福建晉江市實驗小學(xué)(362200) 顏乙紅
北師大版教材四年級上冊第五單元第二課時“確定位置”
“確定位置”就是刻畫物體或圖形位置的方式——用有序數(shù)對(a,b)表示物體(點)在平面中的位置。其實質(zhì)是“在直角坐標(biāo)系中,對于平面上的任意一點,都有唯一的一個有序數(shù)對與它對應(yīng),反過來,對于任意一個有序?qū)Γ加衅矫嫔衔ㄒ坏囊稽c與它對應(yīng)”。這個知識點與其他知識點最大的不同在于它的本源是數(shù)學(xué)而不是生活,但又可依附于現(xiàn)實結(jié)構(gòu),因此教材從學(xué)生的座位“某組某排”引入確定位置。通過課前問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn),98%的學(xué)生自習(xí)課本就能依樣畫葫蘆用兩個數(shù)來表示位置,但對于“為什么要用數(shù)學(xué)語言來刻畫一個點的位置?如何刻畫?刻畫的價值在哪里?”則很茫然。其實從數(shù)學(xué)史的角度來看,笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)的用意是用它來解決幾何計算問題;從學(xué)生的認(rèn)知來看,學(xué)生早在一年級時便有了在一維中刻畫位置的經(jīng)驗(如前后、上下、左右),在二維中刻畫位置的經(jīng)驗(如東南西北)。本課是在二維中正式學(xué)習(xí)如何用兩個數(shù)表達(dá)點的位置,而確定點的位置,就是確定好點的橫向位置和縱向位置,不管是行還是列、組還是排,都是生活語言表達(dá)的需要。在明確用數(shù)對確定位置的內(nèi)涵及教育價值后,就可以“用‘好”素材,促‘真’理解”為指導(dǎo)思想設(shè)計教學(xué)。
師:今天有一只蜘蛛要和我們一起上課。瞧,它來了。蜘蛛在哪里?它悄悄地爬上橫梁躲在某個燈籠后面。猜猜它在里?(課件出示圖1)
圖1
(學(xué)生隨意猜測)
師:給你們一點提示。(課件出示數(shù)字“2”)現(xiàn)在你覺得它在哪里?
生1:可能是從左邊數(shù)起第二個。
生2:可能是從右邊數(shù)起第二個。
師:到底是從右邊數(shù)起,還是從左邊數(shù)起呢?能確定么?
生(齊):不能。
師:想一想,還要再提供什么信息才能確定蜘蛛的位置?(板書:確定位置)
生3:還要說是從左邊數(shù)起還是從右邊數(shù)起。
師:也就是還要提供數(shù)的———
生(齊):方向。
師:再給你們一點提示(板書:→)?,F(xiàn)在你能確定蜘蛛的位置了么?
生4:知道了,蜘蛛就藏在從左邊數(shù)起的第二個燈籠里。
師:你們真不簡單,給個方向和數(shù)字就馬上猜中了。這里有這么多燈籠,如果想讓人一眼看出每個燈籠對應(yīng)是第幾個。怎么辦?
生5:標(biāo)數(shù)字。
師:我們試著在對應(yīng)燈籠的下面標(biāo)上數(shù)字。(課件出示:在對應(yīng)燈籠下標(biāo)數(shù)字)
師(手指橫梁的起點):這個地方標(biāo)多少呢?
生6:0。因為0表示起點。
師:能用一個數(shù)表示蜘蛛現(xiàn)在的位置么?
生7:2 。
師:2表示什么意思?
生7:第2個燈籠的地方。
師:也就說燈籠的順序是2。
師:如果從起點開始一段一段地數(shù),2還可以表示什么?
