■浙江省天臺中學高二(2)班 褚凱佟 (指導老師:陳中停)

同學們有沒有這樣的體驗:一些數列,它的相鄰兩項差或比構成的數列是具有單調性的。我們在嘗試解決這種試題的時候,要是忘記或忽略了這個性質,就會導致解題走彎路甚至進入死胡同。

例題 已知數列{an}滿足a1=用符號[x]表示不超過數x的最大整數。試求

我的思考歷程如下：

裂項相消法求和：由2an+1=an2+2an推這是一個實質性的發(fā)現,沒有它解決問題無從談起,發(fā)現它使得目標和式可以求和了。

猜想結果：由于數列{an}是恒正、遞增的數列,又二次函數f(x)=x2+2x在區(qū)間(0,+∞)是增函數,因此,估計a2018＞1,即,可以的結果是3。

下面證明a2018＞1。

如何用嚴謹的方法來證明a2018＞1呢?為解決這個問題,對式子2(an+1-an)=an2進行細心觀察。由2(an+1-an)=結合a1(即a1≠0),得數列{an}是遞增數列。又由{an}是遞增數列,且an＞0,即an2是遞增的,結合2(an+1-an)=an2,得數列{an+1-an}也是遞增數列,即an+2-an+1＞an+1-an對于所有n恒成立。

這樣,當n＞3時,有an-an-1＞an-1-an-2,an-1-an-2＞an-2-an-3,…,a3-a2＞a2-a1,a2-a1=a2-a1,上面所有式子同向相加得an-a1＞(n-1)(a2-a1)=1),即(n-1),從而

回顧：要用嚴謹的方法來證明a2018＞1,由數列{an+1-an}是遞增數列而獲得式子)是關鍵。這就是用一次(線性)變化(具有單調性)來獲得估計目標變化的方法。

方法推廣：其實,在解決很多數列問題時,我們要注意該數列可能恒為正數數列,更要注意該數列的差數列{an+1-an}可能是單調數列,或該數列的比數列可能是單調數列。掌握了這樣的性質,就可以考慮用一次線性變化,或底數確定的指數變化來估算我們的目標了。

我們可以利用此方法解決下面的跟蹤訓練題。

跟蹤訓練：已知數列{an}滿足a1=1,

簡略分析：仔細觀察,可以發(fā)現從第2項開始數列的每一項恒大于1,且是遞增的,由函數f(x)=x+在x＞2時是遞增函數,可以進一步發(fā)現該數列的比數列遞增的。下面就可由遞推式變形進行證明了。