莊 洋，雷家睿，趙博涵，黃 敏，趙蕓赫

（1.四川省成都市新都一中銘章學(xué)院，四川 成都 610500；2.北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京 100875）

在力學(xué)中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期運(yùn)動(dòng)或振蕩運(yùn)動(dòng)，其對(duì)應(yīng)的振子或運(yùn)動(dòng)物塊所受的恢復(fù)力與位移成正比，方向與位移方向相反。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以作為各種運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，例如彈簧的振動(dòng)。另外，其他現(xiàn)象可以用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來近似，例如單擺運(yùn)動(dòng)和分子振動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是關(guān)于時(shí)間的正弦函數(shù)，演示了一個(gè)單一的諧振頻率。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是小幅震動(dòng)單擺的精近似型，擺在物體末端的凈力必須與位移成正比。這是一個(gè)很好的近似，擺動(dòng)的角度是小的。在現(xiàn)在的科學(xué)中，基于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)衍生的信號(hào)波處理，即通過傅立葉分析技術(shù)為更復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的表征提供了基礎(chǔ)。

高中階段，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的教學(xué)是基于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的[1-11]，根本原因是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)二階微分方程，而這一方程的嚴(yán)格求解并不是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。而中學(xué)物理在振動(dòng)與波章節(jié)進(jìn)行的教學(xué)，以及對(duì)于單擺運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)都需要基于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)和內(nèi)容。在教學(xué)中，學(xué)生難免對(duì)不能求解的方程有疑惑。當(dāng)然，在進(jìn)行了求導(dǎo)的學(xué)習(xí)后，學(xué)生可以通過猜測(cè)解的形式并利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)方式對(duì)“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程是三角函數(shù)”這一結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，但是依然不是一種直接的方式。對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以通過高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)了解微分方程的求解，進(jìn)而對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程加以求解。本文試圖在高中物理數(shù)學(xué)體系內(nèi)給出一種求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的辦法。

1 模型建立

我們首先考慮一根輕彈簧連接的一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓第二定律，該連接勁度系數(shù)為k、彈簧質(zhì)量為m的物體的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，x是這一彈簧偏離平衡位置的距離。則我們需要求解微分方程：

這一方程的解為三角函數(shù)，然而這一方程的求解并不在高中學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱內(nèi)[1-2]。也就是說，在現(xiàn)有高中階段的教學(xué)中，學(xué)生無(wú)法基于已有數(shù)學(xué)知識(shí)求解彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程。因此在高中的物理教學(xué)中，只能通過實(shí)驗(yàn)來理解“彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)”這一重要的物理現(xiàn)象，并且沒辦法通過直接的數(shù)學(xué)求解建立其運(yùn)動(dòng)和三角函數(shù)所體現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律直接對(duì)應(yīng)。

我們注意到，不少教材和科普材料提到勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，也有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)佐證。而勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和受力分析是高中物理的教學(xué)內(nèi)容，也是直觀便于學(xué)生理解的知識(shí)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在以某點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)其軌跡是圓周的運(yùn)動(dòng)叫“圓周運(yùn)動(dòng)”，它是一種最常見的曲線運(yùn)動(dòng)，例如電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子、車輪、皮帶輪等都做圓周運(yùn)動(dòng)。

圓周運(yùn)動(dòng)分為勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)，比如豎直平面內(nèi)繩/桿轉(zhuǎn)動(dòng)小球、豎直平面內(nèi)的圓錐擺運(yùn)動(dòng)。在圓周運(yùn)動(dòng)中，最常見和最簡(jiǎn)單的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)（因?yàn)樗俣仁鞘噶浚詣蛩賵A周運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是指勻速率圓周運(yùn)動(dòng)）。我們希望通過建立勻速圓周運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定量規(guī)律，以期在運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生理解并且求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

接下來，我們通過分析做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的分運(yùn)動(dòng)來等效解決這一問題。我們考慮在水平圓環(huán)上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體具有質(zhì)量m，其圓環(huán)半徑為r，角速度為ω.這一物體受到圓環(huán)的支持力提供向心力，該力的大小為：

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到的支持力提供向心力且方向指向圓心，則該力的矢量表示為：

圖1 水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體

我們將上述分析畫入圖，如圖1所示，該力在橫軸上的投影為：

根據(jù)幾何關(guān)系，注意到半徑、角度和橫坐標(biāo)的關(guān)系為：

于是我們有：

考慮上式中關(guān)于橫坐標(biāo)的系數(shù)（轉(zhuǎn)速、質(zhì)量均恒定）為常數(shù)，我們定義k≡mω2為該圓周運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的等效勁度系數(shù)，則上式可以改寫為：

這意味著我們考慮的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的水平方向受力大小與水平方向位移成正比，方向相反。這恰好與一個(gè)連接勁度系數(shù)為k的彈簧的物體受力一致。另外，注意到圓周運(yùn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)過的角度與轉(zhuǎn)速具有關(guān)系：

于是對(duì)比可知，連接彈簧的物體被拉開遠(yuǎn)離平衡位置r后釋放，其做簡(jiǎn)諧震動(dòng)的位移隨時(shí)間的變化為：

對(duì)比關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)中“等效勁度系數(shù)”的定義，得到ω=，這正是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期。綜上，我們可以得到方程（2）的一般解為：

其中，振幅A和相位θ0由所考察簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初始條件給定（在圓周運(yùn)動(dòng)中對(duì)應(yīng)著物體0時(shí)刻所處的角位置）。

2 結(jié)論與討論

我們給出的這種等效替代——利用圓周運(yùn)動(dòng)在某一方向的投影運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧震動(dòng)的辦法巧妙地避免了高中階段求解微分方程的困擾，讓學(xué)生直觀地利用圓周運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)分解的知識(shí)，得到“簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)方程的解就是三角函數(shù)”這一結(jié)論。此外，圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)這一直觀的證明，也給我們提出了一種簡(jiǎn)單的觀察簡(jiǎn)諧振動(dòng)的辦法，比如在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤邊緣連接一小燈珠，觀察燈珠在一維上的分運(yùn)動(dòng)，并記錄。對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)直觀圖像的建立和求解，也給我們利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)進(jìn)行相關(guān)的探究性實(shí)驗(yàn)提供了思路，比如文獻(xiàn)[12]研究了水滴在簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)因?yàn)楹?jiǎn)諧振動(dòng)的平面誘導(dǎo)，水滴會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律的星形振蕩圖樣。此外，生活中的一些微小振動(dòng)都可以在一定程度上近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。本文關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系也給我們了解生活中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)提供了一種等效且定量分析的思路。

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