曾慶國(guó)??

摘 要：解析幾何是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、形象思維，而它的解題過(guò)程則是代數(shù)的，綜合性很強(qiáng)，解題的能力要求高，因此歷來(lái)是高考的重要內(nèi)容。分析近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)解析幾何在高考試題中往往有一道解答題，而解析幾何這道解答題一般是考查直線、圓與圓錐曲線的綜合題以及與其他知識(shí)之間的綜合。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線綜合題；破解；綜合

每個(gè)題一般設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)，第一問(wèn)一般考查曲線方程的求法，第二問(wèn)主要涉及最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、面積問(wèn)題等，這類問(wèn)題綜合性大，需靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、三角知識(shí)等。而反觀學(xué)生解答情況來(lái)看，相當(dāng)多的毛病出現(xiàn)在運(yùn)算上，究其原因，往往由于方法選擇不當(dāng)或運(yùn)算不合理（策略意識(shí)差），造成中途擱淺或結(jié)果出錯(cuò)。因此，研究如何增強(qiáng)圓錐曲線綜合題的解題策略意識(shí)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度，就顯得很有必要和非常迫切。而圓錐曲線綜合題在解答過(guò)程中涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或多個(gè)學(xué)科知識(shí)，并且解題思維方法具有多向性和靈活性，其目的重在測(cè)試思維能力和運(yùn)用知識(shí)的能力。由于綜合題的內(nèi)容較為復(fù)雜，涉及面廣，因此掌握基本問(wèn)題的求解方法是解此類綜合題的先決條件。本文將結(jié)合具體的案例談?wù)剤A錐曲線綜合題中的基本問(wèn)題“三角形面積問(wèn)題”的破解策略，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正。

1. 運(yùn)用面積公式：S=12ah（a為底，h為高）

這個(gè)三角形面積公式最常用，其中底邊a通常用弦長(zhǎng)公式求解，高h(yuǎn)通常用頂點(diǎn)到底邊所在直線的距離（點(diǎn)（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2）來(lái)求解。

（14新課標(biāo)1理）已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為233，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程。

解析：（Ⅰ）（解答過(guò)程略）故E的方程為x24+y2=1。

（Ⅱ）當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.將y=kx-2代入x24+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0。

當(dāng)△=16（4k2-3）>0，即k2>34時(shí)，x1，2=8k±24k2-34k2+1。

從而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1。

又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=2k2+1。

所以△OPQ的面積S△OPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1。

設(shè)4k2-3=t，則t>0，S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.因?yàn)閠+4t≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±72時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0。

所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為y=72x-2或y=-72x-2

2. 分割圖形，化斜為直

在處理幾何圖形時(shí)，我們可以對(duì)任意幾何圖形進(jìn)行分割計(jì)算，以此達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。因此，在求三角形面積時(shí)，就可以分割求解。

原題展示：（2014年高考福建卷理19）已知雙曲線E∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別l1∶y=2x，l2∶y=-2x。

（1）求雙曲線E的離心率；

（2）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一，四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

解析：（1）略（2）由ba=2，雙曲線E的方程為x2a2-y24a2=1。

設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C。

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC|=a，|AB|=4a，又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，所以12|OC|

|AB|=8，∴12a·4a=8，∴a=2。

此時(shí)雙曲線E的方程為x24-y216=1。

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為x24-y216=1。

以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E∶x24-y216=1也滿足條件.設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<-2。則C-mk，0，記A（x1，y1），B（x2，y2）。

由y=2x

y=kx+m，得y1=2m2-k，同理得y2=2m2+k。

由S△OAB=S△OAC+S△OBC=12|OC||y1|+12|OC||y2|=12|OC||y1-y2|得，12-mk·2m2-k-2m2+k=8，即m2=4|4-k2|=4（k2-4）。

由y=kx+m

x24-y216=1得，（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0。因?yàn)?-k2<0，

所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-m2-16），又因?yàn)閙2=4（k2-4）。

所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。

因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為x24-y216=1。

點(diǎn)評(píng)：上述三角形面積運(yùn)算注意了化斜為直求面積，通過(guò)三角形的割補(bǔ)劃分來(lái)求解，故使得運(yùn)算大大簡(jiǎn)化，快速完成解題。若用點(diǎn)到直線的距離求高，并求弦長(zhǎng)|AB|，再求面積，運(yùn)算將非常繁瑣。

太棒了！這是學(xué)生由衷的感嘆，性質(zhì)與證明是他們?cè)诓粩嗟奶剿髦蝎@得的，老師只是適時(shí)地引導(dǎo)，學(xué)生也在由淺入深中掌握了三角形面積的計(jì)算，喚起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

反思：由特殊到一般，由直觀猜想到推理論證，增強(qiáng)了學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)，避免了思維的盲目性，使得問(wèn)題獲得迅速、正確、合理的解決。學(xué)生也更加熟練地掌握了三角形的計(jì)算，收到了較好的教學(xué)效果。

3. 運(yùn)用解三角形中的面積公式：S=12absinC

求解三角形的面積，可用三角形的兩個(gè)邊，以及這兩個(gè)邊的夾角進(jìn)行計(jì)算。比如2014年高考福建卷理19，第（2）問(wèn)運(yùn)用此公式可得解法二如下：

解析：（2）解法二：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）。依題意得k>2或k<-2。

由y=kx+m

4x2-y2=0得（4-k2）x2-2kmx-m2=0，因?yàn)?-k2<0，Δ>0，所以x1x2=-m24-k2，又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，所以S△OAB=12|OA||OB|sin∠AOB=8，又易知sin∠AOB=45，所以25x12+y12x22+y22=8，化簡(jiǎn)得x1x2=4所以-m24-k2=4，即m2=4（k2-4）。又雙曲線E的方程可設(shè)為x2a2-y24a2=1，由y=kx+m

x2a2-y24a2=1，得（4-k2）x2-2kmx-m2-4a2=0。

因?yàn)?-k2<0，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4a2）=0，即（k2-4）（a2-4）=0，所以a2=4，所以雙曲線E的方程為x24-y216=1。

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由△OAB的面積等于8可得l：x=2，又易知l：x=2與雙曲線E：x24-y216=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。綜上所述，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為x24-y216=1。

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用解三角形的面積公式也能有效地處理三角形面積問(wèn)題，但應(yīng)注意夾角正弦的求解。

總之，圓錐曲線綜合題中三角形面積的求值常用的方法為以上三種。除此之外，三角形面積公式還有海倫公式以及向量形式、坐標(biāo)形式的面積公式。這里就不再一一舉例說(shuō)明。同學(xué)們只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié)，則肯定能以簡(jiǎn)馭繁、事半功倍，實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)高效的解題。

作者簡(jiǎn)介：曾慶國(guó)，福建省晉江市，晉江市毓英中學(xué)。