◎ 徐岳燦

隨著中國學生核心素養(yǎng)框架的發(fā)布，關于學生核心素養(yǎng)的培育正成為學校課程與教學改革的一個重要導向。學生的核心素養(yǎng)具體落實到不同學科或不同年級，會有不同的核心要素內(nèi)涵元素要求。高中數(shù)學學科也呼喚圍繞高中階段學生數(shù)學核心素養(yǎng)的要求組織教學，思考當前存在的關鍵問題，并尋求相應的解決策略。在此，結合對高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)的認識，分析基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)培育的立體幾何教學存在的關鍵問題，以及針對這些關鍵問題采取相應策略以推進高中階段學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育。

一、對于高中數(shù)學核心素養(yǎng)的認識與立體幾何教學的關鍵問題

北京師范大學“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究”課題組正式發(fā)布了“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架”，從“文化基礎、自主發(fā)展、社會參與”三個方面發(fā)布了“人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新”六大核心素養(yǎng)。學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已經(jīng)在各個學科領域掀起了一場熱潮，加快建立各學科在不同學段的學科核心素養(yǎng)已經(jīng)是學科教學必須要解決的問題和教育理論與實踐發(fā)展的內(nèi)在需求。

那么高中數(shù)學的核心素養(yǎng)是什么？首先，數(shù)學核心素養(yǎng)是學生應具備的適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的數(shù)學領域的必備品格和關鍵能力。［1］必備品格是指具有必要的數(shù)學知識，具有數(shù)學應用意識、數(shù)據(jù)意識和計算意識，具有科學態(tài)度和正確的數(shù)學價值觀；關鍵能力包括空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、數(shù)據(jù)能力、數(shù)學抽象和概括能力、數(shù)學表達和交流能力，還包括提出、分析和解決數(shù)學問題的能力（數(shù)學建模能力）。英國學者科克羅夫特指出：數(shù)學素養(yǎng)是指學生個人在生活中有應用數(shù)學知識的技能和數(shù)學的溝通的方式，即能用數(shù)學的眼光觀察和分析面臨的各種問題。其次，數(shù)學核心素養(yǎng)是人們通過數(shù)學教育和實踐建立并發(fā)展起來的學數(shù)學、用數(shù)學的必備修養(yǎng)和品質，主要體現(xiàn)在人們與周圍環(huán)境相互作用時表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略、方法、能力等，要求學生能借助學校教育所形成的解決問題的素養(yǎng)和能力，不僅是數(shù)學學科的知識，更是知識、技能和情感態(tài)度價值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學核心素養(yǎng)可以理解為學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力，反映數(shù)學的本質與數(shù)學思想，是在數(shù)學學習過程中形成的，基于數(shù)學知識與技能，但又高于具體的數(shù)學知識與技能。

據(jù)此，當前普遍認可由中國教育學會副會長、東北師范大學史寧中教授提出的是以下6個核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、運算能力、直觀想象與數(shù)據(jù)分析［2］。其中“邏輯推理”是數(shù)學教學活動的核心，也是培養(yǎng)科學素養(yǎng)的重要途徑，它強調(diào)了邏輯推理是數(shù)學思維的主要形式，是發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學命題以及認證命題正確與否的重要手段，也是構建數(shù)學體系的重要方式。

為推進高中階段學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育，當前我國高中的立體幾何教學在課程設計與教學安排上還有值得反思的關鍵問題：我國高中立體幾何教學在課程設計上主要存在著“一多二少”的問題，其中“一多”是過多強調(diào)理論知識，“二少”是缺少知識間的系統(tǒng)性闡述與知識的應用力度不足。