生8:距離起點2個間斷的地方。
師:2還能表示和起點的距離。
師:蜘蛛趴在這里好一會兒了,它想換個位置了,于是又繼續(xù)爬。(課件分別演示蜘蛛爬到第三、四、五個燈籠后面)現(xiàn)在的位置是——
生:3;4;5。
師:只要蜘蛛繼續(xù)在橫梁上爬,我們就可以用——
生9:一個數(shù)確定它的位置。
【設(shè)計意圖:把握用數(shù)對確定位置的數(shù)學(xué)本質(zhì),以數(shù)學(xué)家笛卡爾用數(shù)對確定點的位置的素材為切入點,從方法源頭——一維空間出發(fā),創(chuàng)設(shè)“蜘蛛在哪里”的問題情境,先讓學(xué)生觀察蜘蛛在橫梁上的位置,體會參照物(起點)、方向、距離在確定位置中的重要作用,喚醒學(xué)生用一個數(shù)確定點在一組線上的位置的經(jīng)驗?!?/p>
1.制造沖突
師:蜘蛛趴在橫梁上太久了。它說:“外面的世界那么大,我要去看看?!彼掷^續(xù)爬了。(課件出示蜘蛛從第3個燈籠往上爬)什么變了?
生1:位置變了,爬的方向也變了。剛才是從左往右爬,現(xiàn)在是從下往上爬。(板書↑)
師:現(xiàn)在蜘蛛爬到哪里了?
生2:3 的上面。
師:如果蜘蛛再往上爬一點呢?
生3:還是3的上面。
師:再往上爬一點呢?
生4:還是3的上面。
師:如果蜘蛛不小心往下掉了一點呢?
生5:也是3的上面。
師:都說是3的上面,這樣真的能說清楚蜘蛛的具體位置么?
生6:不能。
師:怎么辦?
生7:在左邊的柱子上標(biāo)數(shù)字。
師:怎么知道在多高的地方標(biāo)幾?
生8:1段高的地方標(biāo)1,2段高的地方標(biāo)2……(學(xué)生用手比畫起點到第1個燈籠的距離為一段)
師:我跟你們想到一塊了。(課件出示:在柱子上掛上燈籠)
師(指著第一個燈籠):這里標(biāo)多少?
生9:1。
師:課件出示數(shù)字:現(xiàn)在能看出蜘蛛往上爬了幾段么?
生10:2 段。
【設(shè)計意圖:制造認(rèn)知沖突,讓學(xué)生體會僅僅用一個數(shù)已經(jīng)無法準(zhǔn)確表示出蜘蛛的位置,從而深入思考,提出解決問題的辦法,這是學(xué)生的思維從一維向二維發(fā)展的過程。】
2.嘗試建構(gòu)
師:為了便于觀察蜘蛛的位置,我們可以把橫梁和柱子看成線,燈籠和起點的位置看成點,蜘蛛可以化身為點。老師已經(jīng)把這只蜘蛛,也就是點變到你們的學(xué)習(xí)單上去了,請你們拿出學(xué)習(xí)單1,用自己的方法表示蜘蛛的位置。
生11:蜘蛛的位置是“3上面2段的地方”。3表示從左往右橫著數(shù)3段,2表示從下往上豎著數(shù)2段。
生12:蜘蛛的位置是“橫3豎2”。我也是從左往右橫著數(shù)3段,從下往上豎著數(shù)2段。
生13:蜘蛛的位置是“3、2”。
師:這些記錄的方法中有什么共同的地方?
生14:都用到了數(shù)字3和2。
師:你真善于觀察和比較,我要把你的發(fā)現(xiàn)記錄下來。(板書:3 2)
師:3表示——從左往右橫著數(shù)3段的位置,表示的是點的橫向位置(板書:橫向位置)。2表示——從下往上縱著數(shù)2段的位置,表示的是點的縱向位置。(板書:縱向位置)蜘蛛在橫梁的時候,我們只要用一個數(shù)就能確定它的位置,現(xiàn)在為什么要用兩個數(shù)?
