，

(1.國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037；2.安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230037)

0 引言

圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中常常會受到各種噪聲的污染，從而降低了圖像的主觀和客觀質(zhì)量。噪聲的產(chǎn)生使得圖像的質(zhì)量變差，使得人們無法清晰地觀測所采集到的圖像，影響了視覺效果。圖像當(dāng)中許多重要的細(xì)節(jié)信息被噪聲掩蓋，一些需要進(jìn)行提取和識別的目標(biāo)也變得無法分析，給后繼的圖像處理和應(yīng)用(如圖像分割、目標(biāo)識別、圖像檢索以及圖像編碼、傳輸?shù)?帶來了諸多不利的影響。因此，圖像去噪問題在圖像預(yù)處理中起著至關(guān)重要的作用。

近年來，一些基于自然圖像稀疏性表示的去噪方法被提出來[1-4]。信號稀疏表示理論將信號由非稀疏域轉(zhuǎn)變?yōu)橄∈栌?，通過捕獲信號的有用信息來進(jìn)行信號的處理，更好地重構(gòu)出原有信息。利用圖像中的有用信息一般具有稀疏性，而噪聲不具有稀疏性這一特點(diǎn)，從而將圖像中的噪聲去除[5]。圖像的稀疏性可通過稀疏變換實(shí)現(xiàn)，那么選擇一個合適的稀疏變換基是圖像重構(gòu)精度的關(guān)鍵問題。

當(dāng)前應(yīng)用廣泛的一類稀疏字典為冗余字典，根據(jù)構(gòu)造方法分為兩類：根據(jù)固定參數(shù)構(gòu)造字典和基于樣本訓(xùn)練方法構(gòu)造字典。參數(shù)化構(gòu)造的冗余字典有：Gabor字典[6]、DCT[7]字典等。文獻(xiàn)[8]為實(shí)現(xiàn)圖像的稀疏表示，文中構(gòu)造了由多個方向字典和一個正交DCT 字典組成的冗余字典，并用l1范數(shù)作為約束條件求解稀疏優(yōu)化問題。由于圖像是復(fù)雜的二維信號，參數(shù)化方法構(gòu)造的字典不能充分體現(xiàn)圖像的幾何特征，雖然構(gòu)造簡單，但是不能有效表示圖像的具體結(jié)構(gòu)特征，不能自適應(yīng)復(fù)雜的圖像結(jié)構(gòu)，稀疏效果并不理想。

本文針對此問題，提出了基于字典學(xué)習(xí)的稀疏去噪算法?；跇颖居?xùn)練方法構(gòu)造的字典具有自適應(yīng)性，能夠使稀疏變換系數(shù)有較高的稀疏度。

1 基本理論

1.1 稀疏表示

(1)

其中，αi=〈x,φi〉是x在基函數(shù)φi上組成的矩陣。由于基是線性獨(dú)立的，因此展開式是唯一的。式(1)可以表示為：

x=Φα

(2)

其中，Φ∈Rn×K是基函數(shù)組成的矩陣，矩陣的每一列對應(yīng)一個基。α∈Rk則是展開的系數(shù)所組成的矩陣。

通過K-n與零的關(guān)系，則可以將函數(shù)集合分為非完備、完備以及過完備這三類。當(dāng)小于零時，那么空間中的某些向量不能夠被φi完整的表示，此時我們則認(rèn)為φi為非完備的；當(dāng)公式等于零時，那么這K個基向量φi組成了一組過完備基；當(dāng)公式大于零時，空間中的每一個向量都可以用φi的線性組合表示，并且表達(dá)式不唯一，對應(yīng)的α有無窮多個解，此時我們稱基函數(shù)的組合φi為過完備的。

1.2 冗余的稀疏表示

隨著研究的不斷深入，冗余字典代替?zhèn)鹘y(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基成為一種趨勢[10]。這是因?yàn)槿哂嘧值淇梢酝ㄟ^訓(xùn)練樣本得到，這就使得冗余字典中的原子與逼近信號有一致的結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)行稀疏表示的時候使用的原子的數(shù)目較少，即使得信號更加稀疏，因此可以更好的還原信號。

為了更加靈活、精簡地表示信號，Mallat在小波分析的理論基礎(chǔ)上，研究了傳統(tǒng)的正交基在稀疏表示中的缺點(diǎn)，設(shè)計了冗余的字典，并且從中找到了一組最佳的線性組合來表示信號，此時線性組合的系數(shù)幾乎為0，即為稀疏的[11]。設(shè)存在信號x∈Rn和冗余原子庫D∈Rn×K；原子庫由K個原子組成，且K>n。則有

x=Dα

(3)

