，， ，

(空軍工程大學信息與導航學院，陜西 西安 710077)

0 引言

彈道導彈在飛行中段為了突破防守，經(jīng)常會釋放伴飛誘餌，形成密集目標群，導致防御系統(tǒng)估計精度低，甚至系統(tǒng)產(chǎn)生崩潰。如何解決此類群目標跟蹤問題一直是多目標跟蹤領域研究的熱點[1]。

基于隨機有限集(Random Finite Set，RFS)的多目標跟蹤方法，避免了傳統(tǒng)多目標跟蹤的數(shù)據(jù)關聯(lián)，是近年來解決群目標跟蹤方法的常用方法。Mahler早在20世紀90年代就提出了將隨機有限集運用于多目標跟蹤的方法[2-3]，并于2003年通過貝葉斯濾波器的一階距近似方法，推導出了一種計算可行的概率假設密度濾波(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波器[4]；接著，B.N.Vo等人對PHD濾波器進行了工程實現(xiàn)研究，分別通過粒子濾波[5]和高斯混合[6]的形式，使得基于RFS的多目標跟蹤方法得以進一步應用。其中，高斯混合概率假設密度濾波器(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density，GMPHD)具有計算復雜度低，容易工程實現(xiàn)等優(yōu)點，但同時存在方法對模型依賴嚴重，需要先驗信息，而且采用近似方法易導致估計性能較差等問題。本文針對上述問題，提出了基于多普勒量測的UKF多目標跟蹤方法。

1 GMPHD算法

1.1 系統(tǒng)模型

假設目標的狀態(tài)模型服從式(1)：

xk+1=Fxk+vk

(1)

(2)

假定二維直角坐標系下傳感器位置在原點s0=0,0T，觀測目標與其的斜矩為rk，方位角為θk，多普勒速度為dk。目標的觀測模型為：

zk=hk(xk)+wk

(3)

其中，

(4)

1.2 GMPHD算法流程

高斯混合PHD濾波的基本思想是：在線性高斯系統(tǒng)模型下，將上一時刻的存活目標、新生目標、衍生目標及目標的狀態(tài)噪聲、量測噪聲分布分別表示成多個高斯分量的加權(quán)和形式，以此來近似目標的PHD；并利用卡爾曼等濾波對高斯分量的均值、方差及其權(quán)值迭代更新；在高斯混合分量遞推的過程中可以直接提取目標的狀態(tài)及數(shù)目，從而實現(xiàn)對多目標的實時跟蹤。

GMPHD算法的流程包括了PHD預測、PHD更新、剪枝與合并、數(shù)目與狀態(tài)估計四個步驟。

1.2.1PHD預測

假設k-1時刻的PHD為高斯混合分布，目標的運動模型為線性或近似線性的，狀態(tài)噪聲和觀測噪聲均為高斯分布，則k時刻多目標隨機集的PHD也服從高斯混合分布。已知在k-1時刻，目標狀態(tài)的后驗PHD為一個高斯混合形式：

(5)

由于衍生部分占總PHD的比例很小，故在此對于衍生部分忽略不計。那么在k時刻，預測目標狀態(tài)集PHD的高斯混合表示為：

Dk|k-1(x)=Ds,k|k-1(x)+Dγ,k(x)

(6)

其中，Ds,k|k-1(x)、Dγ,k(x)分別表示存活目標和新生目標的PHD。即：

(7)

則，預測PHD為：

(8)

1.2.2PHD更新

已知k時刻目標的預測PHD和量測集Zk，且預測PHD為高斯混合分布，則k時刻目標的后驗PHD也是高斯混合分布，可記為：

(9)

1.2.3剪枝與合并

(10)

