，，

(北京空天技術研究所，北京 100074)

0 引言

在吸氣式高超聲速飛行器技術研究中，彈道設計[1]在飛行器設計中占有十分重要的地位，是使吸氣式高超聲速飛行器具有可行性和有效性的關鍵。與傳統的飛行器不同，吸氣式高超聲速飛行器具有跨大空域、跨大速度范圍的飛行包線、嚴酷的氣動熱環(huán)境、復雜的氣動載荷、苛刻的發(fā)動機工作條件、嚴重氣動耦合、大氣參數依賴程度高與參數的劇烈變化等特點，使其彈道設計成為總體方案中的一個重要難點。因此，研究一種能夠同時考慮多種約束條件，適應廣泛不確定性的方案彈道設計方法，具有十分重要的意義。

在工程應用中，傳統的彈道設計方法是基于經驗設計程序攻角，形成方案彈道。該方法在傳統型號的研制中起著十分重要的作用，有著良好的效果。但是隨著飛行任務種類的多樣，飛行環(huán)境的嚴苛，飛行器結構的復雜，新型飛行器的設計經驗不足，致使傳統彈道設計方法弊端凸顯。首先，在飛行走廊約束不強時，僅能完成飛行任務，無法實現飛行器最優(yōu)性能；其次，在飛行走廊狹窄，約束苛刻時，在有限次數的調試中，難以找到可行的程序彈道；最后，傳統的彈道設計方法需要反復多次修正，耗時長。

彈道優(yōu)化思想起源于最優(yōu)控制問題解決方法，一般分為兩類，直接法和間接法[2-3]。間接法精度高，但是推導最優(yōu)解的過程復雜繁瑣，對初值估計精度要求高，且初值變量無物理意義，難以估算，使得該方法的應用受到很大限制；直接法隨著計算機技術的發(fā)展，受到廣大學者的青睞，并廣泛應用于彈道優(yōu)化問題，該方法通過將最優(yōu)控制問題的變量參數化，轉化為非線性規(guī)劃問題進行求解，進而衍生出來的方法包括：直接打靶法[4]、配點法[5]、偽譜法[6]、微分包含法[7]、動態(tài)逆方法[8]等等。

本文選取吸氣式高超聲速飛行器為研究對象，因飛行器結構外形特點，使其具有氣動/推進/彈性耦合特性，與傳統飛行器總體設計相比總體設計域較窄，給彈道優(yōu)化與設計帶來較大困難。為滿足結構強度、結構熱以及控制設計需求，飛行器彈道約束[9]嚴苛，用傳統的方案彈道設計方法很難確定較為理想的彈道。本文采用高斯偽譜法[10](Gauss Pseudospectral Method，GPM)求解吸氣式高超聲速飛行器的上升段彈道。

1 彈道優(yōu)化模型

1.1 高超聲速飛行器運動學模型

對于吸氣式高超聲速飛行器采用如下運動學模型：

(1)

其中，P是發(fā)動機推力；X是阻力；θ是彈道傾角；α是飛行攻角；R是地球半徑；h是飛行高度；x是射程；mc是燃油流量；V是飛行速度。

1.2 飛行任務剖面

以一種空射高超聲速飛行器為例，如圖1所示，飛行任務共分為五段：帶飛段、助推段、爬升段、巡航段和無動力下滑段。飛機帶飛至指定發(fā)射點投放發(fā)射，發(fā)射后助推器點火，一級加速爬升，在預定的分離窗口進行保護罩分離和級間分離，隨后調整姿態(tài)進入轉級窗口；然后，超燃沖壓發(fā)動機點火接力，繼續(xù)加速爬升，到達預定高度后按規(guī)劃彈道巡航飛行；最后關閉發(fā)動機，并無動力滑行下降。

圖 1 飛行任務剖面Fig.1 Flight mission profile

1.3 約束條件和性能指標

在高超聲速飛行條件下，嚴重的氣動熱，發(fā)動機苛刻的工作條件，氣動耦合及參數的劇烈變化，使得高超聲速飛行器必須滿足諸多過程約束和終端約束。本文選取動壓、過載、熱流、控制量為過程約束，末端高度、攻角為終端約束進行研究。

(1)過程約束

動壓約束：

為滿足吸氣式高超聲速飛行器結構設計與控制效率的要求，對動壓應有相應的約束。

(2)

