陳偉， 孫傳杰， 馮高鵬， 拜云山

(中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所, 綿陽(yáng) 621900)

旋轉(zhuǎn)彈在飛行過(guò)程中繞自身縱軸連續(xù)滾轉(zhuǎn)，在無(wú)控條件下可有效降低氣動(dòng)不對(duì)稱、結(jié)構(gòu)不對(duì)稱和推力偏心等擾動(dòng)因素所帶來(lái)的彈道散布，提高落點(diǎn)精度，在制導(dǎo)控制條件下可省掉滾轉(zhuǎn)控制回路，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)組成，因而旋轉(zhuǎn)體制為眾多彈箭類武器系統(tǒng)所采用。但是，彈體的旋轉(zhuǎn)也使旋轉(zhuǎn)彈在空氣動(dòng)力學(xué)特性、飛行力學(xué)特性、控制理論與方法等方面明顯有別于非旋轉(zhuǎn)彈，并帶來(lái)一些特殊問(wèn)題，如馬格努斯效應(yīng)、陀螺效應(yīng)等，使得旋轉(zhuǎn)彈在俯仰和偏航方向的運(yùn)動(dòng)存在交叉耦合作用[1]。在旋轉(zhuǎn)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要考慮各種耦合因素，不僅包括以馬格努斯效應(yīng)為表現(xiàn)形式的氣動(dòng)交聯(lián)、以陀螺效應(yīng)為表現(xiàn)形式的慣性交聯(lián)，而且包括舵機(jī)系統(tǒng)延遲引起的控制交聯(lián)。在復(fù)雜的飛行環(huán)境下彈體自身會(huì)受到各種不確定性因素的干擾，這都給旋轉(zhuǎn)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)了較大挑戰(zhàn)[2-3]。

相關(guān)學(xué)者在旋轉(zhuǎn)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域開(kāi)展了較為深入研究，并取得了一定的研究成果。文獻(xiàn)[4-5]分析了雙通道控制旋轉(zhuǎn)彈的各種耦合特性，并采用前饋補(bǔ)償解耦方法實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)彈基于過(guò)載駕駛儀的靜態(tài)解耦控制。文獻(xiàn)[6]采取對(duì)角占優(yōu)解耦控制方法設(shè)計(jì)了彈體動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)的解耦控制器。上述中基于前饋補(bǔ)償解耦和對(duì)角占優(yōu)解耦方法需要對(duì)模型有較為精確的認(rèn)識(shí)，而且所設(shè)計(jì)的補(bǔ)償器并不能確保系統(tǒng)在全頻域段具有較好的解耦效果，從而學(xué)者將現(xiàn)代控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]采用動(dòng)態(tài)逆方法進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)，該方法可有效處理動(dòng)力學(xué)中的非線性因素。文獻(xiàn)[8-10]采用魯棒H∞控制方法進(jìn)行旋轉(zhuǎn)彈控制器設(shè)計(jì)，具有良好的魯棒性和自適應(yīng)能力。由于滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化(RHO)方法，又被稱為模型預(yù)測(cè)控制，對(duì)模型精度要求不高，且具有較好的解耦控制能力[11]，其被學(xué)者應(yīng)用于導(dǎo)彈控制領(lǐng)域[12-13]，并取得了較好的控制效果。本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，提出一種基于指令濾波器的RHO控制方法，并將其應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)彈解耦控制，在不同的彈體旋轉(zhuǎn)速度下取得了較好的解耦控制效果， 確保了飛行指令的穩(wěn)定跟蹤。

1 旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)模型

由于旋轉(zhuǎn)彈在飛行過(guò)程中以一定角速度繞其縱軸連續(xù)滾轉(zhuǎn)，為了便于分析，引入準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系，建立旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)模型。準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)彈的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程組和導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組分別為[14]

(1)

(2)

為了簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，需要對(duì)彈體動(dòng)力學(xué)方程組(1)和(2)進(jìn)行簡(jiǎn)化，不失一般性，作如下假設(shè)：

1) 假設(shè)在一小段飛行過(guò)程中，彈體的速度不變，彈體的轉(zhuǎn)速不變。

2) 假設(shè)在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的相關(guān)研究中，忽略重力作用。

