倪海玲

數(shù)學(xué)“模型思想”是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想方法，是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）提出的十個(gè)核心概念之一。數(shù)學(xué)教學(xué)就是在一定基礎(chǔ)上進(jìn)行對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)模型的建立及其方法的應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)和處理數(shù)學(xué)問題有著極其重要的影響，它可以幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的作用，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，建構(gòu)和掌握數(shù)學(xué)模型思想，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力的一種有效的途徑。那么在解決問題的教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，將模型思想滲透到教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？我認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手：

一、從具體情境中滲透模型思想

模型思想包括建立模型和求解模型兩個(gè)部分，其中建立模型思想的起點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出信息，對(duì)問題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化。在教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問題或者現(xiàn)象進(jìn)行感知與理解，重視生活問題的抽象概括和數(shù)學(xué)化的過程，使“生活問題”上升為“數(shù)學(xué)問題”，為模型思想的初步滲透和建立奠定思維基礎(chǔ)。不僅能讓學(xué)生借助積累的經(jīng)驗(yàn)感受到情境中所隱含的數(shù)學(xué)問題，而且能有效激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望與需求，初步滲透了數(shù)學(xué)模型意識(shí)。因此，教師在教學(xué)中滲透模型思想，首先需要準(zhǔn)確把握從現(xiàn)實(shí)的“生活原型”到抽象的“數(shù)學(xué)模型”的過渡過程。

二、從思維過程中培養(yǎng)模型意識(shí)

模型思想的形成是一個(gè)綜合性的過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。全面分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，探索解決問題的方法，在回顧反思中建立數(shù)學(xué)模型，是形成模型思想的核心。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生歸納數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)該拉長(zhǎng)學(xué)生思維“爬坡”的過程，通過豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展數(shù)學(xué)思考，充實(shí)數(shù)學(xué)思維過程。

例如，“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”作為一種數(shù)學(xué)模型，其研究重點(diǎn)應(yīng)該放在探索算法、形成公式上，通過豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)解決問題的能力，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著“研究”與“創(chuàng)造”，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。因此，教師教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)如下三個(gè)探索活動(dòng)：第一個(gè)活動(dòng)，用若干個(gè)1平方厘米的正方形擺出3個(gè)大小不同的長(zhǎng)方形。每次操作后在表格中記錄下長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，所用正方形的個(gè)數(shù)以及長(zhǎng)方形的面積。通過擺圖形和記錄數(shù)據(jù)，使學(xué)生初步體會(huì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的數(shù)量與所需正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系，間接感受長(zhǎng)、寬的數(shù)量與面積有關(guān)系。第二個(gè)活動(dòng)，用1平方厘米的正方形測(cè)量?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形的面積。先是利用圖示啟發(fā)學(xué)生只沿著第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各擺一排正方形，就可以看出這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬；推算出擺滿這個(gè)長(zhǎng)方形一共需要多少個(gè)正方形，就可以得到這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。然后讓學(xué)生對(duì)第二個(gè)長(zhǎng)方形展開獨(dú)立測(cè)量活動(dòng)，沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)擺出一排正方形，看出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是幾厘米；沿著長(zhǎng)方形的寬擺出一列正方形，看出長(zhǎng)方形的寬是幾厘米，再推算出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的數(shù)量與面積的關(guān)系。第三個(gè)活動(dòng)，說出長(zhǎng)7厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形的面積。學(xué)生根據(jù)前兩次活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)自主完成長(zhǎng)方形的面積推算。

通過上述這些活動(dòng)，學(xué)生較好地理解了“長(zhǎng)與沿長(zhǎng)邊可以擺的面積單位個(gè)數(shù)，寬與沿寬邊可以擺的面積單位的行數(shù)，每行擺幾個(gè)及可以擺這樣的幾行與長(zhǎng)方形面積”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”的數(shù)學(xué)模型的建立水到渠成。

三、從應(yīng)用價(jià)值中求解數(shù)學(xué)模型

求解模型是通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義。它是模型思想的重要組成部分，其本質(zhì)是將已驗(yàn)證成立的數(shù)學(xué)模型遷移應(yīng)用到相關(guān)問題情境中，解決生活實(shí)際問題。如《搭配問題》的教學(xué)可以讓學(xué)生對(duì)“2件上衣，3條褲子有多少種不同的搭配方式”進(jìn)行研究，得出“上衣件數(shù)×褲子條數(shù)=搭配總數(shù)”，以“一個(gè)幾”生出“幾個(gè)幾”，由簡(jiǎn)到繁，再由繁到簡(jiǎn)，彰顯數(shù)學(xué)“基本思想”和“模型思想”的力量。

從某種意義上來講，模型思想就是將一個(gè)問題的解決，拓展為一類問題的解決。在凸顯求解數(shù)學(xué)模型應(yīng)用價(jià)值的過程中，教師要重點(diǎn)做好兩方面的工作：一方面，通過一些基本習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)理解。這個(gè)環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型推廣到一般情況中去，從較普遍的意義上理解數(shù)學(xué)模型，從而掌握相應(yīng)的規(guī)律性知識(shí)。另一方面，通過一些變式練習(xí)拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的深度理解。這是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型本質(zhì)內(nèi)涵是否真正理解與掌握的重要方式，它有利于學(xué)生在應(yīng)用模型解決問題的過程中，提高靈活解構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力。因此，當(dāng)學(xué)生能主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來解答生活實(shí)際中的問題時(shí)，不但可以使他們充分體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，而且可以進(jìn)一步培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。

模型思想是學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索能力的重要途徑，引導(dǎo)學(xué)生探索模型的過程是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效方法。在小學(xué)階段，模型思想的主要教學(xué)形態(tài)是“滲透”，因此，教師要站在整體的高度綜合考慮，有機(jī)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，采用“教者有意、學(xué)者無心”的方式，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型，感悟模型思想。當(dāng)然，模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，一方面需要教師在課堂教學(xué)中有意識(shí)地滲透，另一方面需要學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不斷反思、揣摩與領(lǐng)悟。只有這樣，學(xué)生對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)的理解才能從“量的積累”達(dá)到“質(zhì)的飛躍”。