尹 勝, 楊 楨, 陳思翼

(重慶郵電大學(xué)先進(jìn)制造工程學(xué)院, 重慶 400065)

0 引 言

早在1986年,Atanassov就根據(jù)Zadeh提出的模糊集的理論[1],定義了直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set, IFS)[2]。之后,Atanassov又?jǐn)U展了直覺模糊集,提出了區(qū)間直覺模糊集(interval-valued IFS, IVIFS)[3]。區(qū)間直覺模糊多屬性決策可以這樣表示:在區(qū)間直覺模糊環(huán)境下,在有限個(gè)方案中選出比較好的方案,以此來得到最優(yōu)的決策結(jié)果,該理論被廣泛用于方案擇優(yōu)、項(xiàng)目評(píng)價(jià)、選址等領(lǐng)域中。

對(duì)此,很多學(xué)者提出了基于 TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution)[4]、灰色關(guān)聯(lián)分析[5]、距離測(cè)度[6]、目標(biāo)規(guī)劃[7-8]和熵權(quán)法[9-17]的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法。其中,熵權(quán)法作為一種有效的確定客觀權(quán)重的方法,它可以通過指標(biāo)的變化程度來解決屬性權(quán)重完全未知的多屬性決策問題。

模糊熵可以用來描述一個(gè)模糊集的模糊程度,是由Zadeh首次提出的[1]。傳統(tǒng)模糊熵在描述一些模糊性問題時(shí)就只考慮了隸屬度,基于此,文獻(xiàn)[9]提出了運(yùn)用直覺模糊熵和區(qū)間直覺模糊熵刻畫模糊性問題。區(qū)間直覺模糊熵比起傳統(tǒng)模糊熵,更能刻畫其不確定性和模糊性。然而,很多學(xué)者在定義區(qū)間直覺模糊熵時(shí),往往忽視了猶豫度對(duì)熵的影響。如文獻(xiàn)[17]定義了新的區(qū)間直覺模糊熵,并且給出了新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法,但所提出的熵公式?jīng)]有考慮猶豫度對(duì)決策過程的影響,而且對(duì)某些區(qū)間直覺模糊數(shù)存在無法比較其熵大小的問題(詳細(xì)分析見第1.2節(jié))。為此,本文對(duì)文獻(xiàn)[17]的模糊熵公式和公理進(jìn)行改進(jìn),在一定程度上解決其存在的問題。然后,基于改進(jìn)的模糊熵計(jì)算公式,聯(lián)合區(qū)間直覺模糊混合幾何(interval-valued intuitionistic fuzzy hybrid geometric, IIFHG)算子以及新的得分函數(shù)給出一種新的多屬性區(qū)間直覺模糊決策方法。最后,本文以具體案例驗(yàn)證該決策方法的有效性和可靠性。

1 改進(jìn)的區(qū)間直覺模糊熵

1.1 區(qū)間直覺模糊集以及相關(guān)法則

定義1[3]設(shè)X為一非空集合,int[0,1]是所有區(qū)間數(shù)[0,1]的閉子集,稱

A={(x,uA(x),vA(x))|x∈X}

為X上的區(qū)間直覺模糊集IVIFS(X),其中

uA:X→int[0,1],vA:X→int[0,1]

滿足以下條件:

0≤sup(uA(x))+sup(vA(x))≤1,?x∈X

uA(x)和vA(x)分別是X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度,令

其中

對(duì)于區(qū)間直覺模糊集A來說,X中元素x屬于A的猶豫度為

區(qū)間直覺模糊集的運(yùn)算法則:設(shè)α1=([a1,b1],[c1,d1])和α2=([a2,b2],[c2,d2])為兩區(qū)間直接模糊數(shù),則有

α1∩α2=

([min(a1,a2),min(b1,b2)],[max(c1,c2),max(d1,d2)])

(1)

α1∪α2=

([max(a1,a2),max(b1,b2)],[max(a1,a2),max(b1,b2)])

(2)

α1+α2=([a1+a2-a1a2,b1+b2-b1b2],[c1c2,d1d2])

(3)

α1·α2=([a1a2,b1b2],[c1+c2-c1c2,d1+d2-d1d2])

