蔣敏杰

（常州市教育科學研究院，江蘇 常州 213003）

小學數(shù)學教材“綜合與實踐”是以問題為載體，學生綜合應用所學數(shù)學知識，用“數(shù)學的”思維思考與實踐，在“做”與“思”中解決問題，開展實踐性、探究性學習的數(shù)學學習活動?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，“綜合與實踐”的教學，重在實踐，重在綜合……要重視學生積極動腦、動手、動口，要注重數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應用。[1]理解教材“綜合與實踐”的編排體例，合理選擇內(nèi)容與方法，將有助于教師按一定的規(guī)律指導，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗。教材中“綜合與實踐”的內(nèi)容編排，從素材及教學層面分析，一般有動手操作型、場景觀察型、游戲活動型、調(diào)查訪問型、課題研究型五大類。[2]無論哪種類型，活動實施中都注重“做數(shù)學”，特別關注學生對問題的選擇、設計與展開過程，學生個體或小組的全員參與，結(jié)果的展示與評價等。從“做”與“思”的角度看，指導小學生開展“數(shù)學實驗”，是豐富“綜合與實踐”活動的一種好方式。

小學生數(shù)學實驗不是教師借助教具演示給學生看，而是創(chuàng)造實驗條件，讓學生借助實物和工具，通過對實驗素材進行“數(shù)學化”的操作來驗證數(shù)學結(jié)論、建構(gòu)數(shù)學概念、探索數(shù)學規(guī)律、解決數(shù)學問題的一種數(shù)學學習方式。[3]其核心在于“做數(shù)學”，與中學、大學的實驗教學相比，重視過程的探索性、操作的可重復性等方面是相同的，但結(jié)合小學生的年齡特征、認知規(guī)律與研究內(nèi)容，又有其獨特之處。“綜合與實踐”活動中數(shù)學實驗的開展，將豐富學生探索規(guī)律，驗證結(jié)論，解決問題的方式，提升學生的思維品質(zhì)，感悟并形成初步的數(shù)學研究方法。

《擲一擲》是“綜合與實踐”教學中一節(jié)“有意思”且“有意義”的課，多次嘗試后，引發(fā)了筆者對于數(shù)學實驗在“綜合與實踐”教學中的思考。其中，如何組織小學生開展“數(shù)學實驗”，怎樣優(yōu)化設計“實驗”活動，處理好動手與動腦的協(xié)作，實驗教學中應注意的問題等方面有了進一步的思考。

一、教材解讀，找到數(shù)學實驗教學的立意與路徑

《擲一擲》是人教版小學數(shù)學五年級上冊《可能性》單元中，學生對“概率”（可能性大?。┚邆涑醪秸J識后編排的綜合實踐活動。教材編排中，呈現(xiàn)了四幅連續(xù)性的游戲場景圖，意圖在于，依托“研究兩個骰子之和的奧秘”這個活動，綜合運用所學“概率”知識，自主探討事件（二枚骰子點數(shù)和）發(fā)生的可能性大小，經(jīng)歷“試驗分析—提出猜想—數(shù)學驗證”的過程。在親歷“實驗”中，豐富學生對“概率問題”的直觀體驗，獲得一些數(shù)學活動的經(jīng)驗，提升數(shù)據(jù)分析觀念。

常規(guī)教學思路下，內(nèi)容組織以游戲化的實踐操作為主，分別由教師帶領學生按步驟“操作”（參見表1），隨后在教師啟發(fā)下列舉并畫出統(tǒng)計表格（直方圖），再觀察發(fā)現(xiàn)各點數(shù)和出現(xiàn)的可能性不同，教師借助簡單推理，使學生明確點數(shù)和為7時可能性最大等。游戲操作加上一些情境輔助，精致且到位的指導，確實使課堂熱鬧、順暢，但每每卻感到又少了些“不精致”，體現(xiàn)在“我是如何思考并驗證得出結(jié)論的”“數(shù)據(jù)為我們提供了怎樣的支撐”“以后遇到這樣的問題我要如何做”等幾個思維節(jié)點。如此，“做”了未必就“會”了，“會”了未必就“懂”了，如何從簡單的操作（動作）思維，逐步提升為表象思維，至邏輯（抽象）思維，需要在學習中加入“研究”的調(diào)料，豐富學生對于數(shù)學（現(xiàn)象）問題的理解，經(jīng)歷一般意義的數(shù)學研究過程，提升方法認知。