以立體幾何第一章的部分知識為例，當學生剛開始學習立體幾何時，就介紹了四個公理、三個推論以及證明與應用，這對于一位普通中學生來說，過于抽象，要想達到“應用”這些推論與公理，是何等的困難。此外，在我們的課程內(nèi)容設計中，出現(xiàn)了大量的線與線、線與面、面與面等相互之間的特殊位置關系（包括平行與垂直），但很少闡述我們是如何刻畫這些位置關系，缺少相互之間關系的描述是我們課程內(nèi)容的弊端，需要學生自己去體會與發(fā)現(xiàn)這些知識間的聯(lián)系，這同樣對學生是很難的，也不利于學生掌握該學科知識。隨著目前的課程改革進一步深化，對立體幾何知識的應用已經(jīng)達成共識，尤其是多面體與旋轉體的面積與體積的應用，但是不符合實際的現(xiàn)象還是存在，有些實例已經(jīng)過時，應用的力度不夠深化等問題依然顯著。

比較國外教學，以美國普倫蒂斯·霍爾（Prentice Hall）出版社出版的教材《幾何學》［3］為例，教材中包含平面幾何與立體幾何共12章，而立體幾何僅有一章，內(nèi)容是多面體與旋轉體的表面積和體積的計算以及歐拉公式F+V=E+2，且該教材需要初中學生使用，根本不涉及立體幾何的基本理論內(nèi)容，但是突出表面積與體積的實際應用。在具體的教學安排上，我們比較強調(diào)知識點的教學，導致教學逐漸模式化與程序化，缺失空間想象、作圖識圖、邏輯推理等基本要求的落實，這些情況與數(shù)學核心素養(yǎng)的要求相差甚遠。

怎樣在立體幾何的課程體系中展現(xiàn)并形成高中數(shù)學的6個核心素養(yǎng)？根據(jù)立體幾何的課程內(nèi)容要求以及我國數(shù)學教學的傳統(tǒng)優(yōu)勢，我們不能照搬國外教學模式，改革現(xiàn)有問題，應當重點突出對其中的2個核心素養(yǎng)（即邏輯推理與直觀想象）的培養(yǎng)，結合數(shù)學核心素養(yǎng)與一個或幾個學習領域內(nèi)容有密切關系的特征，通過合理的課程設計與嚴格的教學要求，綜合提升立體幾何教學在高中數(shù)學核心素養(yǎng)的培育。

二、基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)培育的立體幾何教學對策

立體幾何教學作為高中數(shù)學教學內(nèi)容的一部分，承擔著高中數(shù)學6個核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要任務，其中的2個核心素養(yǎng)邏輯推理與直觀想象是教學的重點任務。培養(yǎng)學生的空間直觀感知能力，提高判斷空間幾何體中元素的位置關系，依據(jù)邏輯推理論證獲得空間結論，使學生建構空間元素與重要結論始終是立體幾何課程的結構特點。那么如何結合核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，進一步提升立體幾何的教學？可以采取四個基本策略，即認識課程內(nèi)容的整體性、加強課堂教學的針對性、注重立體幾何的思想性、逐步體現(xiàn)教學的現(xiàn)代化。

（一）明確立體幾何教學內(nèi)容的整體性，凸現(xiàn)數(shù)學建模與運算能力提升

核心素養(yǎng)與課程內(nèi)容的結合是以能力為導向的課程改革的重要舉措，高中數(shù)學的6個核心素養(yǎng)的產(chǎn)生主要是為了指導教育教學，培養(yǎng)學生適應未來生活的多種能力，其發(fā)展的途徑必然要與現(xiàn)行的課程體系與教學實踐相結合且互相促進發(fā)展。立體幾何作為高中數(shù)學的一部分，教學內(nèi)容的整體性體現(xiàn)在知識點的內(nèi)在邏輯關系上，空間元素（如點、直線與平面）的相互位置關系的判斷與性質組成了整個知識團，學生只有從宏觀上把握立體幾何的課程內(nèi)容，才能體現(xiàn)其內(nèi)部結構的條理化與系統(tǒng)化。在教學中，教師自身首先要建構空間位置的一整套理論知識體系，例如空間的線線角、線面角、二面角的求作，空間元素之間的距離的計算，空間元素之間的位置關系的判斷等；其次要求學生建立知識點之間的思維鏈以及知識團之間的紐帶關系，例如異面直線之間的公垂線段分別與兩條異面直線既垂直又相交，即距離與角度的聯(lián)系等；最后要能把系列知識應用到實踐中去，要求學生能對已經(jīng)掌握的知識點、知識鏈做出聯(lián)想與思考，解決遇到的實際問題。以下是立體幾何的重要知識結構圖（圖1）與知識聯(lián)系圖（圖2），有助于構建整個立體幾何知識體系。