過載約束：

因為飛行器結構剛度所能承受的壓力是有限的，所以過載不可過大，同時要滿足一定的機動性，因此過載也不能過小。過載約束為：

nxdown≤nx≤nxup

nydown≤ny≤nyup

(3)

熱流約束：

由于高超聲速飛行器速度快，導致飛行器所承受的氣動熱效應嚴重，為防止結構因高溫發(fā)生損壞，所以需對熱流進行約束

≤qs_max

(4)

控制量約束：

由于飛行器結構、超燃沖壓發(fā)動機與姿態(tài)控制系統設計的限制，吸氣式高超聲速飛行器飛行時的攻角不能過大，對攻角應有相應約束。

αdown_p≤α(t)≤αup_p

(5)

(2)終端約束

為保證飛行器級間正常分離和超燃沖壓發(fā)動機正常點火，需要對終端的飛行攻角和高度進行限制。

終端高度約束：

Hdown≤H(tf)≤Hup

(6)

終端攻角約束：

αdown≤α(tf)≤αup

(7)

(3)性能指標

為了超燃沖壓發(fā)動機在點火窗口能夠穩(wěn)定點火一段時間，需要飛行器高度變化小，進而需要較小的彈道傾角，選取末端彈道傾角為優(yōu)化指標

J=-θ(tf)

(8)

吸氣式高超聲速飛行器爬升段彈道優(yōu)化問題可歸結為初始狀態(tài)固定，終端狀態(tài)受約束，終端時刻自由的非線性動態(tài)優(yōu)化問題。

2 高斯偽譜法

高斯偽譜法的解算步驟為，首先，在一系列的LG(Legendre-Gauss)節(jié)點上將狀態(tài)變量和控制變量進行離散；然后，采用全局多項式插值，對控制變量和狀態(tài)變量進行近似，從而將系統的微分約束轉化為一組代數約束；最后，以節(jié)點處的狀態(tài)變量和控制變量作為優(yōu)化設計變量，進而將彈道優(yōu)化問題轉化為非線性規(guī)劃問題求解。

(1)動力學微分方程的離散

考慮一般形式的非線性系統動力學方程

(9)

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)變量，u(t)∈Rn是控制變量，f:Rn×Rn→Rn為連續(xù)向量函數。采用高斯偽譜法需要將時間區(qū)間[t0,tf]轉換到[-1,1]，為此引入變量τ對時間t進行變換

(10)

通過LG點以及τ0=-1上的狀態(tài)變量構造Lagrange插值多項式近似狀態(tài)變量，得到

(11)

其中，Li(τ)為插值基函數，τi為LG點

(12)

x(τi)=X(τi),(i=0,…,K)狀態(tài)變量的導數可通過對Lagrange插值多項式求導來近似，從而將動力學微分方程約束轉換為代數約束。即

(13)

其中，微分矩陣D∈RK×(K+1)的表達式如下

(14)

可得到配點上應滿足的代數方程

τk;t0,tf]=0, (k=1,…,K)

(15)

(16)

(2)過程約束

對于過程約束，認為只要離散節(jié)點處滿足過程約束，全程即滿足過程約束，即

C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0 (k=1,…,K)

(17)

(3)終端狀態(tài)約束

最優(yōu)控制問題往往包含終端狀態(tài)約束，而Lagrange插值多項式公式中未定義終端狀態(tài)xf，不過終端狀態(tài)也應滿足動力學方程約束，根據動力學方程有

(18)

將終端狀態(tài)約束條件離散并用高斯積分來近似，可得

U(τk),τk;t0,tf]

(19)

為高斯權重，τk為LG點。

(4)控制量約束

控制量的約束條件在高斯偽譜法中的處理相對簡單，只需在LG點滿足約束條件，即

C1′≤Uk≤C2′ (k=1,…,K)

(20)

若當控制量u的導數有約束時，可通過對其進行求導，在LG點處令其滿足約束要求，即

(21)

(5)性能指標函數的近似

將Bolza型性能指標函數

J=φ[x(τ0),t0,x(τf),tf]+

(22)

式中的積分項用高斯積分來近似，得到高斯偽譜法中的性能指標函數

J=φ[X(τ0),t0,X(τf),tf]+

(23)