(4)

(5)

(6)

設(shè)A={(x,uA(x),vA(x))|x∈X}和B={(x,uB(x),vB(x))|x∈X}是X上的區(qū)間直覺模糊集,則有

(3)A=B,當(dāng)且僅當(dāng)A≤B且B≤A。

1.2 改進(jìn)的區(qū)間直覺模糊熵

文獻(xiàn)[17]提出了一種新的區(qū)間直覺模糊熵公式,但這個(gè)公式?jīng)]有考慮猶豫度對(duì)熵的貢獻(xiàn),同時(shí)也無法區(qū)分某些區(qū)間直覺模糊數(shù)。

定義2[17]對(duì)于?A∈IVIFS(X),建立以下熵公式:

(7)

首先,文獻(xiàn)[17]對(duì)式(7)提出的一條公理認(rèn)為“當(dāng)且僅當(dāng)A是Fuzzy集時(shí),熵得到最小值0”,這忽略了Fuzzy集自身的模糊性,而且在某些情況下,式(7)不能區(qū)分模糊熵的大小。當(dāng)uA(x)≠vA(x)且(uA(x)+vA(x))相同時(shí),得到的熵值一樣,比如(uA,vA)取(0.1,0.7),(0.2,0.6),(0.3,0.5),(0.4,0.4)等,用式(7)計(jì)算出來的熵值都為0.022 9,但其信息量不一定相同,因此這種情況不能很好區(qū)分模糊熵的大小。

另外,區(qū)間直覺模糊集的模糊性是由隸屬度和非隸屬度引起的不確定性、猶豫度的未知性和區(qū)間數(shù)自身的灰性這3點(diǎn)決定。那么,假設(shè)猶豫度相同,隸屬度和非隸屬度就可以決定模糊熵的大小?；诖?文獻(xiàn)[6]提出區(qū)間直覺模糊熵會(huì)隨著|uL(x)-vL(x)|+|uU(x)-vU(x)|的增大而減小,隨著|uL(x)-vL(x)|+|uU(x)-vU(x)|的減小而增大,所以區(qū)間直覺模糊熵就可以表述為關(guān)于信息量的減函數(shù)。

例1以下給定了5個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù):

α1=([0.6,0.7],[0.1,0.3])

α2=([0.3,0.4],[0.4,0.6])

α3=([0.3,0.5],[0.4,0.5])

α4=([0.5,0.7],[0.2,0.3])

α5=([0.2,0.4],[0.5,0.6])

這5組數(shù)據(jù)用式(7)計(jì)算的熵值都為0.012 4,而它們的|uL(x)-vL(x)|+|uU(x)-vU(x)|卻完全不一樣。那么,不同的區(qū)間直覺模糊數(shù)如果其熵值相同會(huì)在一定程度上影響決策結(jié)果的可靠性。

為了解決上述問題,基于文獻(xiàn)[17]提出改進(jìn)熵公式,該公式同時(shí)考慮了隸屬度和非隸屬度的偏差以及有關(guān)猶豫度對(duì)熵的影響,從而彌補(bǔ)文獻(xiàn)[17]存在的缺陷問題。改進(jìn)的熵公式可以進(jìn)一步保證決策結(jié)果的有效性。

定義3設(shè)A∈IVIFS(X),為建立區(qū)間直覺模糊熵,先引入Hp,q(A)算子:

Hp,q(A)=

(8)

改進(jìn)的直覺模糊熵公式如下:

(9)

因?yàn)棣蠥(x)=1-uA(x)-vA(x),代入式(9)有

e1-|(uA(xi)-vA(xi))(1-πA(x))|]

(10)

令p=q,將式(8)代入式(9)整理

(11)

定理1設(shè)A,B∈IVIFS(X),則區(qū)間直覺模糊熵滿足以下4條:

①E(A)=0,當(dāng)且僅當(dāng)A為分明集;

③E(A)=E(Ac);

④A≤B有E(A)≤E(B)。

證明

條件① ?當(dāng)A為分明集時(shí),即?x∈X有uA(x)=[0,0],vA(x)=[1,1]，或者有uA(x)=[1,1],vA(x)=[0,0],則很顯然有E(A)=0;