從知識結構上看，須把握整個知識形成過程，在平面基本性質的基礎上，研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系。直線與直線的位置關系可用于研究直線與平面的位置關系，直線與平面的位置關系可用于研究平面與平面的位置關系。反過來，由平面與平面的位置關系可進一步掌握直線與平面的位置關系，由直線與平面、平面與平面的位置關系又可進一步確定直線與直線的位置關系。［4］

（二）加強立體幾何課堂教學的針對性，彰顯數(shù)學抽象與邏輯推理發(fā)展

在立體幾何的課堂教學過程中，加強空間想象能力與邏輯推理的教學針對性，是高中數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體，也是我們立體幾何教學過程中應該努力達到的目標。

例如：怎樣來證明正多面體不能多于五種？該結論的證明要依賴于一個定理，即一個頂點處的立體角各面角之和必定小于360°。因此若把一些等邊三角形拼起來，就可在正多面體的每個頂點用三個等邊三角形拼合成一個正四面體；可以每次用四個等邊三角形拼合成一個正八面體；可以每次用五個等邊三角形拼合成一個正二十面體。六個等邊三角形在一個頂點處合成360°，所以不能用。我們可以在每一頂點用三個正方形構成一個正方體，可以在每個頂點用三個正五邊形構成一個正十二面體。此外不能再構成別的正多面體了，因為即使只用三個其他正多邊形拼在一頂點，各面角之和就要等于或超過360°。通過推理思想與空間想象能力，證明了正多面體只能是正四、六、八、十二、二十面體共五種類型。［5］這種通過課堂教學的探究，向學生示范邏輯推理的過程，進一步體現(xiàn)了數(shù)學抽象的意義，而不能采取功利化的思想，讓學生死記結論，僵化思維，丟棄立體幾何的教育價值。

圖1 立體幾何的重要知識結構圖

圖2 立體幾何的知識聯(lián)系圖

核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展關鍵需要課堂教學具有針對性，在課堂教學中，能解決學生的“學什么、怎么學”以及教師的“教什么、怎么教”的絕大部分問題。核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，需要發(fā)揮課程的功能，即促進學習經(jīng)驗的獲得、改造與固化，而這種經(jīng)驗的改變須通過學校教育、家庭教育與社會教育來實現(xiàn)。據(jù)調(diào)查，學校教育對學生學習的發(fā)展貢獻可以達到70%左右，學校教育具有制度化、系統(tǒng)化與專業(yè)化的特點，因此課堂教學是發(fā)展學生核心素養(yǎng)最有效的途徑。［6］在課堂教學前后要精心組織教學內(nèi)容、合理設計教學過程、恰當使用教學方法。立體幾何的課堂教學，是高中階段培養(yǎng)學生空間想象能力的主要途徑，也是錘煉學生邏輯推理能力的重要手段。我們堅信，想象力是學生在數(shù)學王國中自由翱翔的雙翅，不僅在立體幾何的學習中，需要有高度的空間想象力，而且在所有數(shù)學分支的學習中，豐富的想象力都是不可缺少的。愛因斯坦曾說過，想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力包括世界上的一切，推動著知識的進步，并且是知識化的源泉，嚴格地說，想象力是科學研究的實在因素。 “邏輯是數(shù)學的少年時代，數(shù)學是邏輯的成人時代”這句話是數(shù)理邏輯大師羅素在《數(shù)理哲學導論》里講的話［7］。立體幾何體系內(nèi)在邏輯的嚴密性，揭示了一個知識系統(tǒng)的整體結構。

