮泥壓成長方體或正方體，然后測出長、寬、高或棱長，并根據(jù)體積公式計算出體積。（一團橡皮泥是不規(guī)則物體。壓成長方體或正方體是把不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體的體積進行測量和計算，屬于常規(guī)思維。）

層次2：在量杯中倒入一些水（保證橡皮泥放進被淹沒）后，記下水面的刻度，然后把橡皮泥放進量杯（水不溢出），看水面升高后的刻度，根據(jù)兩次水面的刻度差計算橡皮泥的體積。（水不放滿，把橡皮泥放入水中，計算水面升高部分的體積體現(xiàn)了學(xué)生的正向思維。）

層次3：把橡皮泥放進一個量杯中，然后倒入一些水，當水正好淹沒橡皮泥就停止倒水，記下水面的刻度，然后取出橡皮泥，記錄下水面下降后的刻度，先算出兩次水面的刻度差再根據(jù)圓柱體積計算公式算出下降水的體積，也就是橡皮泥的體積。（水不放滿，把橡皮泥從水中取出，計算水面下降部分的體積，展現(xiàn)了學(xué)生較好的逆向思維。）

層次4：先在一個水槽中放一個玻璃杯，接著在玻璃杯中倒?jié)M水，然后把橡皮泥放入玻璃杯中，水會溢出，最后把溢出的水倒入量杯中，就得到水的體積，也就是橡皮泥的體積。（把橡皮泥的體積轉(zhuǎn)化為溢出水的體積，展現(xiàn)了小學(xué)生的最高思維水平。）

三、范希爾理論運用反思

1.借力打力，改進教學(xué)設(shè)計

大衛(wèi)·奧蘇貝爾（DavidAusubel）曾說：“如果我不得不把教育心理學(xué)的所有內(nèi)容提煉成一條原理的話，我會說‘影響學(xué)生學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要先探明這一點，然后再進行相應(yīng)的教學(xué)?！睆倪@個意義上來說，教師編制幾何開放題，并采用范希爾理論進行評測，可以了解小學(xué)生思維發(fā)展的現(xiàn)狀、小組學(xué)生之間的差異、班級學(xué)生整體的思維水準，但這種測驗結(jié)果往往受編制的開放題的難度、教師使用的時機等外在因素的影響。為了準確了解同年齡小學(xué)生的幾何思維發(fā)展水平，我們可以在平行班級開展同步評測，也可從更大的空間維度上展開不同層次學(xué)校相同年段學(xué)生的思維評測，以確定一個合情、合理、合度的基準評價，并與文獻資料比對做出適當?shù)卣{(diào)適，力求與本校、本班學(xué)生實際相吻合。

與此同時，教師要積極展開基于基準評價的幾何開放題的研發(fā)，以更貼切的幾何開放題滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，助力學(xué)生幾何思維發(fā)展水平向更高階邁進，促進學(xué)生心智發(fā)展。我們必須時刻清醒地認識到，評測只是輔助教學(xué)的一種手段，其核心要義旨在幫助教師了解學(xué)生之間的差異性，從而確定更加科學(xué)、合理的方案以應(yīng)對他們個性化的學(xué)習(xí)需求，從而幫助他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、更好地發(fā)展幾何思維水平。

2.關(guān)注“學(xué)力”，培育核心素養(yǎng)

盡管新課程改革已歷時十幾年，但一些傳統(tǒng)觀念在人們的心目中還是根深蒂固，“教學(xué)中，學(xué)校和教師常常因‘應(yīng)試學(xué)力’的成就而忽略了‘真實學(xué)力’的追求。應(yīng)該明確一點，學(xué)習(xí)主權(quán)者的‘真實學(xué)力’是一種發(fā)展性‘學(xué)力’。”[3]數(shù)學(xué)開放題引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就在于試圖嘗試改變?nèi)藗兊倪@一觀念，讓更多的教師從起始年級起就關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)“學(xué)力”。

教師在幾何教學(xué)中必須注重“培養(yǎng)學(xué)生抽象的幾何思維能力、想象圖形運動位置的能力，針對抽象事物及運動的規(guī)律建立空間幾何概念。要求學(xué)生能應(yīng)用抽象的符號和標準的幾何圖形來表示幾何事物，能夠在分析幾何問題時應(yīng)用數(shù)學(xué)思維。”[4]顯然，空間與幾何知識對小學(xué)生的“學(xué)力”是有一定挑戰(zhàn)力的，幾何開放題的挑戰(zhàn)尤甚。波利亞曾說過，學(xué)習(xí)任何知識的最近途徑就是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。從這個意義上來說，學(xué)生學(xué)習(xí)活動中，教師應(yīng)該提供更為豐富的實物給小學(xué)生觀察、操作、實驗，讓學(xué)生經(jīng)歷點動成線、線動成面、面動成體的發(fā)展變化過程，并適時從具象向抽象轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間思維能力，在幾何開放題問題解決的過程中，養(yǎng)成靜思默想、畫圖嘗試、協(xié)作互動的習(xí)慣，從“不會”到“會”，從“不能”到“能”的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)品格塑造、知識獲得、思想領(lǐng)悟、經(jīng)驗積累、技能形成，進而培塑良好的“學(xué)力”。

