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(1.海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033；2.海軍海洋測繪研究所，天津 300061)

0 引言

磁矩是描述物體磁特性的一個重要參數(shù)，磁矩測量對于衛(wèi)星的姿態(tài)控制[1-2]、磁性目標(biāo)的消磁及磁防護(hù)[3]工作都具有重要的意義。

為解決磁性目標(biāo)磁矩的反演問題，陳進(jìn)明等[4]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法對磁矩反演進(jìn)行了優(yōu)化計算，并對反演過程中的魯棒性較差的現(xiàn)象進(jìn)行了自適應(yīng)修正；洪咸東等[5]對水雷磁矩測量過程中的測量誤差進(jìn)行了建模，分析了測量距離、傳感器長度以及傳感器直徑等因素對測量誤差的影響；亓亮等[6]利用磁傳感器陣列系統(tǒng)測量輻射體的空間磁場分布，然后通過計算解算出輻射體的磁矩，但該方法同樣需要進(jìn)行迭代收斂計算，求解的精度與選用的方法有關(guān)。這些磁矩反演的問題都轉(zhuǎn)化為了非線性優(yōu)化問題，直接根據(jù)磁場數(shù)據(jù)優(yōu)化求解磁矩。

對于非線性問題的求解，其計算方法的選取具有一定的隨機(jī)性，求解結(jié)果受所選用的方法以及初值的設(shè)定影響較大。為避免磁矩反演時的非線性優(yōu)化問題，本文提出了基于磁偶極子磁場分布特征的磁矩方向反演方法。這里的磁場分布特征主要包含磁梯度張量[7-8]分布和磁場矢量分布兩部分。

1 特征平面上磁梯度張量奇異性分析

設(shè)源點(diǎn)磁偶極子所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，磁偶

極子磁矩為M=(mx,my,mz)，場點(diǎn)A(x,y,z)處的空間磁場為：

(1)

對式(1)中Bx、By、Bz分別在x、y、z三個方向上求偏導(dǎo)，得到磁梯度張量G中的9個量，磁梯度張量可表示為：

(2)

式中：

計算得到磁梯度張量G的3個特征值分別為

(3)

根據(jù)式(3)中特征值的表達(dá)式可知特征值λ2<0、λ3>0，若特征值λ1=0，即xmx+ymy+zmz=0，磁梯度張量為奇異陣，則此時場點(diǎn)位于磁偶極子的特征平面[9]上；反過來若場點(diǎn)位于特征平面上，則有xmx+ymy+zmz=0，此時特征值λ1=0，磁梯度張量為奇異陣?？芍?，所有滿足磁梯度張量矩陣奇異的場點(diǎn)均位于特征平面P上，滿足這一條件的場點(diǎn)位置矢量r與磁矩M是垂直的。

2 磁矩方向估算方法

2.1 特征平面法向量的計算

如圖1所示，O為磁偶極子源點(diǎn)，M是磁矩，平面P是磁偶極子的特征平面，位于平面P上的兩條直線L1和L2稱為特征線。特征線L1、L2與磁矩M是相互垂直的。

任意與特征平面不平行的面上的磁梯度張量奇異點(diǎn)都位于同一條直線上，這條直線是該平面與特征平面的相交線。因此若能計算得到不重合的兩個平面上的特征線L1和L2，就可以唯一確定特征平面P的位置，進(jìn)一步可求得特征平面P的法向量Im，法向量Im與磁矩M是平行關(guān)系，若要進(jìn)一步使Im的方向與磁矩M的方向一致，需要結(jié)合磁偶極子磁場分布特征對Im方向進(jìn)一步進(jìn)行標(biāo)定。

2.2 磁矩方向的計算

圖2為磁偶極子磁場沿磁矩的剖視圖，圖中給出了磁力線及其指向。坐標(biāo)原點(diǎn)O為磁源位置，以磁矩的指向為Z軸的正向，P是特征平面，A是場點(diǎn)，B為磁場矢量。