知識系統(tǒng)的整體性和完備性是我國教材體系的強項，須重點加以保護與維持。事實已經(jīng)證明，經(jīng)過嚴格的訓練，確實能夠提升學生的數(shù)學抽象能力，由觀察歸納出一些事實，在此基礎上，合理運用邏輯推理的方法，推導、證明一些新的事實。觀察、抽象與推理是我們認識世界的重要途徑。

（三）注重立體幾何教學的思想性，強化學生直觀想象與數(shù)據(jù)分析能力

曾引起熱烈討論的PISA測試的框架是基于對學生在生活中所應具備的技能和水平的考察，而不是基于課程領域的內(nèi)容，體現(xiàn)了以數(shù)學思維為核心的設計思路，［8］同樣在立體幾何的教學中，也須突出其思想性，重點體現(xiàn)在建模思想與推理思想以及由這兩種思想解決具體問題時采用的一些基本方法，如投影法、向量法、建系法、形數(shù)結合法等。請看如下兩個典型例子：

例1 棱長為3的正方體的頂點A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側，若頂點B、C到平面α的距離分別為1，，求頂點D到平面α的距離。［9］

分析：這是典型的立體幾何問題，由于問題涉及兩兩垂直的三條直線，可以聯(lián)想如圖3所示中長方體模型AEFG-KHIJ，使其滿足長方體的對角線AI為平面α的垂線且AB=AC=AD=3，設AI與AB、AC、AD所成角分別為θ1, θ2, θ3，由長方體的性質得cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=1, AB、AC、AD與 平 面α所成角的大小是，由于B、C到平面α的距離分別為1、,所以，代入解得，故頂點D到平面α的距離是。

圖3 長方體

在例1的教學過程中，我們強調(diào)“數(shù)學知識—數(shù)學應用—數(shù)學推理”三個要素，并以這三個要素為基礎形成數(shù)學知識呈現(xiàn)的基本過程，著重提高學生的數(shù)學探索和思考能力，突出數(shù)學思維的核心作用。［9］由于題設問題通過建模思想可以轉化為我們熟悉的長方體，而合理應用長方體中一些重要的知識與結論成為解決的關鍵，如 cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=1，所以要突出應用數(shù)學知識、解決問題和數(shù)學推理的過程中，發(fā)展學生應用意識和思考能力。當?shù)玫胶?，再根?jù)幾何意義，最終得到頂點到平面的距離。圍繞立體幾何教學的重要思想和基本方法，是進一步提升數(shù)學核心素養(yǎng)的首要綱領，應在教學中抓住滲透重要思想和基本方法的機會，并注重滲透的過程和方法，強化從數(shù)據(jù)中獲取信息、形成知識的能力，從而提高思考和論證問題的能力。

例2 如下是2017年美國數(shù)學競賽（AMC）12年級的一題，也是其中僅有的一個立體幾何問題：一個冰淇淋由上下兩部分拼成，上部分是底面直徑與高均為4的圓錐，下部分是圓臺，其高為4，圓臺的上底面是上述圓錐的底面，下底面的直徑為2。問該冰淇淋的體積是多少？（單位為立方英寸）

這是典型的國外的立體幾何問題，給出的問題貼近生活實際，具有現(xiàn)實性，并且沒有給出具體數(shù)學模型，需要學生直觀想象，通過數(shù)據(jù)分析建立實際模型，然后利用數(shù)學知識，強調(diào)數(shù)學的應用并最終解決問題。立體幾何主要研究由空間元素所形成的立體圖形，包括多面體和旋轉體以及兩者之間的聯(lián)系，無論是我們的傳統(tǒng)立體幾何教學，還是國外的實例教學，都需要具備相當?shù)某橄竽芰?，通過建模思想轉化為熟悉的圖形，突出直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程，進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，提升數(shù)形結合的能力，再通過推理思想，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決問題，最終得到數(shù)學命題。［10］在現(xiàn)代立體幾何的教學中，筆者主張我國的傳統(tǒng)立體幾何教學的思想性與國外的實例教學進行合理的整合，強化學生直觀想象與數(shù)據(jù)分析能力。

（四）體現(xiàn)立體幾何教學的現(xiàn)代化，全面提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)