表1 《擲一擲》實驗探究活動序列表

“擲一擲”是借助擲骰子并求出點數(shù)和，引發(fā)學生觀察與思考的。這個研究過程與一般操作實踐又有所不同，主要表現(xiàn)在研究操作的可重復性，可從多次操作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；具有明確的目的性，聚焦“哪些點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大”，指向清晰；需要合理的操作設計，學生參與研究設計，體驗研究方式與過程；需要規(guī)范的操作，并嘗試用數(shù)、圖與表記錄數(shù)據(jù)；需要借助相關數(shù)據(jù)，呈現(xiàn)與分析解決問題，進行數(shù)學化的分析。因此，本活動可以看作是數(shù)學研究領域的一次規(guī)律探索，且?guī)в袛?shù)學實驗教學研究的特征。

本節(jié)課教學，嘗試以實驗探究為主線，激發(fā)興趣，激活思維，組織學生開展三次目標遞進的數(shù)學實驗，引領學生不斷深入對于“點數(shù)和可能性大小”的分析，以“實驗+演繹推理”的方式，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，提升學生對活動“過程”及“結(jié)果”的反思認知，提高數(shù)據(jù)分析觀念，形成初步的數(shù)學研究意識與方法。

二、活動設計，體現(xiàn)數(shù)學實驗教學的方式與過程

在數(shù)學分析中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歷研究的過程，是豐富學生數(shù)學認知、積累數(shù)學的思考直到學會思維的重要方面。因此，作為載體的“規(guī)律”，需要賦予其更多“活動”內(nèi)涵?！耙?guī)律”是一類現(xiàn)象的本質(zhì)特征，具有高度的抽象性和概括性，代表著眾多同類現(xiàn)象的共同特性?！稊S一擲》中的“規(guī)律”，體現(xiàn)在對于“點數(shù)和可能性大小情況”的分析，使學生體驗隨機數(shù)據(jù)，提升數(shù)據(jù)分析觀念。其主要有兩層含義：一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能是不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。[4]在不確定現(xiàn)象中尋找規(guī)律，對小學生來說是一種全新的觀念，一般意義上，操作、計算是基本途徑，因此，本節(jié)課的系列操作活動需要讓學生產(chǎn)生隨機現(xiàn)象的豐富體驗，并逐步抽象與歸納。

數(shù)學實驗能較好地達成上述意圖，學生開展目的明確的實驗操作，圍繞數(shù)據(jù)進行操作、記錄、分析與推理，經(jīng)歷“觀察現(xiàn)象（識別對象）→提出猜想（初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，很大情況下是不完整的）→設計實驗（提供實驗工具，圍繞目標設計實驗）→驗證猜想（實驗并驗證初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律的正確性）→完善猜想（多次實驗，借助變式完善規(guī)律）→得出結(jié)論（表達規(guī)律）→應用結(jié)論（應用規(guī)律）”等幾個步驟，從而對實驗中獲得的數(shù)據(jù)進行數(shù)學化分析，并以此啟發(fā)并幫助自己認識。

活動一：嘗試與思考，發(fā)現(xiàn)問題

1.擲一枚骰子

談話：你能用“一定”“不可能”“可能”來描述擲一枚骰子得到的結(jié)果嗎？

活動要求：（1）先說再做，看看與自己所說的結(jié)果是否一致。（2）思考擲一枚骰子每種點數(shù)出現(xiàn)的可能性一樣嗎？為什么？

操作活動與表達，啟發(fā)學生基于數(shù)據(jù)，表達相關內(nèi)容。

2.思考擲兩枚骰子

指導認識：擲兩枚骰子，正面朝上的點數(shù)之和，就是兩枚骰子的點數(shù)和。

試一試：說一說點數(shù)和是多少，想一想點數(shù)和有什么特點與情況，也能用“一定”“不可能”“可能”來描述嗎？

學生活動，教師巡視，幫助學生體驗到點數(shù)和在2—12之間，且點數(shù)和出現(xiàn)的可能性是有大小的。

3.發(fā)現(xiàn)問題

提問：通過操作實驗，你有什么發(fā)現(xiàn)？

聚焦問題：擲兩枚骰子時，點數(shù)和在2—12之間，這些點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小一樣嗎？

設計意圖：活動經(jīng)驗來源于學生日常，啟發(fā)學生用數(shù)的語言表述問題是學生初次研究的基礎，在實驗操作中，需要將問題與思考前置，幫助學生基于經(jīng)驗的簡單推理，經(jīng)歷分析猜測的過程，更好地理解從實驗分析數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)問題。

活動二：設計與實施實驗

引導認識：通過一組數(shù)據(jù)是否就能說明規(guī)律？如果要驗證這個猜想，我們需要通過多次可重復的實驗，得出相關數(shù)據(jù)后才能說明。

指導：如何開展多次重復實驗呢？指導學生經(jīng)歷“制訂計劃，實驗操作，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，表述結(jié)論”。

