李雪梅

（電子科技大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)小學(xué)，四川 成都 610051）

新課程改革以來(lái)，關(guān)注兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，已經(jīng)成為普遍的共識(shí)。比如，重視知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，把“數(shù)學(xué)史”融入數(shù)學(xué)課堂；重視知識(shí)獲得的過(guò)程，倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式；重視評(píng)價(jià)手段和形式的多樣化，綜合運(yùn)用過(guò)程性評(píng)價(jià)和結(jié)果性評(píng)價(jià)等。

隨著課程改革的深入和核心素養(yǎng)時(shí)代的到來(lái)，我們依然需要不斷地豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“過(guò)程”意義，發(fā)掘“過(guò)程”價(jià)值，以便能更好地增強(qiáng)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)能力，獲得智慧啟迪，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革。

一、彰顯課程的“過(guò)程”意義，創(chuàng)建動(dòng)態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂

課程是教學(xué)的載體。課程（curriculum）的本意是指“跑道”。把課程定位成“跑道”，那課程“只是被作為學(xué)生施展才華的一種最基本的物質(zhì)載體，只是學(xué)生認(rèn)識(shí)世界、增長(zhǎng)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)和提升境界的手段和工具”，這種意義上的課程，常常被固化為知識(shí)的、靜態(tài)的、作為事實(shí)的文本。近年來(lái)，人們對(duì)課程的理解發(fā)生了很大變化，小威廉姆E.多爾在《后現(xiàn)代課程觀》中提出：課程不再被視為固定的、先驗(yàn)的“跑道”，而成為達(dá)成個(gè)人轉(zhuǎn)變的通道。[1]很顯然，從“跑道”到“通道”，強(qiáng)調(diào)了課程的“過(guò)程”意義，也就是“更為強(qiáng)調(diào)跑步的過(guò)程和許多人一起跑步所形成的模式”，這種意義上的課程，是體驗(yàn)的、動(dòng)態(tài)的、生成的、實(shí)踐的，甚至還帶有很強(qiáng)的個(gè)別化色彩，因?yàn)樗涌粗亍皩W(xué)生在這個(gè)澄清的世界里任性奔跑和吶喊，甚至可以享受理性的沖動(dòng)和大膽的‘越軌’所帶來(lái)的無(wú)限的愜意和快樂(lè)”。

彰顯課程的“過(guò)程”意義，就需要?jiǎng)?chuàng)建動(dòng)態(tài)發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生在“看得見、摸得著、感覺(jué)得到”的“學(xué)習(xí)之旅”中獲得知識(shí)，發(fā)展能力，培育素養(yǎng)，生成智慧。

以小學(xué)五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的意義”學(xué)習(xí)為例。小學(xué)中年級(jí)時(shí)，學(xué)生開始初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，所謂“初步認(rèn)識(shí)”，就是能結(jié)合具體的圖示、情境，知道把“一個(gè)東西”（如一個(gè)圖形、一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位等）或“一些東西”（如6只兔子、2個(gè)西瓜等）平均分成若干份后，這樣的1份或幾份可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。這實(shí)際上是可以看成對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”的一種具體的、直觀的、樸素的理解。到了五年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”，就是能跳出具體的情境，從普遍意義的角度概括性地用一句話把所有分?jǐn)?shù)表示的意思都說(shuō)清楚（注：大多數(shù)教材里給出的定義是——把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)）。因此，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”，重要的是要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體出發(fā)，經(jīng)由抽象概括，抵達(dá)一般的過(guò)程。這一過(guò)程，是數(shù)學(xué)知識(shí)從簡(jiǎn)單到發(fā)展、再到完善的過(guò)程，也是人們由淺入深、由表及里地認(rèn)識(shí)事物的一般過(guò)程。

如何來(lái)開展這樣的過(guò)程教學(xué)呢？可以分五步走：

第一步：回到“具體”。利用三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生用自己的方式把某一個(gè)分?jǐn)?shù)（比如“”）的意思表示出來(lái)。

第二步：初次“概括”。學(xué)生展示多種表示方式（如：一個(gè)長(zhǎng)方形的、一根線段的、一塊地的、6只兔子的）后，尋找這幾個(gè)所表示意義的相同點(diǎn)（都“平均分成3份，表示1份”）和不同點(diǎn)（平均分的對(duì)象不一樣），再嘗試用一句話把所有的的意思都包含進(jìn)去。由此引出：（1）為了表述的方便，所有被平均分的對(duì)象需要有一個(gè)共同的說(shuō)法，這個(gè)說(shuō)法就叫作單位“1”；（2）所有的的意義可以用一句話來(lái)概括，那就是：把單位“1”平均分成3份，表示這樣的1份。