生15:用兩個數(shù)能更準(zhǔn)確地表示蜘蛛的位置。
師:是啊,現(xiàn)在蜘蛛是在一個平面上,它既有——橫向位置,又有——縱向位置,所以要用兩個數(shù)來確定它的位置。你們真是善于總結(jié),數(shù)學(xué)家笛卡爾可是經(jīng)過漫長的思考才想到用2個數(shù)表示點的位置,而我們只用了短短的十幾分鐘就做到了??纯磾?shù)學(xué)家笛卡爾是怎么想的。(微課展示笛卡爾創(chuàng)造數(shù)對的故事和數(shù)對的讀、寫法)
師:你們跟數(shù)學(xué)家一樣,創(chuàng)造了兩個數(shù)來確定蜘蛛的位置。數(shù)學(xué)家規(guī)定,先寫——(表示橫向的位置的數(shù)),再寫——(表示縱向位置的數(shù)),接著——
生16:中間用逗號隔開。
師:是的,用逗號區(qū)分橫向位置和縱向位置。
生17:外面加括號。
師:沒錯,用括號表示一個整體。
師:這就是我們今天學(xué)習(xí)的確定位置的方法——用數(shù)對來確定位置。這個數(shù)對讀作——(數(shù)對三二),我們就用(3,2)來表示這個點的位置。
【設(shè)計意圖:學(xué)生自主嘗試,創(chuàng)造了表示蜘蛛(點)在平面上的位置的方法,體會到使用兩個數(shù)在平面上確定點的位置的必要性。用微課的形式呈現(xiàn)笛卡爾用數(shù)對表示點的位置的故事,再次巧妙地把數(shù)對的意義、讀法和寫法融入其中。這是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的延伸,是數(shù)學(xué)知識與邏輯的進(jìn)一步抽象和深化,能夠促進(jìn)學(xué)生理解規(guī)則產(chǎn)生、表達(dá)和形成的過程?!?/p>
3.深化認(rèn)知
師:一個點的位置可以用數(shù)對表示,如果有很多個點呢?老師把每個點的橫向位置和縱向位置用橫線和豎線畫出來,形成了方格圖?,F(xiàn)在就在方格圖上研究格點的位置。
圖2
師(把鼠標(biāo)放在點(4,2)上):怎么用數(shù)對表示這個點的位置?這個點能用(2,4)表示么?
生18:不能。
師:怎么不能?還不都是這兩個數(shù)字?
生19:(2,4)的橫向位置是 2,縱向位置是 4,而這個點的橫向位置是4,縱向位置是2。
師:你分析得真清楚。那(2,4)表示的點又在哪里?(請學(xué)生指出點(2,4)的位置)
師:原來(4,2)和(2,4)表示的位置是不一樣的啊。
師:用數(shù)對確定位置時應(yīng)該注意什么?
生20:注意數(shù)的順序。
師:是啊,數(shù)對里的這兩個數(shù)是有序的。(板書:有序)數(shù)字的順序不一樣,表示的點的位置就不同。
師:一個數(shù)對對應(yīng)幾個點?
生21:1 個點。
師:沒錯,唯一的一個點。反過來呢,一個點也只對應(yīng)一個數(shù)對。
師:是的,唯一的一個數(shù)對。(板書:唯一)
師(出示圖3):這里還有兩個神秘的點A、B,你能用數(shù)對表示它們的位置么?
圖3
生22:A 點是(0,2),B 點是(0,0)
師:依次連接A、B、C,得到一個什么圖形?
生23:三角形。
師:是的,確定了這三個點的位置,三角形的形狀和大小也就確定了。
師(課件出示三角形向右平3格):三角形怎么了?
圖4
生24:平移后位置變了。
師:請用數(shù)對說說點的位置是怎么變的。
生25:原來 A點的位置是(0,2),現(xiàn)在是(3,2)。
生26:原來 B 點的位置是(0,0),現(xiàn)在是(3,0)。
生27:原來 C 點的位置是(4,2),現(xiàn)在是(7,2)。
師:真厲害,C點在格子外你都能看出來。怎么確定生27說的對不對?
