湖南冷水江市第一中學(xué) 湖南冷水江 417500

在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們可以看到，函數(shù)始終貫徹于整個(gè)高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，我們對(duì)函數(shù)的理解有一定的困難，應(yīng)當(dāng)怎樣才能更好地理解函數(shù)，是值得探討的一個(gè)課題。在新課程背景下，數(shù)學(xué)思想方式的學(xué)習(xí)越來(lái)越受人們的重視，而數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)思想方法之一，在函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中有著不可缺少的作用，因此，此次研究對(duì)函數(shù)解題過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了分析和論述。

1 函數(shù)單調(diào)性解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

分析：作為高中學(xué)生，我們?cè)诳吹皆擃}目的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行審題，進(jìn)而展開(kāi)分析，通過(guò)審題，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式里面包含了字母，所以函數(shù)在坐標(biāo)系里面的詳細(xì)位置無(wú)法固定，必須要通過(guò)畫(huà)圖來(lái)進(jìn)行分析，看一看哪一種情況才可以充分滿足題干的要求：

通過(guò)上述圖像分析，我們可以了解到：假設(shè)要充分滿足函數(shù)在定區(qū)間中是單調(diào)函數(shù)，只能夠?yàn)楹竺鎯煞N情況，即函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)軸不應(yīng)當(dāng)發(fā)生在所給區(qū)間以內(nèi)，進(jìn)而解題尋找到問(wèn)題的突破口。給出來(lái)的函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程就是：x=a-1，根據(jù)圖像分析可以了解到，需要有a-1大于等于4，才會(huì)有a大于等于5。這種問(wèn)題通常在二次函數(shù)里面，由于其單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)軸的位置相關(guān)，因而一般畫(huà)圖分析可以更加直觀地得到問(wèn)題所需情況，進(jìn)而在短時(shí)間內(nèi)獲取到最終結(jié)論。

2 函數(shù)值域解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

在函數(shù)值域中國(guó)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題實(shí)際上就是把函數(shù)和圖形有機(jī)結(jié)合在一起，進(jìn)而采用圖形的直觀性計(jì)算出函數(shù)的值域。[1]

解析：當(dāng)我們看到所計(jì)算函數(shù)是二次函數(shù)的時(shí)候，因?yàn)楹瘮?shù)為非單調(diào)性的，因此，這不能夠代入端點(diǎn)值來(lái)計(jì)算出值域，所以，必須要利用圖像進(jìn)行觀察。見(jiàn)圖所示。

利用圖像可以了解到，這一函數(shù)的值域就是（-17/4，2]。

解答上述問(wèn)題的對(duì)策：針對(duì)該種類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題是我們常見(jiàn)的出錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)樽鳛楦咧猩奈覀兞?xí)慣了直接代入端點(diǎn)值計(jì)算出其值域，所以對(duì)于給定區(qū)間中的二次函數(shù)值域問(wèn)題，培養(yǎng)我們自身的數(shù)形結(jié)合思想是很有必要的。

3 函數(shù)最值解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

利用數(shù)形結(jié)合解答函數(shù)最值，通常是把部分比較抽象的解析式給予幾何意義，接著經(jīng)過(guò)圖形的屬性與數(shù)量關(guān)系展開(kāi)數(shù)和形的信息轉(zhuǎn)變，將代數(shù)的問(wèn)題等價(jià)性通過(guò)幾何方式解答，讓其求解變得更加容易。[2]

解析：我們可以通過(guò)觀察已經(jīng)給出來(lái)的函數(shù)的形式和結(jié)構(gòu)，很容易發(fā)現(xiàn)這是兩個(gè)點(diǎn)之間的距離之和，也就是可以將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成,原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙呀?jīng)知道了P點(diǎn)（x,0）,計(jì)算它到兩定點(diǎn)A（0,1），B(2,1)的距離之和最小值是多少”，繼而結(jié)合圖形，就可以將問(wèn)題解答出來(lái)。

函數(shù)f(x)最小值就是|AP|+|PB|的最小值。作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)，就是點(diǎn)A,那么就可以得到|A`P|+|PB|。

如此就可以知道，當(dāng)A`、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，就存在最小值

解答該問(wèn)題的對(duì)策：針對(duì)上述問(wèn)題，原函數(shù)為二次根式，規(guī)定其最值若直接使用代數(shù)方式解題會(huì)更復(fù)雜，可是在這里，我們可以按照解析式將代數(shù)問(wèn)題幾何化，根據(jù)圖形解答這一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅有益于我們理解，同時(shí)解題步驟簡(jiǎn)單。

4 函數(shù)定義域解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

函數(shù)三大要素中有一個(gè)要素就是定義域，計(jì)算函數(shù)的定義域是函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的基本問(wèn)題，面對(duì)計(jì)算函數(shù)的定義域問(wèn)題，我們?cè)诳吹筋}目以后，第一步就是將那些使函數(shù)有意義的條件一一列出來(lái)，等到計(jì)算出全部滿足條件的解以后，使用對(duì)應(yīng)的圖形表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而逐次判斷，如此才可以盡可能防止產(chǎn)生錯(cuò)誤，得到準(zhǔn)確的結(jié)論。

5 結(jié)語(yǔ)

總的說(shuō)來(lái)，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，把數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合到函數(shù)解題過(guò)程中，可以使復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，有益于建立簡(jiǎn)單的問(wèn)題情境，同時(shí)還可以幫助我們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。因此，作為高中生的我們，只有掌握了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)思想，才可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中輕松應(yīng)對(duì)函數(shù)方面的問(wèn)題。