我們根據(jù)上式，進行剪枝與合并，從而降低高斯分量的數(shù)目。

1.2.4數(shù)目與狀態(tài)估計

2 基于多普勒量測的UKF多目標跟蹤方法

上一章主要構(gòu)建了GMPHD的算法框架，本章主要給出將多普勒信息融合進框架的算法流程。

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，實際采用的雷達，除了目標的斜矩和角度，往往還可以提供更多信息，例如多普勒量測等。理論計算與實踐已經(jīng)證明，充分利用多普勒量測等目標信息不僅可以加強算法的魯棒性，而且有效地提高對目標的跟蹤精度。

在以往的方法中，為了解決帶多普勒量測的雷達目標跟蹤問題，最常用方法是擴展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)[7]。但存在很明顯的問題：此時雷達所提供的量測和目標運動狀態(tài)之間的關系是完全非線性的，不能滿足要求。而且在已有的帶多普勒量測的雷達目標跟蹤方法中，為了簡便方法，文章通常假設斜矩、角度和多普勒的量測誤差統(tǒng)計獨立，然而最新研究表明[8]，對于某些波形而言，斜矩和多普勒量測誤差是統(tǒng)計相關的。

多普勒信息的處理有兩個關鍵步驟：第一，對新生目標PHD的初始化：將多普勒速度和斜矩、方位角量測相結(jié)合，計算新生目標強度函數(shù)[9]；第二，考慮到量測信息在加入了多普勒速度后高度非線性，同時為了去除目標的多普勒速度和斜矩的相關性，使用UKF對高斯分量進行迭代更新[10]。

2.1 新生目標初始化

由卡爾曼濾波器公式可得，新生目標初始化速度均值為：

(11)

協(xié)方差矩陣為：

(12)

那么在k時刻，式(6)中新生目標狀態(tài)集強度函數(shù)的高斯混合可表示為：

(13)

2.2 高斯分量更新

運用UKF對各高斯混合分量的均值和協(xié)方差進行更新，迭代求解。即首先計算采樣點及其權(quán)值，然后根據(jù)狀態(tài)方程得到點的一步預測，再根據(jù)量測方程計算預測的量測，最后結(jié)合傳感器所提供的量測進行狀態(tài)更新和狀態(tài)協(xié)方差更新。

(14)

(15)

2)運用量測進行更新分為兩步，首先進行一步預測，計算GMPHD預測步驟中的均值與協(xié)方差：

(16)

(17)

(18)

進行PHD的預測步驟時，式(8)中的均值和協(xié)方差即為式(17)、式(18)的結(jié)果。

然后再將預測量測和傳感器提供的量測代入，計算GMPHD更新步驟中的均值與協(xié)方差：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

進行PHD的更新步驟時，式(9)中的均值和協(xié)方差即為式(23)、式(24)的結(jié)果。

3 仿真實驗

本章為驗證方法有效性，將本文方法與文獻[12]、文獻[13]中濾波方法進行比較。性能評價標準采用運行時間、目標個數(shù)估計和最優(yōu)子模式指派(Optimal Subpattern Assignment, OSPA)距離[14]。OSPA距離計算公式為：

式中，p=1，c=300，π∈Πn。

表1 目標初始狀態(tài)Tab.1 Initial state and tracking of targets

圖2是本文方法的單次仿真結(jié)果，可以從圖上直觀地看出，在沒有目標初始信息的情況下，由于采用了多普勒信息進行初始化，各個時刻的估計值并未受到雜波的過多干擾，基本上都與真實位置相重合，說明本文方法能夠?qū)δ繕诉M行有效地跟蹤。

為了對本文所提方法有效性進一步驗證，將本文方法(UKF-GMPHD)與文獻[12](C-PHD)文獻[13](GMPHD)中方法進行對比。 真實航跡如圖1所示，進行100次獨立蒙特卡洛仿真實驗平均后，目標的個數(shù)估計如圖3所示，從圖3可以明顯看出，在目標出現(xiàn)和消失時，個數(shù)估計會產(chǎn)生一定偏差，但本文方法在個數(shù)估計基本是無偏的，而GMPHD算法在對于目標個數(shù)估計上誤差較明顯，C-PHD算法由于在濾波過程中同時了進行勢分布的運算，所以對于個數(shù)估計性能較優(yōu)，但部分階段的偏差也大于本文方法，說明本文方法在個數(shù)估計上誤差較小。