?當(dāng)E(A)=0時(shí),有

令

因?yàn)?1≤F1≤F2≤1且|F1F2|=1,所以有F1=F2=1或F1=-1,F2=1。要滿足這兩種情況,就一定有uA(x)=[1,1],vA(x)=[0,0]或者uA(x)=[0,0],vA(x)=[1,1]得證;

?當(dāng)E(A)=1時(shí),必然有

(1) 當(dāng)x≥y時(shí)

(2) 當(dāng)x≤y時(shí)

所以,當(dāng)x≥y時(shí),F(x,y)是關(guān)于x的單調(diào)減函數(shù),關(guān)于y單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)x≤y時(shí),F(x,y)是關(guān)于x的單調(diào)增函數(shù),關(guān)于y的單調(diào)減函數(shù);

又由于給定的條件xA≤xB≤yB≤yA或者xA≥xB≥yB≥yA,可以直接得到E(A)≤E(B)。

證畢

定義4[17]令D為區(qū)間直覺模糊決策矩陣,那E=(Eij)m×n就是區(qū)間直覺模糊熵矩陣。

令

{αij=([aij,bij],[cij,dij]),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

Eij=E(αij),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

E(αij)=(1-|Δij|)e1-|Δij|

(12)

式中

Δij=[aij+p(bij-aij)]2-[cij+p(dij-cij)]2

基于式(12),可以得到一個(gè)熵矩陣E=(Eij)m×n為

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

那么第j個(gè)屬性的權(quán)重可以表示為

(13)

2 基于改進(jìn)熵的決策方法

文獻(xiàn)[18-20]提出了各種集成算子,并討論了這些集成算子在多屬性決策中的應(yīng)用。本文使用的集成算子是文獻(xiàn)[20]中提出的區(qū)間直覺模糊混合幾何(interval-valued intuitionistic fuzzy hybrid geometry,IIFHG)算子,該算子可以保證信息的全面性,并有效地集成各方案的屬性信息。

定義5[20]令Θ表示全體區(qū)間直覺模糊數(shù)的集合,IIFHG:Θn→Θ可以定義成:

IIFHGw,ω(α1,α2,…,αn)=

(βσ(1))ω1?(βσ(2))ω2?…?(βσ(n))ωn

(14)

定理2[20]令αj=([aj,bj],[cj,dj])是區(qū)間直覺模糊數(shù)的一個(gè)集合,運(yùn)用IIFHG算子集成后的值也是區(qū)間直覺模糊數(shù),并滿足:

],

(15)

對(duì)于排序方法,目前也有很多研究。文獻(xiàn)[21-23]提出了新的得分函數(shù)和精確函數(shù),但存在排序失效的現(xiàn)象;文獻(xiàn)[24]提出了一種考慮決策者態(tài)度的新的態(tài)度期望得分函數(shù)和態(tài)度期望精確函數(shù),該排序方法的優(yōu)點(diǎn)是考慮了決策者的態(tài)度,但卻忽略了事物本身的屬性。排序方法中給出了態(tài)度特征值λ,最終結(jié)果在很大程度上取決于λ的值,λ取值的不同會(huì)使得最終排序結(jié)果有所變化,從而使結(jié)果在一定程度上缺乏精確性。

考慮到上述排序方法存在的局限性,本文采用文獻(xiàn)[25]中新的得分函數(shù)對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序,該得分函數(shù)同時(shí)考慮了隸屬度和非隸屬度的絕對(duì)差值以及猶豫度對(duì)決策結(jié)果的貢獻(xiàn)。還可以在一定程度上解決排序失效的問題。

定義6[25]對(duì)于區(qū)間直覺模糊數(shù)α=([a,b],[c,d]),令

(16)

是區(qū)間直覺模糊數(shù)α的得分函數(shù),G(α)越大,則α越優(yōu);當(dāng)G(α)相等時(shí),再比較精確函數(shù)h(α),h(α)越大,則α越優(yōu)。