第三步：逐步“擴(kuò)展”。聯(lián)系的意義表述，的意義怎么概括？的意義怎么概括？由此引出：分母和分子不同，平均分的份數(shù)（分母）和表示的份數(shù)（分子）也不同，可以用“平均分成若干份”“這樣的1份或幾份”來(lái)概括。第四步：高度“抽象”。嘗試用一句話把所有分?jǐn)?shù)的意義都包含進(jìn)去，這句話就是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。第五步：擴(kuò)展應(yīng)用。應(yīng)用分?jǐn)?shù)的意義，解釋“四（1）班有的同學(xué)會(huì)打乒乓球”“一節(jié)課的時(shí)間是小時(shí)”等具體語(yǔ)境中的分?jǐn)?shù)含義，體會(huì)要說(shuō)清楚一個(gè)分?jǐn)?shù)的意義，只要說(shuō)清楚“單位‘1’”“平均分的份數(shù)”“表示的份數(shù)”這三個(gè)要素。

上述學(xué)習(xí)過(guò)程，層層推進(jìn)，步步深入，從特殊到一般，再?gòu)囊话愕骄唧w，遵循了數(shù)學(xué)發(fā)展和兒童認(rèn)知學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，蘊(yùn)含著“抽象——推理——模型”的數(shù)學(xué)基本思想，把原本簡(jiǎn)單的一句數(shù)學(xué)概念，演繹得風(fēng)生水起。

從這樣的角度看，關(guān)注課程的“過(guò)程”意義，最重要的是將“靜態(tài)文本”轉(zhuǎn)化為有層次、有梯度、鮮活而充滿張力的“動(dòng)態(tài)實(shí)踐”，在“動(dòng)態(tài)實(shí)踐”（即多爾所說(shuō)的“跑步過(guò)程”）中，認(rèn)識(shí)、思考、疑惑、發(fā)現(xiàn)、驚喜、贊嘆……連同原有的文本，甚至教師的語(yǔ)言、體態(tài)，學(xué)習(xí)的場(chǎng)景、氛圍等，都有了“課程”的價(jià)值，成了“課程”不可分割的一部分。

毫無(wú)疑問(wèn)，這是對(duì)課程意義的一種拓展，也是對(duì)學(xué)習(xí)意義的一次升華。

二、延展學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程，創(chuàng)建意義生成的數(shù)學(xué)課堂

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成對(duì)教師授予知識(shí)的被動(dòng)接受，而是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的活動(dòng)，這樣的活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，即“再創(chuàng)造”過(guò)程。鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》里提出：學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中的“再創(chuàng)造”的性質(zhì)，是一種特殊的“意義賦予”，也就是使新的學(xué)習(xí)材料在學(xué)習(xí)者頭腦中獲得特定的意義，新的學(xué)習(xí)材料與主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間建立實(shí)質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系。[2]因此，衡量數(shù)學(xué)課堂和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要尺度，就是“再創(chuàng)造”過(guò)程中生成學(xué)習(xí)的意義。課堂是一個(gè)立體而豐富的多面體，承載著多重意義，尋找、發(fā)現(xiàn)并努力彰顯各種意義，不只是課堂教學(xué)的技術(shù)問(wèn)題，更是教育藝術(shù)、教育智慧的體現(xiàn)。

以二年級(jí)學(xué)習(xí)“厘米”為例?！袄迕住笔窃谛W(xué)階段接觸到的第一個(gè)長(zhǎng)度單位，從知識(shí)層面來(lái)看，知道1厘米有多長(zhǎng)，能用厘米測(cè)量長(zhǎng)度，這些要求都不難。然而，從學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”的視角來(lái)組織教學(xué)，那就需要在時(shí)間、空間、研究主題等方面延伸開來(lái)，“再創(chuàng)造”的過(guò)程越舒展，學(xué)習(xí)體驗(yàn)就會(huì)越強(qiáng)烈，認(rèn)識(shí)就會(huì)越深刻。我們不妨做這樣的設(shè)計(jì)：