根據以上的數學變換，文中的彈道優(yōu)化問題可以描述為：在[t0,tf]時間內，確定離散點上的狀態(tài)變量Xk(k=1,…,n)、控制變量Uk(k=1,…,n)和終端時刻tf，使得在滿足上述約束條件的情況下性能指標J最小。從而將無限維的最優(yōu)控制問題轉換為一般的非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃問題的求解方法很多，本文選取穩(wěn)定性和精度較優(yōu)的序列二次規(guī)劃算法[11]進行求解,其求解過程如圖2所示，其算法流程如下：

1)選擇適當的初始點x0、正定對稱矩陣B0(一般令B0=I)、罰因子r=0，令k=0；

2)計算目標函數及約束函數值；

3)計算偏導數；

4)根據式|xk+1-xk|<ζ(ζ是極小的正數)，判斷是否收斂，若收斂則停止計算，否則轉5)繼續(xù)計算；

5)解線性規(guī)劃子問題得到(dk,λk+1)；

6)更新罰因子；

7)計算罰函數值；

8)通過一維搜索，確定步長α，得到xk+1；

9)更新矩陣Bk，轉2)。

SQP算法在實際運用中，需要適當選取初始參數，如果選取得當，能夠加速迭代過程。參數的選取應符合實際問題的物理意義，否則，可能會得到不正確的結果。根據具體問題的物理意義和實際經驗，有助于較好地選取初始參數。

圖 2 序列二次規(guī)劃算法流程圖Fig.2 Sequential quadratic programming algorithm flow chart

3 算例仿真與分析

假設飛行器投放高度為9km，投放初始速度為Ma0.7，投放時刻彈道傾角為0°，取末端攻角約束-1°≤α(tf)≤1°，末端高度約束15km≤H(tf)≤18km，控制約束分別取-16°≤α(t)≤20°，并以末端彈道傾角最小作為優(yōu)化指標。仿真結果如圖3所示。

(a)速度隨時間變化曲線

(b) 彈道傾角隨時間變化曲線

(c)高度隨水平位移變化曲線

(d) 攻角隨時間變化曲線

(e)動壓隨時間變化曲線圖 3 彈道仿真結果Fig.3 Trajectory simulation results

圖3中，紅色的點為通過偽譜法得到的各狀態(tài)變量在離散點處的值，藍色曲線為將優(yōu)化得到的最優(yōu)控制變量代入到動力學方程，對各狀態(tài)變量進行數值積分得到的各狀態(tài)變量變化曲線。仿真結果表明，各狀態(tài)變量隨時間變化曲線平緩，在滿足動壓、攻角、過載等變量約束的前提下，能夠很好地收斂到終端約束值。末端彈道傾角為0，實現了末端彈道傾角最小這一性能指標。

采用偽譜法能夠同時得到控制變量和狀態(tài)變量。飛行器在實際飛行過程中，在已知飛行狀態(tài)初始值的前提下，狀態(tài)變量可以通過控制變量對飛行器動力學方程中的狀態(tài)進行積分獲得。如果優(yōu)化得到的狀態(tài)變量和通過積分得到的狀態(tài)量值相等，優(yōu)化結果精確可信，算法有效?；谏鲜鏊枷?，比較藍色曲線和紅色點組成的曲線，兩者基本吻合，從圖中難以區(qū)分差異，可以說明該方法精度較高，且結果正確。

在彈道設計過程中，該方法只需對控制變量、狀態(tài)變量在某性特定階段的約束進行限制，通過優(yōu)化算法可得到滿足約束條件的彈道，最大限度地發(fā)揮飛行器的性能。同時，以非解析形式，能夠更為精細地調整優(yōu)化彈道。

4 結論

文中建立了以末端彈道傾角最小為性能指標的吸氣式高超聲速飛行器彈道優(yōu)化模型，采用高斯偽譜法對該模型進行了求解，對控制變量進行諸多約束限制。仿真結果表明，該算法優(yōu)化得到的彈道的狀態(tài)變量能夠在滿足過程約束和終端約束的情況下，使得性能指標達到最優(yōu)；計算精度高，相比傳統的方案彈道設計方法，避免了反復，提高了設計效率，可為吸氣式高超聲速飛行器彈道設計提供參考。

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