生28:延長橫線和豎線,擴(kuò)充格子圖。
師:聽你們的。(課件演示擴(kuò)充格子圖)C點果然是(7,2)。
師(課件演示圖形旋轉(zhuǎn)):三角形又怎么了?請用數(shù)對說說位置是怎么變的。
圖5
生29:原來 A點的位置是(3,2),現(xiàn)在是(1,0)。
……
師:正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說,“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休?!蔽覀円院筮€將通過研究數(shù)的規(guī)律來了解圖形的特征。
【設(shè)計意圖:由表示一點的位置到表示多點的位置,學(xué)生深刻體會到每個點都有一個橫向的位置和一個縱向位置,把兩個方向線標(biāo)出來,便形成了方格圖,每個交叉點的位置可以用兩個數(shù)(數(shù)對)來表示。通過用點的位置描述圖形的位置變化,滲透了一一對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,發(fā)展了學(xué)生的空間觀念?!?/p>
師:剛才我們用數(shù)對確定蜘蛛的位置也就是點的位置。你們在教室里也有自己的位置,比如說第一組、第二組、第三組,我們把這樣的排列稱為組,我們班一總共有八組;還有第一排、第二排、第三排,我們班一總共有八排。老師要把你們的位置搬到屏幕上來??础@是咱們班的座位分布圖(課件出示班級座位圖)。請你對照座位圖,找找自己的位置。可以把組看成豎線,把排看成橫線。橫線和豎線的交點對應(yīng)的就是座位。
圖6
生1:我的座位是(3,5)。
師:真棒。用數(shù)對表示位置顯得很——
生(齊):簡潔。(板書:簡潔)
師:你們能用數(shù)對簡潔地表示自己的位置么?
生2:用數(shù)對表示我的位置是(3,2)。
師:剛才那只蜘蛛的位置用(3,2)表示,你的位置也用(3,2)表示,為什么?
生2:因為我的橫向位置和縱向位置都和蜘蛛一樣。
師:老師要考考你們的反應(yīng)能力。我報數(shù)對,請對應(yīng)的同學(xué)起立。(1,1),(2,2),…,(7,7)。(對應(yīng)的學(xué)生起立,教師在課件上標(biāo)出數(shù)對對應(yīng)的點)
圖7
師:老師報的這些數(shù)對有沒有什么特點?
生3:數(shù)對的第一個數(shù)和第二個數(shù)一樣。
生4:橫向位置和縱向位置相同。
師:這些數(shù)對所對應(yīng)的點:連起來是一條斜線。
師:真有想象力。我們現(xiàn)在來玩用數(shù)對開火車的游戲。請第三組的同學(xué)從前往后依次報出表示自己位置的數(shù)對。(學(xué)生依次報出:(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8))
師:這些數(shù)對有沒有什么特別之處?
生5:同一組的同學(xué),數(shù)對的第一個數(shù)字一樣。
師:同一組的同學(xué)在同一縱線上,他們的橫向位置一樣,所以數(shù)對的第一個數(shù)一樣。想一想,同一排的同學(xué)報出的數(shù)對又會有什么特點?
生6:數(shù)對的第二個數(shù)一樣。
師:是這樣么?我們用事實來說話。請同一排的同學(xué)報出數(shù)對。(學(xué)生依次報出:(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(7,2)(8,2))
師:果然和預(yù)料的結(jié)果一樣。同一排的同學(xué),他們在同一橫線上,縱向位置一樣,所以數(shù)對的第二個數(shù)一樣。
師:大家真了不起,都學(xué)會了用數(shù)對來確定自己的位置。要感謝蜘蛛陪我們上了一節(jié)課,讓我們像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷了數(shù)對的產(chǎn)生過程?;仡^看,當(dāng)蜘蛛在橫梁上,我們用一個數(shù)確定蜘蛛的位置;當(dāng)蜘蛛爬到墻面上,我們用2個數(shù),也就是用數(shù)對確定它的位置?,F(xiàn)在,蜘蛛要回家了,它離開了墻面掛在了半空中,這時候確定它的位置該用幾個數(shù)呢?
生7:用3個數(shù)。因為既要橫著數(shù),也要縱著數(shù),還要豎著數(shù)。(用手比出了三個方向)
師:這是你們的想法,當(dāng)蜘蛛變?yōu)樾l(wèi)星升上太空,或者化身為核潛艇潛入深海,我們又該怎么確定它的位置?這些問題都等待著你們?nèi)ヌ剿?,去發(fā)現(xiàn)!
【設(shè)計意圖:把學(xué)生的座位圖抽象為方格圖,讓學(xué)生根據(jù)座位圖用數(shù)對描述自己的位置,從而感悟數(shù)學(xué)就在身邊。最后對所學(xué)知識做了一番梳理,從一維、二維到三維,展示了一個較為完整的知識體系,激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。】