羅丹丹 袁仕芳 蔡瑋

摘 要：線性規(guī)劃題型的教學涉及函數與幾何等相關知識，還涉及不等式的應用，整個高中數學教學都可以結合數學核心素養(yǎng)進行。本論文通過分析全國高考數學試卷，從基礎題型、應用題型、含有參數題型、綜合題型四個角度，結合數學核心素養(yǎng)，對線性規(guī)劃的解題與教學進行了具體嘗試。

關鍵詞：數學建模；核心素養(yǎng)；線性規(guī)劃；高考數學

自2016年9月《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出學生發(fā)展的核心素養(yǎng)以來，數學核心素養(yǎng)已經成為當前初等數學的研究熱點。2016年9月《普通高中數學課程標準》（征求意見稿）中提出了高中數學教育中的數學抽象、邏輯思維、數學建模、數學運算、直觀想象、數學分析六大數學核心素養(yǎng)。并且提出數學核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現，必須在高中數學課程中得到體現。

線性規(guī)劃的教學涉及到函數、不等式和幾何等相關知識，整個教學環(huán)節(jié)都可以結合數學核心素養(yǎng)進行。我們下面利用全國2011年到2017年全國I卷高考數學試卷題目以及平常的練習題，從基礎題型、應用題型、含有參數題型、綜合題型四個方面結合數學核心素養(yǎng)進行分析。

一、 基礎題型

基礎題型是指利用題中給出的二元約束條件和目標函數，求目標函數的最值或者取值范圍。根據解題方法又可分為直線截距型、斜率型、距離型三類?；A題型主要運用數學運算等核心素養(yǎng)，可以分為作圖、平移和求最值三個步驟完成。

作圖是指根據約束條件作出可行域；平移是指將目標函數直線進行平移尋找最優(yōu)解對應點；求最值是根據對應點進行聯合求解，確定對應點坐標并代入目標函數求出結果。

下面以高考全國一卷2015年文科數學第15題為例進行求解分析：

若x，y滿足約束條件x+y-2≤0

x-2y+1≤0

2x-y+2≥0，則z=3x+y的最大值為 .

解：由題目的約束條件作出可行域對應的平面區(qū)域如圖。由目標函數z=3x+y，可得y=-3x+z。先畫出直線y=-3x，然后平移直線y=-3x，由圖象可知當直線y=-3x+z經過點A時，直線y=-3x+z的截距最大，此時z最大。由題意可得x+y-2=0

x-2y+1=0，解得x=1y=1，即A（1，1）。此時z的最大值為z=3×1+1=4，故答案為：4。

二、 應用題型

線性規(guī)劃的應用題型主要是指以現實生活為背景提煉出來的線性規(guī)劃題，主要培養(yǎng)學生的數學建模等核心素養(yǎng)。解決這類題往往需要通過審題，找出變量之間的關系，并且能抽象出實際問題的數學模型，確定好它們的線性約束條件，寫出本問題的目標函數和約束條件。

應用題型最關鍵的一步就是對題目進行一定的分析剝離，將生活問題用數學語言表述成數學模型。這是學生解決這類題型的最大困難，也是培養(yǎng)他們的數學素養(yǎng)的關鍵點，需要教師在課堂教學中耐心指導和有意識地導入。

下面我們以2016年的第16題為例進行求解分析：

某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元。該企業(yè)現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A和產品B的利潤之和的最大值為 元。

解：設A、B兩種產品分別需要甲、乙兩種新型材料x件和y件，獲利為z元。由題意確立的目標函數為z=2100x+900y，約束條件為

1.5x+0.5y≤150

x+0.3y≤90

5x+3y≤600

x∈N

y∈N，約束條件表示的可行域如圖。由題意可得

x+0.3y=90

5x+3y=600，

解得x=60

y=100，即A（60，100），則當目標函數z=2100x+900y經過A時直線的截距最大，目標函數取得最大值為2100×60+900×100=21600元。故答案為：216000。

三、 含有參數題型

含有參數題型主要是指模型中的目標函數或者約束條件中含有參數。簡單線性規(guī)劃中的含有參數題型主要分為約束條件含參數、目標函數含參數、線性條件且目標函數含參數三種類型。這類題型主要考查學生的邏輯推理等核心素養(yǎng)以及思維的縝密性。

下面主要以2014年文科數學高考題目第11題為例進行求解分析：

設x，y滿足約束條件x+y≥a

x-y≤-1，且z=x+ay的最小值為7，則a=（ ）

A. -5

B. 3

C. -5或3

D. 5或-3

解：由題約束條件可作出可行域如右圖。解方程組

x-y=-1

x+y=a，解得x=a-12

y=a+12，所以A（a-12，a+12），當a=0時，A為（-12，12），z=x+ay的最小值為-12，不滿足題意；當a<0時，由z=x+ay得y=-1ax+za，要使z最小，則直線y=-1ax+za在y軸上的截距最大，滿足條件的最優(yōu)解不存在；當a>0時，由z=x+ay得y=-1ax+za，由圖可知，當直線過點A時直線y=-1ax+za在y軸上的截距最小，z最小。此時z=a-12+a+a22=7，解得：a=3或a=-5（舍去）。故選：B。

四、 綜合題型

除了前面三種題型，還有一些其他綜合性強、隱藏性高的題型，需要學生進行抽絲剝繭才能轉化成線性規(guī)劃題型，再進行解決。這類題是高中線性規(guī)劃里的難度較大的題，主要考查學生的觀察能力、發(fā)現問題的能力，以及考查學生的數學抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

下面以2012年文科數學第5題為例進行求解分析：

已知正三角形ABC的頂點A（1，1），B（1，3），頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內部，則z=-x+y的取值范圍是（ ）

A. （1-3，2）

B. （0，2）

C. （3-1，2）

D. （0，1+3）

解：設C（a，b），a>0，b>0，則由題約束可畫出可行域如圖。由A（1，1）、B（1，3）及△ABC為正三角形可得AB=AC=BC=2，即

（a-1）2+（b-1）2=（a-1）2+（b-3）2=4，所以，b=2，a=1+3，即，C（1+3，2）則此時直線AB的方程x=1，AC的方程為y-1=33（x-1），直線BC的方程y-3=（3-2）

（x-1）當直線x-y+z=0經過點A（1，1）時，z=0，經過點B（1，3），z=2，經過點C（1+3，2）時z=1-3，所以，zmax=2，zmin=1-3，故選A。

在線性規(guī)劃題型的教學中融入數學核心素養(yǎng)，主要還是以教師為主導，以學生為主體。提高教師這一方面的意識，在課前、課中、課后三個階段同時注重對學生的數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)。課堂的導入將現實問題與教材相結合、多開展一些活動課題等等都是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的途徑。

參考文獻：

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[4]陳柳娟，林晴嵐.基于數學核心素養(yǎng)的教師教育教學思考[J].教學與管理，2017（3）：109-111.

作者簡介：羅丹丹，袁仕芳，蔡瑋，廣東省江門市，五邑大學數學與計算科學學院。