第一步：品故事，生問(wèn)題。上課開始，老師說(shuō)：“很久、很久以前，數(shù)學(xué)還沒(méi)有今天這樣發(fā)達(dá)，人們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)遇到一些問(wèn)題”，然后呈現(xiàn)幾幅漫畫，大意是阿福要做新衣服，老裁縫在他身上用手比畫，告訴小裁縫：“身長(zhǎng)3拃”，小裁縫記下“身長(zhǎng)3拃”，回到家用自己小手比畫著：1拃、2拃、3拃，然后開始制作。等衣服套上身后，發(fā)現(xiàn)做小了，老裁縫用手一比畫，就責(zé)怪起小裁縫：“告訴你身長(zhǎng)3拃，怎么做成2拃呢？”小裁縫一臉茫然。到底出現(xiàn)什么問(wèn)題了呢？

第二步：定標(biāo)準(zhǔn)，化疑難。學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，明白了：因?yàn)闇y(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不一，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)了偏差。于是，統(tǒng)一計(jì)量長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)就成了必須解決的問(wèn)題，就這樣，“厘米”被創(chuàng)造出來(lái)了。用“厘米”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量長(zhǎng)度，就能得出統(tǒng)一的結(jié)果，老裁縫、小裁縫碰到的問(wèn)題得到了解決。

第三步：遇麻煩，又生問(wèn)。有了標(biāo)準(zhǔn)的“1厘米”，測(cè)量出現(xiàn)偏差的問(wèn)題基本解決了，但是，1厘米長(zhǎng)的小棒畢竟很短，用它一次又一次的測(cè)量稍長(zhǎng)距離顯得有些麻煩了，于是，新問(wèn)題又冒出來(lái)了——能不能造出功能全面又便捷實(shí)用的測(cè)量工具呢？

第四步：造尺子，巧化解。人類發(fā)揮聰明才智，把標(biāo)準(zhǔn)的“1厘米”一個(gè)接著一個(gè)連起來(lái)，就造出一把長(zhǎng)長(zhǎng)的厘米尺。有了這把尺，從0端開始，一次就能量出稍長(zhǎng)的距離是多少厘米；不從0開始（比如0刻度沒(méi)有了的“斷尺”），也可以測(cè)量，直接測(cè)量和巧妙測(cè)量中蘊(yùn)含著不同的思維水平。

第五步：再追問(wèn)，延思考。有了“厘米”這個(gè)長(zhǎng)度單位，是不是就能很方便、很恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)所有的長(zhǎng)度呢？人們還創(chuàng)造出了哪些新的長(zhǎng)度單位？創(chuàng)造過(guò)程中又遇到什么新問(wèn)題？遇到問(wèn)題后又想到什么好辦法解決了一個(gè)個(gè)問(wèn)題呢？這些疑問(wèn)，把課內(nèi)學(xué)習(xí)向課后延伸。

上述學(xué)習(xí)過(guò)程，不僅將長(zhǎng)度單位的由來(lái)和發(fā)展巧妙地嵌入其中，更將數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類探索真理的“實(shí)踐邏輯”充分表達(dá)，即：遇到問(wèn)題，尋找辦法，辦法有了，原有的問(wèn)題解決了，但是新問(wèn)題又來(lái)了，于是，在不斷的遇到問(wèn)題、解決問(wèn)題中，數(shù)學(xué)變得越來(lái)越豐富，越來(lái)越高級(jí)，人也變得越來(lái)越聰明。這樣的課堂，學(xué)習(xí)的意義空間被充分打開。

誠(chéng)然，課堂中可以生成的意義有很多，當(dāng)你把學(xué)習(xí)看成一種生活時(shí)，課堂就有了生活意義，同伴交往、師生互動(dòng)、共生發(fā)展等，都是這層意義很重要的元素；當(dāng)你把數(shù)學(xué)看成是人類文明成果時(shí)，課堂就有了文化意義，人文思想、科學(xué)精神、藝術(shù)表現(xiàn)、美學(xué)價(jià)值等，成為這層意義需要關(guān)注的重點(diǎn)；當(dāng)你把學(xué)習(xí)當(dāng)作“做研究”時(shí)，方法的科學(xué)、路徑的選擇、思維的啟迪等就成了課堂的關(guān)鍵……當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要有意義，還要有意思，既要“有營(yíng)養(yǎng)”，還要“好吃”。小威廉姆E.多爾說(shuō)：“學(xué)習(xí)成為意義創(chuàng)造過(guò)程之中的探險(xiǎn)?！盵3]用鮮活生動(dòng)的學(xué)習(xí)形式來(lái)觸摸意蘊(yùn)深厚的數(shù)學(xué)，把“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”，那是十分美好而奇妙的課堂境界。