區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法:設(shè)S={S1,S2,…,Sm}為m個(gè)方案集,C={C1,C2,…,Cn}為n個(gè)屬性集,那么方案Si(i=1,2,…,m)關(guān)于屬性Cj(j=1,2,…,n)的區(qū)間直覺模糊數(shù)表示為αij=([aij,bij],[cij,dij]),有決策矩陣R=(αij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。具體運(yùn)算步驟如下:

步驟1根據(jù)矩陣R,利用改進(jìn)的式(11)以及式(13)和式(14)可以計(jì)算出各屬性Cj(j=1,2,…,n)的權(quán)重wj;

步驟2根據(jù)IIFHG的計(jì)算式(15)和得分函數(shù)(16)可以集成各方案的屬性信息,得到各方案Si(i=1,2,…,m)的綜合屬性值αi(i=1,2,…,m);

步驟3再利用式(16)計(jì)算各方案Si(i=1,2,…,m)的最終得分函數(shù)值G(αi);

步驟4比較各方案的得分函數(shù)值,并對(duì)各方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。

3 算例分析

為了對(duì)決策結(jié)果進(jìn)行比較,本文采用文獻(xiàn)[26]中的數(shù)據(jù)分析計(jì)算。一投資公司擬對(duì)一企業(yè)進(jìn)行投資,記投資方案集為S1,S2,S3,S4。評(píng)價(jià)指標(biāo)為:投資風(fēng)險(xiǎn)(C1)、發(fā)展前景(C2)、社會(huì)問題(C3)、生存環(huán)境分析(C4)。投資公司用區(qū)間直覺模糊數(shù)來表示各方案在每個(gè)屬性下的估計(jì)。IIFHG算子的位置權(quán)重為:ω=(0.155,0.345,0.345,0.155)T。相應(yīng)的區(qū)間直覺模糊決策矩陣如表1所示。

首先,利用本文改進(jìn)的區(qū)間直覺模糊熵公式計(jì)算出屬性Cj(j=1,2,3,4)的權(quán)重分別為

w1=0.349,w2=0.131 8

w3=0.238 8,w4=0.280 4

表1 決策矩陣

再根據(jù)式(15)和式(16)得到各方案Si(i=1,2,3,4)的綜合屬性值αi有

α1=([0.466 4,0.589 9], [0.222 1,0.401 4])

α2=([0.427 7,0.622 2], [0.242 3,0.377 8])

α3=([0.367 7,0.582 7], [0.187 4,0.303 9])

α4=([0.469 3,0.617 5], [0.215 8,0.318 2])

利用式(19)計(jì)算各綜合屬性值的得分函數(shù)值為

G(α1)=0.199 2,G(α2)=0.198 4

G(α3)=0.223 2,G(α4)=0.255 1

進(jìn)而有:G(α4)>G(α3)>G(α1)>G(α2),即:S4>S3>S1>S2。

所以,方案S4是最佳方案。本文得到的排序結(jié)果和文獻(xiàn)[26]一致。

同理,將本文的決策方法用在文獻(xiàn)[17]的兩個(gè)案例中,所得結(jié)果與文獻(xiàn)[17]一致。

但是,將文獻(xiàn)[17]的決策方法用于文獻(xiàn)[26]和本文案例,得到的結(jié)果為:S3>S4>S2>S1,與本文和文獻(xiàn)[26]得到的結(jié)果不一致。

以上案例分析說明文獻(xiàn)[17]存在部分局限性,同時(shí)本文提出的基于改進(jìn)熵的新決策方法步驟是有效的。

4 結(jié)束語

首先,針對(duì)區(qū)間直覺模糊多屬性決策問題,本文對(duì)文獻(xiàn)[17]提出的模糊熵公式進(jìn)行了改進(jìn)。改進(jìn)的熵公式同時(shí)考慮了隸屬度與非隸屬度的絕對(duì)差值產(chǎn)生的不確定性和猶豫度對(duì)熵的影響,并在一定程度上解決了文獻(xiàn)[17]在某些情況下存在的無法區(qū)分熵的大小的問題。然后,在改進(jìn)的熵公式的基礎(chǔ)上,提出了求解區(qū)間直覺模糊多屬性決策的新方法。最后,以具體案例說明了這種決策方法的有效性和可靠性。

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