4) 假設(shè)控制舵產(chǎn)生的升力和彈體受到的總升力相比是小量。

當(dāng)重點(diǎn)考慮彈體短周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，可假定速度的方向不變，而只考慮彈軸的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)，即假定彈道傾角θ和彈道偏角ψV在彈體運(yùn)動(dòng)短周期內(nèi)基本保持不變，可近似為零，并根據(jù)小角度假設(shè)條件，有如下近似關(guān)系式成立[1]：

(3)

(4)

將式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)整理化簡(jiǎn)后可得如下所示旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)模型：

(5)

令法向加速度ay、側(cè)向加速度az為系統(tǒng)輸出，根據(jù)法向加速度和側(cè)向加速度的定義有

(6)

根據(jù)式(3)，ay和az可由式(7)近似得到

(7)

考慮建模誤差和外界干擾，將式(5)和式(7)寫(xiě)成如下?tīng)顟B(tài)空間形式：

(8)

2 旋轉(zhuǎn)條件下舵機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

舵機(jī)系統(tǒng)的指令執(zhí)行框圖如圖1所示。

彈體的控制指令σcy、σcz形成于非旋轉(zhuǎn)的準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下，根據(jù)傳感器測(cè)量得到此時(shí)彈體相對(duì)于準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的滾轉(zhuǎn)角γd，將σcz、σcy進(jìn)行分解，得到彈體坐標(biāo)系下的控制指令σc1、σc2，σc1、σc2經(jīng)舵機(jī)驅(qū)動(dòng)舵面偏轉(zhuǎn)，從而得到彈體坐標(biāo)系下舵面偏轉(zhuǎn)角σ1、σ2和控制力矩，最后再將σ1、σ2和控制力矩合成到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下的舵機(jī)響應(yīng)σz、σy和控制力矩。

圖1 舵機(jī)系統(tǒng)的指令執(zhí)行框圖Fig.1 Command execution block diagram of servo system

舵機(jī)響應(yīng)傳遞函數(shù)為

(9)

式中：ks為舵機(jī)系統(tǒng)增益；Ts為舵機(jī)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)；μs為舵機(jī)系統(tǒng)阻尼。

根據(jù)圖1所示的指令執(zhí)行框圖和舵機(jī)響應(yīng)傳遞函數(shù)，可得舵機(jī)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為[1]

(10)

式中：τ為從滾轉(zhuǎn)角γ的測(cè)量到控制指令的生成并分解輸入到實(shí)際舵機(jī)系統(tǒng)所需的時(shí)間；Gs(s)和Gsco(s)分別為前向通道傳遞函數(shù)和耦合通道傳遞函數(shù)，其表達(dá)式分別為

當(dāng)忽略轉(zhuǎn)速變化且僅考慮舵機(jī)系統(tǒng)在常值指令輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出時(shí)，則準(zhǔn)彈體系中舵機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為

(11)

將式(11)代入式(8)可得考慮舵機(jī)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)模型

(12)

式中：Bc表達(dá)式為

3 解耦控制器設(shè)計(jì)

采用以下指令濾波器[15]得到加速度指令信號(hào)：

(13)

式中：ayc和azc分別為法向加速度指令和側(cè)向加速度指令；ayc0和azc0分別為法向加速度指令濾波器和側(cè)向加速度指令濾波器的輸入信號(hào)；ξay和ξaz分別為法向加速度指令濾波器和側(cè)向加速度指令濾波器的阻尼；ωay和ωaz分別為法向加速度指令濾波器和側(cè)向加速度指令濾波器的自然頻率。

將指令濾波器式(13)寫(xiě)成狀態(tài)空間的形式

(14)

RHO優(yōu)化控制的性能指標(biāo)如下所示[16]：

(15)

式中：tf和t0分別為區(qū)間的上界和下界；Qp和QI分別為跟蹤誤差和跟蹤誤差積分的加權(quán)陣；Rr為控制量的加權(quán)陣；yI為積分誤差，可由下式得到

(16)