其中，D∈Rn×K，它的每一列代表一個原子。在已知D的情況下，x的冗余表示為α。從前面的分析可得，α存在無窮多個解，是一個欠定問題。對于該問題的求解，常見的方法包括正交匹配追蹤(OMP)算法[12]、基追蹤降噪(BPDN)算法[13]以及SLO算法[14]等。

2 基于字典學(xué)習(xí)的稀疏去噪

算法流程如圖所示。首先是對噪聲圖像進(jìn)行分塊處理，然后通過基于噪聲圖像塊進(jìn)行訓(xùn)練字典，初始化字典選擇是冗余的離散余弦變換字典(研究表明了當(dāng)初始化字典選擇冗余的DCT字典時，使用稀疏分解的算法迭代次數(shù)將會明顯降低，可以得到比較理想的效果)，采用K-SVD算法對字典訓(xùn)練。再用訓(xùn)練得到的字典對每個塊進(jìn)行稀疏分解，對得到稀疏分解進(jìn)行局部到整體的平均處理，最后得到去噪圖像。

2.1 離散余弦字典

離散余弦字典(DCT)是由離散余弦變換所得，給定序列x(n),n=0,1,…,N-1，其離散余弦變換：

(4)

(5)

矩陣形式：

Xc=CNx

(6)

其中，CN是N×N變換矩陣，其行向量為余弦基。

對于DCT變換后所獲得的完備字典，采用分?jǐn)?shù)頻率法將其擴(kuò)展成為過完備字典，具體的做法是將得到的完備字典對其頻率上做更加精細(xì)的遍歷和抽樣，從而獲得一個新的過完備字典。

2.2 基于K-SVD的字典訓(xùn)練

2.2.1K-SVD算法

噪聲圖像x中每一個圖像塊信息xij，可由訓(xùn)練得到的字典D中少數(shù)幾個原子(列) 的一個線性相關(guān)表示：x=Dα，其中，α∈Rn×N是x的稀疏表示系數(shù)，且要求滿足一定的稀疏度：

(7)

其中，ε為誤差上限，上式可優(yōu)化為：

(8)

K-SVD的目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

其中Rij為索引矩陣，Y為去噪目標(biāo)圖像。通過下式估計第i列的誤差值：

(10)

K-SVD算法的主要任務(wù)是在迭代過程中交替更新字典D和稀疏系數(shù)α，最終可以得到以下去噪模型：

(11)

其中，I為單位矩陣。

2.2.2字典學(xué)習(xí)

文獻(xiàn)[15]提出了基于K-SVD訓(xùn)練算法來得到過完備字典的思想，通過進(jìn)行K-SVD算法對初始圖像訓(xùn)練，由于訓(xùn)練得到的字典包含圖像的先驗(yàn)信息因此能夠反映圖像的結(jié)構(gòu)特征，所以在去噪的同時可以保留圖像原有的細(xì)節(jié)信息。

基于K-SVD的字典學(xué)習(xí)有兩種構(gòu)建原子庫的方式，一是選取和待處理圖像相似的圖像樣本作為字典學(xué)習(xí)的圖像訓(xùn)練集，另一種方式是用待處理本身的圖像進(jìn)行字典訓(xùn)練。前者得到的是一個全局字典，而后者由于在訓(xùn)練過程中可以根據(jù)不同圖像的不同特點(diǎn)來調(diào)整，因此得到的字典稱為自適應(yīng)字典。

2.3 OMP算法

OMP算法主要思想為按照匹配度選擇最優(yōu)的原子進(jìn)入原子集，求出測量信號在原子集的正交空間上的投影，通過求解一個最小二乘問題來求得原信號的最優(yōu)稀疏逼近解，更新信號余量，進(jìn)入下一次迭代，經(jīng)過一定迭代過程，最后用原子對信號進(jìn)行線性表示。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

輸入：M×N維測量矩陣，采樣信號Y，稀疏度K；

步驟1 索引集Λ0=?，迭代次數(shù)t=1；

步驟2 找到索引集Jt，使得Jt=

argmaxi=1,2,…,n；

步驟3 令Λt=Λt-1∪{Jt}；

步驟6t=t+1，如果t

2.4 算法步驟

步驟1 將圖像x按8×8大小進(jìn)行分塊處理。

步驟2 對圖像塊進(jìn)行稀疏變換，對噪聲圖像塊進(jìn)行訓(xùn)練字典。

步驟3 字典初始化：設(shè)置DCT字典D∈Rn×L。

步驟5 更新字典：當(dāng)稀疏表示完成后，忽略懲罰項(xiàng)‖αj‖0，

步驟6 對Ek進(jìn)行奇異值分解得到Ek=UΔVT。U的第一列為主向量，將dk更新為U的第一列，同時αk更新為V的第一列與對角陣Δ的第一個值Δ(1,1)的乘積。