學生活動，教師參與到研討中。

幫助學生明確：需要獲取較大的數(shù)據(jù)量，避免偶發(fā)因素；說明問題要用數(shù)據(jù)說話，不隨意人為修改數(shù)據(jù)。

明確要求：（1）兩人分工實驗操作，每人擲一次，計算出骰子點數(shù)和。

（2）共擲20次，記錄并觀察表格中的數(shù)據(jù)。

（3）6人小組內(nèi)再次匯總數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)據(jù)，說一說自己的發(fā)現(xiàn)，并記錄。

明確：點數(shù)和2—12之間出現(xiàn)的可能性大小不一，參見圖1。（注意隨機現(xiàn)象發(fā)生，即可能會出現(xiàn)點數(shù)和7較少，而6或5較多的情況，這是正常的，不能一味追求理論上的結(jié)果。）

圖1 點數(shù)和出現(xiàn)次數(shù)情況統(tǒng)計圖

設計意圖：此活動的設計，從數(shù)學實驗的視角入手，注重低結(jié)構(gòu)、可視化及對數(shù)據(jù)的分析，不具體展開定性分析，而是通過數(shù)據(jù)呈現(xiàn)進行定量研究。在實驗設計中，教師通過問題前置，以大問題思考，即需要解決的問題（猜想）為依據(jù)，啟發(fā)學生間對話與思考，讀懂不同現(xiàn)象，聚焦本質(zhì)。當然在這個研究中，會出現(xiàn)一些極端數(shù)據(jù)情況，這也是有效的教學資源，提升學生的數(shù)據(jù)分析意識，即體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的隨機性，一是對于同樣的事情每次收集的數(shù)據(jù)可能不同，二是只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

活動三：分析組成，揭示本質(zhì)

啟發(fā)：剛才我們將各組各點數(shù)和擲出次數(shù)進行匯總，并用可隨輸入數(shù)據(jù)即時變化的條形統(tǒng)計圖同步呈現(xiàn)，同學們感受到實驗次數(shù)是一個重要的變量。

操作觀察：出示科學家萬次投擲實驗統(tǒng)計圖，與學生們的實驗結(jié)果統(tǒng)計圖對比一下，你能找到共同點嗎？

學生明確：5，6，7，8，9點數(shù)和被擲出的可能性大，2，3，4，10，11，12被擲出的可能性小。

深化思考：萬次實驗中，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。數(shù)學研究，做實驗是一種方式，通過數(shù)據(jù)情況，進行推理分析也是重要的方式。同學們，思考一下，點數(shù)和出現(xiàn)的可能性與什么有關。也可以再次去實驗觀察，想想每種點數(shù)和的組成情況。

學生觀察與分析——點數(shù)相同，顏色（不同位置）不同算作另一種，這里需要幫助學生抽象。

學生發(fā)現(xiàn)：點數(shù)和為5，6，7，8，9的共有24種組成方式，而點數(shù)和為2，3，4，10，11，12的組成僅有12種。

指導：請同學們再次對比組成情況統(tǒng)計圖與萬次投擲實驗統(tǒng)計圖，你有什么想說的嗎？

揭示本質(zhì)：各點數(shù)和被擲出次數(shù)主要受點數(shù)和的組成情況影響，組成情況多，則被擲出的可能性大，組成情況少，則被擲出的可能性小。

比較認識：點數(shù)、點數(shù)和既有關聯(lián)，又有區(qū)別。

設計意圖：此活動是本節(jié)課的第三個實驗環(huán)節(jié)，包括三個層次。一是觀察萬次投擲實驗統(tǒng)計圖并進行對比，從大數(shù)據(jù)上直觀感受；二是引發(fā)學生思考，點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小的原因，開展實驗操作；三是簡單的演繹推理，學生初步理解點數(shù)和出現(xiàn)可能性有大有小的原因。這個實驗操作環(huán)節(jié)，實驗只是輔助，是通過帶有問題的操作來發(fā)現(xiàn)點數(shù)和的組成情況，是為啟發(fā)驗證服務的。

活動四：反思與應用

談話啟發(fā)：今天的實踐研究，你都經(jīng)歷了怎樣的過程，你是如何來發(fā)現(xiàn)規(guī)律的，遇到了怎樣的困難，又是如何來解決的呢？

展示過程：教師用PPT呈現(xiàn)的方式，幫助學生回顧本節(jié)課的研究過程。

提出問題：這些現(xiàn)象與規(guī)律，不只是在數(shù)學學習中，在生活中更是應用廣泛。提出商場骰子抽獎活動。采用模擬場景的方式，引導學生參加。

規(guī)則：轉(zhuǎn)盤1—6，6個數(shù)字，轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)盤，兩次數(shù)求和，和是5，6，7，8，9出現(xiàn)的次數(shù)多，則不獲獎，如果出現(xiàn)2，3，4，10，11，12較多，則獲100元。