圖4為三種方法對于目標估計的OSPA距離，OSPA距離越大，說明方法跟蹤性能越差。從圖中的曲線可以看出，在目標個數(shù)發(fā)生變化時，OSPA距離會迅速變大，但是整體看來，本文方法的OSPA距離曲線一直在其他兩種方法曲線的下方，說明本文方法在跟蹤性能上優(yōu)于其他兩種方法。

圖5為三種方法的運行時間比較圖，可以清楚地看到，由于其他兩種方法采用的是EKF加串行更新的濾波方法，方法復雜度大大提升，所用時間較長，尤其是C-PHD算法，如上文所提，為了保證個數(shù)估計的準確性，加入了勢估計，使得方法的空間復雜度較大；而本文方法采用UKF濾波方法，不僅減小了目標個數(shù)估計的誤差，還進一步降低了方法的復雜度，使得方法效率較高，運行時間遠小于其他兩種方法。

4 結(jié)論

基于多目標跟蹤的復雜背景，本文在GMPHD的框架下，提出了基于多普勒量測的UKF多目標跟蹤方法。該方法通過對多普勒量測的運用，首先實現(xiàn)了新生目標強度函數(shù)的去先驗自動更新，然后采取UKF對高斯分量進行更新，降低了非線性量測方程的估計偏差。通過仿真實驗對比，本文所提方法在目標個數(shù)和位置估計精度方面以及方法運算速度方面，均較現(xiàn)有方法有所提高，達到了預期成果。

參考文獻:

[1]Tanks R D. NMD： Policy Issues and Technological Capabilities [R]. US: The Institute for Foreign Policy Analysis,2000.

[2]Goodman I, Mahler R, Nguyen H.Mathematics of data fusion[M].Boston： Kluwer Academic Publishers,1997.

[3]Mahler R.Statistical multisource multitarget information fusion[M].Norwood MA, USA： Artech House,2007.

[4]Mahler R.Multitarget Bayes filtering via first-order multitarget moments[J].IEEE Transacions on Aerospace and Electronics Systems,2003,39(3)：1152-1178.

[5]Vo B-N, Singh S, Doucet A. Sequential Monte Carlo implementation of the PHD filter for multi-target tracking[C]// Proceedings of the International Conference on Information Fusion, Cairns, Australia:IEEE,2003：792-799.

[6]Vo B-N, Ma W-K. The Gaussian mixture probability hypothesis density filter[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(11)：4091-4104.

[7]潘泉等.多源信息融合理論及應用[M].北京：清華大學出版社，2013.

[8]韓偉, 湯子躍, 朱振波. 利用ESM方位信息的多普勒盲區(qū)目標跟蹤方法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2013, 35(8)：1650-1656.

[9] 蒼巖, 陳迪, 畢曉君. 自適應GM—PHD濾波器在多目標追蹤的應用[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2015, 36(11)：1526-1531.

[10]潘泉, 楊峰, 葉亮,等. 一類非線性濾波器——UKF綜述[J]. 控制與決策, 2005, 20(5)：481-489.

[11]Mo LB,Song X Q,Zhou Y Y,et al.Unbiased converted measurements for tracking[J].IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems,1998,34(3)：1023-1027.

[12]Yooh J H, Kim Y, Bae S H, et al. Joint initialization and tracking of multiple moving objects using Doppler information[J]. IEEE Trans. on Signal Processing,2011,59(7)：3447-3452.

[13]胡子軍, 張林讓, 張鵬. 利用多普勒信息的單步初始化 GMCPHD 濾波器[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2014, 36(11)：2122-2126.

[14]劉偉峰，文成林.隨機集多目標跟蹤性能評價指標比較與分析[J].光電工程，2010，37(9)：14-10.