步驟7 將奇異值分解應(yīng)用到殘差矩陣的分解中，逐列更新字典中的原子；同時更新稀疏系數(shù)?；氐讲襟E4，直至達(dá)到退出條件。

步驟8 得到去噪后圖像Y。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

為了比較基于稀疏表示的圖像去噪算法利用K-SVD算法訓(xùn)練字典時，幾種不同稀疏字典對實(shí)測圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響，利用Matlab進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。測試圖像為3幅自然圖像lena圖像、peppers圖像和boat圖像，以及2幅實(shí)測圖像包括航拍圖像1和航拍圖像2，如圖3所示，5幅圖像大小均為512×512。對比的稀疏字典為DCT字典、K-SVD算法對自然圖像樣本訓(xùn)練所得字典以及K-SVD算法對噪聲圖像訓(xùn)練所得字典。實(shí)驗(yàn)所用軟件為Matlab R2014a，選用2.6 GHz，2G內(nèi)存的計算機(jī)平臺。

為了對本文各組實(shí)驗(yàn)圖像質(zhì)量進(jìn)行定量分析，利用峰值信噪比(PSNR)對去噪圖像效果進(jìn)行比較。其中，PSNR計算表達(dá)式如式(12)所示。

(12)

式中，I0(i,j)為原圖像，I1(i,j)為去噪后圖像。

首先，設(shè)置圖像的分塊大小B=8。其次測量矩陣采用正交高斯隨機(jī)矩陣，重構(gòu)算法選取正交匹配追蹤算法(OMP)。采用三種不同字典的稀疏方法對5幅圖像分別添加σ=20，25，30，35隨機(jī)噪聲，以保證實(shí)驗(yàn)可靠性。

為觀察基于K-SVD算法對噪聲圖像訓(xùn)練得到的稀疏字典，對5幅圖像添加σ=35隨機(jī)噪聲，結(jié)果如圖4。

同時，以航拍圖像1為代表，在σ=20，25，30，35隨機(jī)噪聲下，航拍圖像1的基于噪聲圖像訓(xùn)練字典如圖5所示。而對5幅圖像添加不同隨機(jī)噪聲，在圖像去噪過程中，得到另外兩種稀疏表示方法的字典是固定字典，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖7給出了航拍圖像1分別在σ=20，25，30，35隨機(jī)噪聲下，字典學(xué)習(xí)過程中每次迭代后的稀疏系數(shù)值，在達(dá)到設(shè)定條件迭代次數(shù)為10后退出循環(huán)。從圖中可以看出，噪聲越大每次迭代的稀疏系數(shù)越接近零。

通過圖4、圖5、圖6的對比，可以看出三種字典有很大不同，說明KSVD算法在迭代過程中通過稀疏系數(shù)不斷調(diào)整冗余字典中的原子，大幅度改進(jìn)了原字典的結(jié)構(gòu)，最終獲得能更加有效反映圖像各結(jié)構(gòu)特性的冗余字典。圖4和圖5驗(yàn)證了不同類型圖像不同程度噪聲時，對噪聲圖像用K-SVD算法訓(xùn)練得到的字典是不同的，這種稀疏表示方法具有自適應(yīng)性，圖像去噪性能更優(yōu)。

圖6(a)是DCT冗余字典，實(shí)驗(yàn)中使用的初始化字典；圖6(b)是對DCT冗余字典在圖像樣本集下用K-SVD算法訓(xùn)練后，獲得的基于自然圖像訓(xùn)練字典。盡管該字典是訓(xùn)練得到，但在不同情況下，這些自然圖像樣本依然不變，最終得到的是同一字典，和基于噪聲圖像訓(xùn)練的字典相比，不具有自適應(yīng)性。

為了保證實(shí)驗(yàn)的可靠性，對不同類型圖像添加相同噪聲，分別對5幅圖像添加35%的隨機(jī)噪聲，實(shí)驗(yàn)仿真了三種字典的稀疏方法去噪結(jié)果，如圖9所示。并繪制了5幅圖像在σ=20，25，30，35隨機(jī)噪聲下去噪后峰值信噪比(PSNR)的折線圖，如圖10所示。