（1）如果你是觀眾，你認為這樣的抽獎獲率高嗎？

（2）如果你是組織方，想進一步提高中獎難度，應該怎樣辦？

（3）如果你是消費者，要降低中獎難度，應該怎樣辦？

設計意圖：回歸生活，應用學習與問題解決，讓數(shù)學活動經(jīng)驗進一步深化。在本環(huán)節(jié)中，注重了對于學習活動本身的理解，不是簡單地反饋學習內(nèi)容，而是通過反思與回顧，內(nèi)化對于這一類現(xiàn)象（問題）的研究過程，使學生學會用實驗操作的方式去發(fā)現(xiàn)與研究。

三、教學反思，探尋數(shù)學實驗教學的“數(shù)學化”實施

1.數(shù)學實驗的目標要突破“知識本位”

“綜合與實踐”活動有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授[5]，而是更注重運用已有的數(shù)學知識、方法、活動經(jīng)驗及思維方式等解決實際問題或探索數(shù)學規(guī)律。從這個意義上說,“綜合與實踐”中開展“數(shù)學實驗”的教學目標，如果只定位于結(jié)論的獲得無疑是有偏差的。比如本課中，學生是否充分經(jīng)歷了探尋規(guī)律的過程？是否能基于現(xiàn)象進行數(shù)學猜想，自主設計相應數(shù)學實驗并進行多次重復驗證？是否能通過實驗數(shù)據(jù)、圖形表征等多種模型和方法探索問題和描述結(jié)果？是否能體會到數(shù)學研究的價值？只是單純求得“點數(shù)和是5，6，7，8，9時，出現(xiàn)的可能大”的結(jié)論,顯然有悖于“綜合與實踐”的內(nèi)涵與目標。

因此，數(shù)學實驗教學中不將結(jié)論的獲得作為教學的最終目的，而是將通過實驗設計與實施，體驗隨機數(shù)據(jù)、探尋變化中的“不變”規(guī)律做較多的鋪陳,逐層深入。學生在解決問題時沒有完善的步驟和方法,教師有意讓學生自主參與設計、實驗與分析，輔以相關的數(shù)據(jù)支撐（萬次實驗），幫助學生在實驗數(shù)據(jù)的“式與形”比照中，提升認識。這樣，簡單的“擲骰子”這一學習材料的學科價值才能得到充分的挖掘與拓展。

上述思考,數(shù)學實驗教學突出了“做”與“思”的目標定位，有助于實現(xiàn)“綜合與應用”重在實踐、重在綜合的課程追求。

2.數(shù)學實驗的設計要具有“思維內(nèi)涵”

小學數(shù)學實驗教學中，實驗工具開發(fā)與實驗設計是關鍵，尤其在“綜合與實踐”活動中，讓數(shù)學實驗貫穿整個活動，需要對內(nèi)容進行適度優(yōu)化與改造，進一步提升實驗對于探尋規(guī)律、解決問題的績效價值，實驗過程須體現(xiàn)思維內(nèi)涵。

縱觀各版本教材“綜合與實踐”的內(nèi)容編排，人教版更強調(diào)主題情境，以“數(shù)學廣角”為例，通過主題圖場景設置，以游戲、實驗、問題探究活動等，引導學生分析操作；蘇教版更強調(diào)主題化的數(shù)學問題（情境）分析，“動手做”“探索規(guī)律”“綜合實踐活動”等內(nèi)容，注重指導學生經(jīng)歷提出、發(fā)現(xiàn)、應用規(guī)律的過程；北師大版更注重問題的現(xiàn)實意義與結(jié)構(gòu)，以主題研究的方式，將“研究活動”滲透在相關的數(shù)學知識學習之中。無論教材如何對“綜合與實踐”活動進行編排，都有一個共性的視角，即讓兒童在經(jīng)歷研究中看到自己的思維，體現(xiàn)“思維內(nèi)涵”，而這也恰是數(shù)學實驗所要達成的目標。分析“擲一擲”的實驗設計流程或許可以嘗試找到“綜合與實踐”活動中數(shù)學實驗設計的基本原則。

首先，實驗內(nèi)容是學生感興趣的內(nèi)容?！皵S骰子”是學生比較熟悉的生活經(jīng)驗，它有怎樣的數(shù)學奧秘呢，從實際教學看，學生對此研究興趣十足。