綜合旋轉(zhuǎn)彈線性狀態(tài)方程、指令濾波器狀態(tài)方程和積分誤差方程得到增廣狀態(tài)方程為

(17)

將式(17)寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的如下形式：

(18)

式中:AR、BR、bR、b表達(dá)式分別為

基于增廣狀態(tài)方程式(18)將性能指標(biāo)式(15)重新寫(xiě)成

(19)

式中:

對(duì)控制量進(jìn)行設(shè)計(jì)，先構(gòu)造如下Hamilton函數(shù)[17]：

(ARxR+BRσc+bR+b)TλR

(20)

式中:λR為時(shí)變拉格朗日乘子向量。

σc使得Hamilton函數(shù)值最小的必要條件為?H/?σc=0，有

(21)

由于

(22)

式中：Rr為正定矩陣；H為σc的二次型，則滿足式(21)的σc可使H值最小。求式(21)的解為

(23)

將時(shí)變拉格朗日乘子向量λR設(shè)計(jì)成狀態(tài)xR的線性組合，有

λR=KRxR+kR

(24)

式中：KR和kR為參數(shù)變量。

對(duì)于時(shí)變拉格朗日乘子向量λR有如下等式成立[18]：

(25)

整理式(25)可得

(26)

將式(24)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

(27)

將式(23)代入式(27)得

(28)

根據(jù)式(26)和式(28)得

(29)

整理式(29)得

KR(bR+b)=0

(30)

由式(30)對(duì)于任意的狀態(tài)向量xR都成立，則可以得到如下2個(gè)黎卡提微分方程：

(31)

(32)

通過(guò)求解式(31)和式(32)所示的黎卡提微分方程得到參數(shù)變量KR和kR。由于式(32)中模型不確定項(xiàng)b未知，且RHO方法對(duì)模型精度要求不高，可用以下黎卡提微分方程近似計(jì)算kR[11]:

(33)

(34)

基于RHO控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。通過(guò)式(35)計(jì)算得到控制量

σc=FRxR+fR

(35)

圖2 基于RHO的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of control system based on RHO

4 仿真分析

為了驗(yàn)證控制系統(tǒng)的魯棒性，在原有氣動(dòng)參數(shù)基礎(chǔ)上加上15%作為建模誤差，并在旋轉(zhuǎn)彈準(zhǔn)彈體坐標(biāo)俯仰通道施加30 sin(2πt) N·m的干擾信號(hào)。指令濾波器參數(shù)為

RHO控制器設(shè)計(jì)參數(shù)為

旋轉(zhuǎn)彈質(zhì)量m=465 kg，機(jī)翼參考面積S=0.070 9 m2，彈體直徑D=0.3 m，舵機(jī)系統(tǒng)增益ks=10；舵機(jī)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)Ts=0.016；舵機(jī)系統(tǒng)阻尼μs=0.5；飛行速度V=1 200 m/s。

圖3 基于RHO控制器的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results based on RHO controller

5 結(jié) 論

1) 旋轉(zhuǎn)彈旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致控制通道出現(xiàn)耦合，隨著轉(zhuǎn)速的提高，舵機(jī)系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)的增益將減小，舵機(jī)系統(tǒng)耦合通道傳遞函數(shù)的增益將增大，控制通道耦合加劇。

2) 在進(jìn)行基于指令濾波器的RHO控制器設(shè)計(jì)中，將控制量設(shè)計(jì)為增廣狀態(tài)向量的線性組合?？刂屏恐邪鰪V狀態(tài)向量的部分充分利用反饋信息以達(dá)到保障基本穩(wěn)定飛行的目的；截距控制量用來(lái)抑制建模誤差和外界干擾的影響。

3) 本文設(shè)計(jì)的RHO控制器在滾動(dòng)的時(shí)域區(qū)間內(nèi)實(shí)時(shí)對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行更新，有效抑制了建模誤差和外界干擾的影響，使得系統(tǒng)輸出能夠較好地跟蹤指令信號(hào)，實(shí)現(xiàn)解耦控制。

參考文獻(xiàn) (References)

[1] 楊樹(shù)興,趙良玉,閆曉勇.旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性理論[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2014:1-20.