從圖8和圖9可以看出，不同類型圖像受不同程度噪聲干擾后，基于學(xué)習(xí)字典的圖像稀疏去噪方法去噪性能均優(yōu)于基于固定字典的圖像稀疏去噪方法，其中基于噪聲圖像訓(xùn)練字典的方法隨著噪聲增加去噪效果比基于自然圖像訓(xùn)練字典的方法好。同時當(dāng)圖像細(xì)節(jié)較多時，lena圖像、boat圖像在受隨機(jī)噪聲干擾較小時，基于自然圖像訓(xùn)練字典的方法與基于噪聲圖像訓(xùn)練字典的方法相比，去噪效果稍好。這是由于在低噪聲下，圖像具有豐富的細(xì)節(jié)信息，此時對多幅自然圖像訓(xùn)練所得字典對圖像稀疏表示更加稀疏，能更好地重構(gòu)圖像。

在稀疏編碼過程中，使用OMP算法對訓(xùn)練集中每個信號的稀疏表示，測量矩陣采用高斯隨機(jī)矩陣，表1給出了在算法迭代中一個信號的稀疏表示。該信號的稀疏系數(shù)矩陣大小為256×65 000，可以看出，此時稀疏系數(shù)矩陣幾乎為0，是稀疏的。

表1 信號的稀疏表示Tab.1 Sparse representation of the signal

圖10給出了此時更新稀疏系數(shù)時的殘差(余量)，其矩陣大小為64×1，為了方便顯示，將其排列成8×8矩陣形式。同時計算得到索引集為{4,8}。

圖9以PSNR為評價標(biāo)準(zhǔn)，將3種算法對圖像去噪質(zhì)量的影響進(jìn)行了分析比較，但算法復(fù)雜度也是評價算法優(yōu)劣的一個重要指標(biāo)，本文通過實(shí)驗(yàn)仿真計算了3種算法重構(gòu)所需時間，如表2所示。

圖像名稱稀疏字典σ=20σ=25σ=30σ=35lenaDCT字典42.3533.7226.1222.15基于自然圖像訓(xùn)練字典33.2126.9322.3319.28基于噪聲圖像訓(xùn)練字典154.05115.5299.2884.80peppersDCT字典30.2125.5921.4218.91基于自然圖像訓(xùn)練字典26.4221.2218.2416.43基于噪聲圖像訓(xùn)練字典110.8192.8179.5574.01boatDCT字典61.7246.5035.5428.49基于自然圖像訓(xùn)練字典48.4536.1529.0724.89基于噪聲圖像訓(xùn)練字典224.22162.25133.30109.53航拍圖像1DCT字典17.7714.7013.0512.07基于自然圖像訓(xùn)練字典14.3813.2912.3011.35基于噪聲圖像訓(xùn)練字典66.7462.4852.0650.28航拍圖像2DCT字典29.8923.9919.2916.19基于自然圖像訓(xùn)練字典24.7921.1717.3015.01基于噪聲圖像訓(xùn)練字典111.6389.5376.9166.45

由表2結(jié)果可知，基于噪聲圖像訓(xùn)練字典的稀疏表示方法進(jìn)行圖像去噪時，其復(fù)雜度最高，該方法的稀疏字典在訓(xùn)練過程中K-SVD算法需要進(jìn)行迭代來達(dá)到字典要求，運(yùn)行時間會明顯高于其他兩種方法。基于DCT字典和自然圖像訓(xùn)練字典的稀疏表示算法去噪程序運(yùn)行時間明顯少于基于噪聲圖像訓(xùn)練字典的稀疏表示算法。對于圖像細(xì)節(jié)信息較多的lena和boat，三種算法程序運(yùn)行時間比其他圖像相比均較高。

4 結(jié)論

本文提出了基于字典學(xué)習(xí)的圖像稀疏去噪算法。該算法對圖像進(jìn)行分塊處理，通過基于噪聲圖像塊訓(xùn)練字典，采用K-SVD算法對初始化DCT字典訓(xùn)練，然后用訓(xùn)練得到的字典對圖像塊進(jìn)行稀疏分解。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出，不同稀疏字典的稀疏去噪方法對具有不同細(xì)節(jié)信息的圖像去噪性能影響，在不考慮算法復(fù)雜度前提下，基于噪聲圖像訓(xùn)練字典的圖像稀疏去噪算法與其他兩種算法相比去噪性能較好。

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