3.關(guān)注差異，實施重點關(guān)懷

教學(xué)經(jīng)驗表明，不同學(xué)生對難點知識所表現(xiàn)出來的學(xué)習(xí)態(tài)度和思維品質(zhì)各不相同。特別是在學(xué)習(xí)過程中，由于與生俱來的差異及后期形成的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維方式差異以及教師對“學(xué)會”的過度關(guān)注，往往直接拉開學(xué)生之間學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)成效的差異。這也是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)問題結(jié)構(gòu)單一、評價方式單一造成學(xué)困生數(shù)量趨多且低齡化傾向的一個重要原因。

開放題學(xué)習(xí)的主要價值取向就是給更多的孩子增加成功解決數(shù)學(xué)問題的可能性，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幸福感、成功感，感悟數(shù)學(xué)魅力，獲得良好的數(shù)學(xué)教育。

教師在基于數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程中，可采用“同質(zhì)分組”形式，給予特定學(xué)生群體以整體關(guān)照，一是使教師對優(yōu)等生的精準定向點撥支持成為可能，二是使教師對于后進生、中等生群體學(xué)習(xí)的直接支持成為可能。教師在課堂上對學(xué)生的持續(xù)關(guān)注，能準確把脈學(xué)生的學(xué)習(xí)軌跡，了解學(xué)生當前使用的學(xué)習(xí)策略以及參與學(xué)習(xí)的意愿和準備情況，及時調(diào)整學(xué)習(xí)計劃，縮小學(xué)生對當前知識和理解與目標知識和理解之間的差距。[5]在學(xué)習(xí)過程中，當學(xué)生認識模糊時、理解膚淺時、思考無向時、迷茫無助時，教師能緊緊抓住誘發(fā)學(xué)生深入思考、讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“施力點”（一條輔助線、一句點撥或一個關(guān)聯(lián)舊知），四兩撥千斤，令學(xué)生腦洞大開，幫助學(xué)生打開思維的閥門。

4.教測結(jié)合，實現(xiàn)精準提升

引入范希爾理論對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何開放題進行評測，主要目的是基于對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)個性特征的了解與梳理，對于個體學(xué)習(xí)特質(zhì)的掌握與界定，對于個人學(xué)習(xí)能力的指導(dǎo)與幫助，教學(xué)的成效不僅取決于讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生，還在于給學(xué)生提供恰當?shù)膶W(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生始終保持積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)，幫助學(xué)生從表層學(xué)習(xí)層級跨入深層學(xué)習(xí)層級，以到達不經(jīng)思考就能去做的“過度學(xué)習(xí)”層級。教師充分發(fā)揮在學(xué)習(xí)過程中的跟蹤、指導(dǎo)職能，發(fā)揮教師作為導(dǎo)師的核心價值，為學(xué)生精準提供學(xué)材，弘揚個性教育。

如果離開評測，教師就會迷失教學(xué)方向，不得其法，事倍功半?；谶@樣的認識，教師在開放題教學(xué)中應(yīng)成為教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)者，學(xué)生成為學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)者。教師作為學(xué)習(xí)者，更側(cè)重于事先對教學(xué)內(nèi)容的精準分析、預(yù)測可能的學(xué)情及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的障礙與困難、學(xué)生思維的可能之處，并在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中細致觀察，及時運用教學(xué)理論分析學(xué)生的思維層次，并在可能的情況下，在學(xué)生學(xué)疑之處、學(xué)困之處、學(xué)難之處予以精準指導(dǎo)和幫扶，讓學(xué)生感受幾何的魅力，感受圖形的變幻，從而愛上幾何、愛上數(shù)學(xué)，并樂于積極思考，探索未知。

總之，應(yīng)用范希爾理論對學(xué)生的幾何開放題學(xué)習(xí)情況進行評價，不但能評價學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方法，而且能評價學(xué)生的數(shù)學(xué)思維層次。五種思維水平由低到高的排序清楚說明學(xué)生的不同學(xué)習(xí)過程和不同學(xué)習(xí)方法的結(jié)果差異，從而有效幫助教師判斷小學(xué)生所能達到的幾何思維結(jié)構(gòu)層次，相對容易地實現(xiàn)對小學(xué)生思維發(fā)展質(zhì)性影響的量的刻畫，既體現(xiàn)了新課程標準的理念，又為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識提供了廣闊的空間。[6]

參考文獻：

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