圖中磁偶極子的特征平面P將磁場空間劃分成為上下兩部分，上半部分磁力線的走勢呈現(xiàn)從磁源向四周發(fā)散的趨勢，記為磁場發(fā)散區(qū)，在發(fā)散區(qū)內(nèi)場點(diǎn)A位置失量OA與磁矩M的夾角小于90°；下半部分磁力線的走勢呈現(xiàn)從四周向磁源匯聚的趨勢，記為磁場匯聚區(qū)，在匯聚區(qū)內(nèi)場點(diǎn)A位置矢量OA與磁矩M的夾角大于90°。失量OA與磁矩M的夾角計算公式：

(4)

場點(diǎn)A處的磁場B與場點(diǎn)位置矢量OA的夾角：

(5)

根據(jù)式(4)、式(5)可知，cosθ和cosβ的符號相同，僅與xm1+ym2+zm3的正負(fù)有關(guān)。因此，若cosβ>0，則有cosθ>0，即場點(diǎn)位于發(fā)散區(qū)，此時場點(diǎn)坐標(biāo)矢量OA與磁矩M的夾角θ<90°；若cosβ<0，則有cosθ<0，即場點(diǎn)位于匯聚區(qū)，此時場點(diǎn)坐標(biāo)矢量OA與磁矩M的夾角θ>90°。即在某一指定的場點(diǎn)A處，可以根據(jù)OA與B的夾角關(guān)系確定OA與磁矩M的夾角關(guān)系，進(jìn)而對向量Im的方向進(jìn)行判定，最后實現(xiàn)磁矩方向的估算。

3 仿真及誤差分析

在實際的測量計算中，由于存在多種因素的影響使得測量數(shù)據(jù)與理論值之間存在差異，根據(jù)矩陣特征值λ1=0來判斷某一矩陣是否為奇異陣往往是比較困難的，較為可行的做法是根據(jù)條件數(shù)的大小來判斷矩陣是否奇異或接近于奇異，條件數(shù)大的為奇異矩陣或接近于奇異矩陣，若奇異，則該場點(diǎn)位于特征平面上。因此，可以在某一區(qū)域范圍內(nèi)取多個場點(diǎn)，根據(jù)場點(diǎn)處的磁梯度張量矩陣的條件數(shù)來判斷該場點(diǎn)是否位于特征平面上。

設(shè)偶極子的磁矩M=(1 000，-1 430，3 600)A·m2，在空間Z=-3 m的平面上，取定矩形測量區(qū)域X、Y的范圍為-19

結(jié)合圖3中的三維視圖分析可知，在計算空間中出現(xiàn)了磁張量矩陣條件數(shù)異常的現(xiàn)象，大部分場點(diǎn)處磁張量矩陣的條件數(shù)都比較小，不超過10，小部分場點(diǎn)處的條件數(shù)明顯超過其他場點(diǎn)很多，達(dá)到幾百甚至上千。從俯視圖上可以看出，條件數(shù)較大的點(diǎn)基本分布在一條直線附近，根據(jù)上節(jié)的分析可以判斷，這條直線是特征平面P與Z=-3平面的相交線，在此稱為特征線。擬合得到特征線L1(圖中斜線)的曲線方程：

同樣，在Z=3的平面上選擇同樣大小的測量區(qū)域進(jìn)行場點(diǎn)磁張量矩陣條件數(shù)的計算，將場點(diǎn)對應(yīng)的條件數(shù)繪制于圖4中。

與圖3中的結(jié)果相同，圖4顯示出在Z=3的平面區(qū)域上也存在磁張量矩陣條件數(shù)異常的現(xiàn)象，部分場點(diǎn)的條件數(shù)明顯超過其他場點(diǎn)很多，最大達(dá)到1 000以上。從俯視圖上可以看出，這些條件數(shù)較大的場點(diǎn)近似分布在一條直線附近，這條直線是特征平面P與Z=3平面的相交線。擬合得到特征線L2(圖中斜線)的曲線方程：