三、追求“過(guò)程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一，創(chuàng)建“集智成慧”的數(shù)學(xué)課堂

很長(zhǎng)一段時(shí)間以來(lái)，人們總是采用二元思維來(lái)看待“過(guò)程”與“結(jié)果”，于是，就有了“重結(jié)果，輕過(guò)程”“重過(guò)程，輕結(jié)果”“既要重過(guò)程，又要重結(jié)果”等說(shuō)法。這里的“結(jié)果”，通常是指確定的結(jié)論、最終的答案、預(yù)期的目標(biāo)，諸如概念、法則、公式、定理、規(guī)律等都可以看成是“確定的結(jié)論”；3+4=7，“7”就是“3+4”運(yùn)算的結(jié)果。如果用動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的、聯(lián)系的眼光來(lái)看，二者更應(yīng)該是統(tǒng)一的、整體的，即：“過(guò)程”孕育著“結(jié)果”，“結(jié)果”就在“過(guò)程”中，“過(guò)程”就是一種“結(jié)果”，“結(jié)果”也是一種“過(guò)程”。

如何理解“過(guò)程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一性呢？比如，學(xué)習(xí)三角形的面積計(jì)算時(shí)，學(xué)生都會(huì)記住三角形面積計(jì)算的公式：三角形的面積=底×高÷2或S=ah÷2。當(dāng)他們運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，似乎都將其看成一個(gè)靜態(tài)的、固定的形式，而不需要去想其中的算理了。事實(shí)上，如果將三角形面積計(jì)算看成一個(gè)“過(guò)程”，那三角形面積計(jì)算就有了多樣化的解釋：（1）S=a（h÷2），即先把三角形轉(zhuǎn)化成“等底半高”的平行四邊形，再算這個(gè)平行四邊形的面積；（2）S=（a÷2）h，即先三角形轉(zhuǎn)化成“半底等高”的平行四邊形，再算這個(gè)平行四邊形的面積；（3）S=ah÷2，每個(gè)三角形都可以看成是某一個(gè)“等底等高”的平行四邊形的一半，因此，“底×高”就是算三角形背后那個(gè)“隱身”的平行四邊形面積，再“÷2”就得到平行四邊形一半，即三角形面積了（如圖1）。

圖1

由此可以看出，“過(guò)程”與“結(jié)果”不僅具有統(tǒng)一性，甚至還具有同一性。當(dāng)我們“用動(dòng)態(tài)、發(fā)展、變化的眼光來(lái)把握數(shù)學(xué)知識(shí)、原理、方法等，定義它們，解釋它們，這樣，靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)變得豐富、生動(dòng)、飽滿起來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也隨之變得鮮活，充滿張力和魔力！”[4]

不僅如此，追求“過(guò)程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一性，更為重要的是，我們的課堂要盡可能多地讓學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、自主性學(xué)習(xí)、合作性學(xué)習(xí)，在做中學(xué)，學(xué)中思，思中悟。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是向未知世界的“進(jìn)發(fā)”，這樣的過(guò)程越是曲折、多變，經(jīng)歷越是豐富，獲得的體驗(yàn)就會(huì)越深刻，學(xué)習(xí)活動(dòng)也就越充滿玄妙和令人向往。當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)常被“投放到不可預(yù)測(cè)的情境中解決問(wèn)題”，成為一種未來(lái)生活“模擬”時(shí)，這樣的課堂就具有了鮮明的“集智成慧”價(jià)值導(dǎo)向，不失為一種很好的課堂教學(xué)改革方向。

參考文獻(xiàn)：

[1][3]多爾小威廉姆E.后現(xiàn)代課程觀[M].王紅宇，譯.北京：教育科學(xué)出版社，2000：4，6.

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2001：361-363．

[4]袁紅.賦予“平均分”以“過(guò)程”意義——以蘇教版二上《認(rèn)識(shí)平均數(shù)》教學(xué)片斷為例[J].江蘇教育，2016（57）：57-58.