其次，實驗設計具有開放性與自主性。初步的實驗感知是基于經(jīng)驗，而深入探究“點數(shù)和在2—12之間，這些點數(shù)和出現(xiàn)的可能性大小一樣嗎？”“點數(shù)和出現(xiàn)的可能性與什么有關？”需要學生借助經(jīng)驗，從數(shù)學分析的角度思考實驗設計，使學生經(jīng)歷復雜思維，學會“數(shù)學地思考”分析與研究，突破“知識本位”。

最后，實驗活動要有反思。反思的立足點不只是具體規(guī)律，而是獲得結(jié)論經(jīng)歷的過程，采用的方法，遇到的困難及應對的策略等，感悟數(shù)學基本思想方法，積淀相關的活動經(jīng)驗。

3.數(shù)學實驗的實施要進行“數(shù)學化”的組織

數(shù)學實驗是通過一定的方法，借助一定的設備,運用一定的手段，在數(shù)學思維活動的參與下和典型的實驗環(huán)境中進行的一種數(shù)學建構(gòu)過程和數(shù)學探索活動。[6]“綜合與實踐”活動中，數(shù)學實驗的開展特別需要注重體現(xiàn)“數(shù)學化”的組織，以期幫助學生經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，提升對數(shù)學內(nèi)容實質(zhì)的理解。鮮明的教學目標把握，合理的實驗設計，規(guī)范的實驗操作及數(shù)學化的分析，是數(shù)學實驗“數(shù)學化”體現(xiàn)的主要特征。以“擲一擲”教學為例，教師抓住“點數(shù)和可能是多少”的問題情境，引發(fā)學生對點數(shù)和出現(xiàn)可能性存在的不同情況進行思考，借助骰子等實驗材料，設計相關數(shù)學實驗步驟對先期猜想進行驗證，通過數(shù)據(jù)分析與圖、表對照，探尋規(guī)律，實驗活動的定向指導與實施、分析始終圍繞數(shù)學現(xiàn)象，使學生得以經(jīng)歷并感悟完整的數(shù)學研究過程與方法（如圖2）。

圖2 數(shù)學研究過程與方法

從圖中可以看出，在“綜合與實踐”中開展“數(shù)學實驗”，更側(cè)重設計與操作及數(shù)據(jù)分析，學生在經(jīng)歷動手實踐、手腦并用的過程中，自己的發(fā)現(xiàn)逐步從模糊走向清晰，在實驗操作中有思考、有發(fā)現(xiàn)，形成一種數(shù)學化的認知提升。

4.數(shù)學實驗的開展要盡可能提升學生參與度

班級授課制背景下，面向全體，提升思維品質(zhì)，學會學習，關注學習活動的參與非常重要。尤其在“綜合與實踐”活動中，讓每一個學生都有學習活動的參與機會，是個性化學習活動經(jīng)驗積累與后續(xù)交流分享的前提條件。數(shù)學實驗教學中，學生課堂參與的方式是多樣的，口頭語言表達，自主設計實驗方案，用畫圖、列表等方式呈現(xiàn)實驗結(jié)果等都是思維外顯、積極參與課堂學習的形式。

第一，倡導活動參與均衡，學習、實驗機會均等，過程體驗均等。數(shù)學實驗中每一位學生都要經(jīng)歷實驗操作、記錄與表達的過程，都力爭獲得積極的情感，積累數(shù)學研究的經(jīng)驗。

第二，教師適時的介入與指導，為學生實驗活動提供鮮活的、個性化的原始素材，幫助學生學會多元化表達，序列化培養(yǎng)學生用數(shù)學的方式記錄自己思維過程的能力，讓學生的思維“看得見”。

第三，注重互動參與的設計，讓學生在真實的學習情境中不斷增強數(shù)學研究的經(jīng)驗，知道數(shù)學的表達與分析，可以是思維的結(jié)果交流，更需要思維過程的對話與分享。

“數(shù)學實驗”是豐富學生“綜合與實踐”活動開展的一種好方式，立足兒童數(shù)學思維品質(zhì)的培育，真正從“為學習者設計”的視角實施教學，將不斷促進學生的思維從具象水平向抽象水平提升，深入思維深處，幫助學生把握數(shù)學實質(zhì)，形成數(shù)學研究的意識與能力。

參考文獻：

[1][4][5]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

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[3]郭慶松.小學數(shù)學實驗的內(nèi)涵、價值與實施[J].小學數(shù)學教育，2016（Z4）：6-9.

[6]潘小福，陳美華.數(shù)學實驗教學的實施策略[J].教育研究與評論，2015（8）：5-11.