如圖5所示，特征線L1和L2位于平面P上，磁矩M與L1和L2是相互垂直的關(guān)系，因此可根據(jù)特征線L1和L2的空間位置關(guān)系初步計算出與磁矩M平行的空間向量Im，即特征平面的法向量。

直線L1、L2在Z=0平面上投影的位置關(guān)系：

1)在Y軸截距相差：

Δb=21.598 8-6.463 6=15.135 2

2)投影直線的傾斜角(與X軸夾角)：

α=arctan(0.701 6)=0.611 8

3)兩投影直線間距：

Δb′=Δbcosα=12.389 9

直線L1、L2所確定的特征平面P與Z=0平面的夾角：

β=arctan(Δh/Δb′)=
arctan((3-(-3))/13.810 3)=0.451 0

設(shè)Iy=±(0,1,0)是平行于Y軸的單位向量，將Iy首先繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)α角，然后再繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)β角，即是特征平面P的一個法向量，同時也是一個與磁矩M平行的單位向量。根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)關(guān)系確定出磁矩M的方向：

(6)

下面結(jié)合磁場分布特征對Im的正負(fù)號進(jìn)行判定。

選取坐標(biāo)為(-19,-20,3)的場點(diǎn)A，對應(yīng)的磁場B=(-11.747 9,-0.747 0,-15.732 7)nT，根據(jù)式(5)可以求得：

計算可知，當(dāng)式(6)中Im取正號時可滿足cosθ> 0，最終確定磁矩方向為Im=(1,-1.425 5,3.595 7)。

計算磁矩方向Im與設(shè)定磁矩M=(1 000,-1 430,3 600)A·m2之間的夾角為

4 結(jié)論

本文提出了基于磁偶極子磁場分布特征的磁矩方向估算方法，通過分析磁偶極子的磁場分布特性，利用磁梯度張量奇異點(diǎn)確定特征平面的位置，得到與磁矩相平行的特征平面的法向量，再根據(jù)位置矢量與磁矩、磁場矢量所成的兩個夾角之間的關(guān)系確定法向量的具體指向，從而得到磁矩的方向。仿真結(jié)果表明，該方法有效避免了以往磁矩求解工作中需進(jìn)行非線性優(yōu)化的難題，實現(xiàn)了目標(biāo)磁矩的反演。估算得到的磁矩方向與設(shè)定的磁矩方向基本一致的，兩者之間的角度偏差僅為0.14°。

參考文獻(xiàn):

[1]吳衛(wèi)權(quán).地磁場中衛(wèi)星不側(cè)置態(tài)下磁矩測試方法[J].上海航天，2014，31(1)：50-55.

[2]易忠, 史堯宜.地磁場中測量衛(wèi)星磁矩的一種新的方法[J].環(huán)模技術(shù)，1996(4)：14-24.

[3]張朝陽，虞偉喬，陸鵬飛.基于遠(yuǎn)場等效磁矩的潛艇磁防護(hù)技術(shù)[J].艦船科學(xué)技術(shù)，2015，37(2)：97-100.

[4]陳進(jìn)明，隗燕琳.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁性目標(biāo)磁矩反演方法[J].船電技術(shù)，2012，32(9)：57-60.

[5] 洪咸東，任志良，俞偉，等.魚雷輻射磁矩測量誤差研究[J].魚雷技術(shù)，2007，15(1)：42-44.

[6]亓亮，陸志宏，李迪.基于磁傳感器陣列的電磁輻射體輻射磁矩測量[J].艦船電子對抗，2015，38(6)：109-112.

[7]李金朋，張英堂，范紅波，等.基于磁梯度張量的地下小目標(biāo)相關(guān)成像方法[J].探測與控制學(xué)報，2016，38(3)：75-78.

[8]李光，隨陽軼，劉麗敏，等.基于差分的磁偶極子單點(diǎn)張量定位方法[J].探測與控制學(xué)報，2012，35(5)：50-54.

[9]任來平，歐陽永忠，陸秀平，等.水下鐵磁體磁場特征平面[J].海洋測繪，2005，25(4)：1-4.