YANG S X,ZHAO L Y,YAN X Y.Dynamic stability theory of spinning projectile[M].Beijing:National Defence Industry Press,2014:1-20(in Chinese).

[2] 周偉.旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性與魯棒變?cè)鲆婵刂芠D].北京:北京理工大學(xué),2016:1-30.

ZHOU W.Dynamic stability and robust variable gain control of spinning projectile[D].Beijing:Beijing Institute of Technology,2016:1-30(in Chinese).

[3] ZHOU W,YANG S X,DONG J L.Coning motion instability of spinning missiles induced by hinge moment[J].Aerospace Science and Technology,2013,30(1):239-245.

[4] 陳羅婧,劉莉,于劍橋.雙通道控制旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀解耦控制研究[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(1):11-14.

CHEN L J,LIU L,YU J Q.Decoupling control of a double-channel control rolling missile autopilot[J].Transaction of Beijing Institute of Technology,2008，28(1):11-14(in Chinese).

[5] 陳羅婧,劉莉,于劍橋.雙通道控制旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀回路數(shù)學(xué)變換及其耦合性分析[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007,27(10):847-850.

CHEN L J,LIU L,YU J Q.Transform and coupling analysis of double-channel control rolling missile autopilot loop[J].Transaction of Beijing Institute of Technology,2007,27(10):847-850(in Chinese).

[6] 袁天保,劉新建,秦子增.自旋彈彈導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)與控制[J].宇航學(xué)報(bào),2006,27(2):217-220.

YUAN T B,LIU X J,QIN Z Z.Dynamic and control of spinning ballistic missile[J].Journal of Astronautics,2006,27(2):217-220(in Chinese).

[7] 閆曉勇,李克勇,楊樹(shù)興.基于動(dòng)態(tài)逆理論的自旋彈控制方法[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2009,29(5):83-86.

YAN X Y,LI K Y,YANG S X.The control method of spinning missile based on dynamic inversion[J].Journal of Projectiles,Rockets,Missiles and Guidance,2009,29(5):83-86(in Chinese).

[8] THEODOULIS S,WERNERT P.Flight control for a class of 155 mm spin-stabilized projectiles with course correction fuse[C]∥AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference.Reston:AIAA,2011:241-245.

[9] THEODOULIS S,GASSMANN V,WERNERT P.Guidance and control design for a class of spin-stabilized fin-controlled projectiles[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2013,36(2):517-531.

[10] THEODOULIS S,SEVE F,WERNERT P.Robust gain-scheduled autopilot design for spin-stabilized projectiles with a course-correction fuze[J].Aerospace Science and Technology,2015,42:477-489.

[11] WARD D G,BARRON R L.A self-designing receding horizon optimal flight controller[C]∥Proceedings of the American Control Conference.Washington,D.C.:Barron Associates,1995:3490-3494.

[12] FAWZY M,ABOELELA M A S,RHMAN O A E,et al.Design of missile control system using model predictive control[J].The Online Journal on Computer Science and Information Technology,2011,1(3):64-70.

[13] BACHTIAR V.Multi-objective design of model predictive control and its application in missile autopilot and guidance[D].Melbourne:University of Melbourne,2016.

[14] 錢杏芳,林瑞雄,趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2006:60-70.

QIAN X F,LIN R X,ZHAO Y N.Missile flight aerodynamics[M].Beijing:Beijing Institute of Technology Press,2006:60-70(in Chinese).

[15] SONNEVELDT L,CHU Q P,MULDER J A.Nonlinear flight control design using constrained adaptive backstepping[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2007,30(2):322-335.

[16] 陳偉,馮高鵬,鄧?yán)?基于滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化的變后掠角飛機(jī)修正控制律設(shè)計(jì)[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(1):96-104.

CHEN W,FENG G P,DENG K.Design of retrofit control law based on receding horizon optimal technique for variable sweep wing aircraft[J].Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics,2017,49(1):96-104(in Chinese).

[17] KIRK D E.Optimal control theory an introduction[M].New York:Dover Puchblications,2004:90-93.

[18] TODOROV E.Optimal control theory[M].Massachusetts:MIT Press,2006:1-15.