隨著人類社會和科學技術的不斷進步，數(shù)學基礎教育的內(nèi)容絕不能墨守成規(guī)、一成不變，而應該與時俱進、不斷更新，努力體現(xiàn)現(xiàn)代化的要求。但是，對中學數(shù)學教學而言，和其他一些基礎學科一樣，其基本內(nèi)涵又應該是十分穩(wěn)固的。此外，由于數(shù)學學科不像有些學科那樣是從推翻前人的結論而建立新的理論的，它不斷繼承前人的成果而加以發(fā)展，教學內(nèi)涵的穩(wěn)固性就顯得特別明顯。因此，要體現(xiàn)數(shù)學教學內(nèi)容的較大變化，往往需要一個較長的歷史過程，決不是短期內(nèi)就能實現(xiàn)的。從這個意義中說，“現(xiàn)代化”精神對數(shù)學教材內(nèi)容的滲入需要著眼一個較長的歷史時期，不可能急功近利，更不可能一蹴而就。怎樣在立體幾何的教學中體現(xiàn)現(xiàn)代化的精神呢？首先要結合時代的發(fā)展，針對教學的要求，認真分析學科的現(xiàn)狀，看有沒有必要對有關的教學內(nèi)容進行必要的增添或刪減，以體現(xiàn)現(xiàn)代化的要求。這種變化，如前所述，不可能是多頻度、短周期的，但在相當長的一段時間中，卻應該是可以有所作為的。以目前在立體幾何教學內(nèi)容中的空間向量為例，它是進入21世紀后才逐漸增添進入我國立體幾何教材的?？臻g向量的作用是不言而喻的，但是在此前教材中就沒有引入。除了增減具體的教學內(nèi)容外，還應該注意相應地調(diào)整關于有關教學內(nèi)容的視角。這一視角的轉變，不僅可以影響到相應教學內(nèi)容的增減，而且還會影響到這些教學內(nèi)容的編排與處理的風格。如原先計算兩條異面直線的兩個量（所成角與距離）的大小，都比較困難，但是自從引入向量這一工具后，狀況就大為改觀了。

另一方面，計算機應用的空前普及，不僅在很大程度上改變了人們的生活，也深刻地改變著人們的思維習慣與方式。這一發(fā)展和變化對數(shù)學學科所帶來的影響也必然會引起我們的高度重視，并反映到數(shù)學教學中來。在立體幾何教學中，作圖軟件的使用可以有效改善學生的直觀想象，尤其是涉及多面體、旋轉體相互之間的“切、接”等難以直觀描述的問題，可以起到事半功倍的作用?，F(xiàn)代應用數(shù)學的一個重要發(fā)展趨勢，除數(shù)學建模以外，就是對算法的重視，從這點出發(fā)，數(shù)學的教學不能限于紙上談兵的狀況，僅僅停留在定理及公式的證明及推導上，而應該啟發(fā)學生利用這些定理及公式，針對具體的應用需要，設計出相應的算法，以成功地得到所需的具有很高近似程度的數(shù)值答案。這樣做，也必然會進一步顯示這些定理及公式的深刻意義和作用，彰顯了它們是設計相應算法的重要理論基礎，反過來對理論的學習和理解也會起促進作用，例如考慮使用計算機來計算一些不規(guī)則幾何體的面積與體積值，有利于理解相應的概念、公式、原理等。

總而言之，數(shù)學核心素養(yǎng)的研究在學術界已經(jīng)形成共識，如何落實到具體的數(shù)學教學實踐和課程內(nèi)容還需要進一步的探索與思考。高中立體幾何教學內(nèi)容的特殊性，決定了其在學生數(shù)學核心素養(yǎng)培育方面的典型性，尤其是邏輯推理與直觀想象，我們可以從鞏固立體幾何內(nèi)容的整體性、加強課堂教學的針對性、注重立體幾何的思想性、逐步體現(xiàn)教學的現(xiàn)代化四個方面著手，全面理解數(shù)學核心素養(yǎng)在立體幾何中的嘗試與實現(xiàn)。

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