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        傳遞函數(shù)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)方法

        2018-04-12 03:06:57王春俠
        電氣電子教學(xué)學(xué)報 2018年1期
        關(guān)鍵詞:標(biāo)準(zhǔn)型對式狀態(tài)變量

        王春俠

        (陜西理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 陜西 漢中 723001)

        0 引言

        單輸入單輸出線性定常連續(xù)n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

        (1)

        相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

        (2)

        由式(1)或者式(2)建立如下式(3)的狀態(tài)空間表達(dá)式,稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題。

        (3)

        為了分析和設(shè)計(jì)方便,通常規(guī)定狀態(tài)空間表達(dá)式有能控標(biāo)準(zhǔn)型(標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型)、能觀測標(biāo)準(zhǔn)型(標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型這三類標(biāo)準(zhǔn)型式。

        許多教科書介紹了能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和Ⅱ型、能觀測標(biāo)準(zhǔn)型Ⅰ型和Ⅱ型等四種實(shí)現(xiàn),但大部分教科書對于這四種實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量如何選取未做出比較全面、簡潔的解釋,這給讀者理解與學(xué)習(xí)這四種實(shí)現(xiàn)帶來了一定的困難[1-5]。

        本文給出由傳遞函數(shù)或者高階微分方程建立能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的兩種方法,即基于微分方程的時域法和基于梅森公式的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法。下面以三階系統(tǒng)為例,詳細(xì)介紹這兩種方法,其結(jié)論可以推廣到n階系統(tǒng)。

        三階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

        (4)

        相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

        (5)

        其中

        β2=b2-a2b3

        β1=b1-a1b3

        β0=b0-a0b3

        1 時域法

        1.1 能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型實(shí)現(xiàn)

        對式(5),引入中間變量q,令

        (6)

        式(5)變形為

        (7)

        式(6)進(jìn)行拉氏反變換得

        (8)

        對式(8),選擇狀態(tài)變量

        x1=q

        (9)

        (10)

        (11)

        由式(9)~(11)、式(8)和式(7),得能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型為

        y=β0β1β2X+b3u

        (12)

        1.2 能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型實(shí)現(xiàn)

        對式(4),選擇狀態(tài)變量

        x1=y-k3u

        (13)

        (14)

        (15)

        由式(13)~(15),得

        (16)

        (17)

        并令

        (18)

        由式(16)~(18)和式(13),得能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型為

        y=100X+k3u

        (19)

        其中

        k3=b3

        k2=b2-a2k3

        k1=b1-a1k3-a2k3

        k0=b0-a0k3-a1k2-a2k1

        1.3 能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型實(shí)現(xiàn)

        對式(8),選擇狀態(tài)變量

        x3=q

        (20)

        (21)

        (22)

        由式(20)~(22)和式(8),得

        (23)

        (24)

        (25)

        由式(23)~(25)和式(7),得能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型為

        y=k2k1k0X+b3u

        (26)

        其中

        k2=β2

        k1=β1-a2k2

        k0=β0-a1k2-a2k1

        1.4 能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型實(shí)現(xiàn)

        對式(5),引入中間變量z,令

        (27)

        式(5)變形為

        y=b3u+z

        (28)

        式(27)進(jìn)行拉氏反變換得

        (29)

        對式(29),選擇狀態(tài)變量

        x3=z

        (30)

        (31)

        (32)

        由式(30)~(32)和式(29),得

        (33)

        (34)

        (35)

        由式(33)~(35)和式(28),得能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型為

        y=001X+b3u

        (36)

        由式(12)、式(19)、式(26)和 式(36)可見,標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的系統(tǒng)矩陣是底伴隨矩陣,標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的系統(tǒng)矩陣是右伴隨矩陣。能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型與能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型對偶,能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型與能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型對偶。

        2 基于梅森公式的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法

        控制工程中,根據(jù)線性定常系統(tǒng)的信號流圖,可以用梅森公式

        (37)

        求出傳遞函數(shù)。

        式(37)中,P是從自變量到因變量的傳遞函數(shù);Δ=1-ΣLa+ΣLbLc-ΣLdLeLf+…是特征式,其中ΣLa為所有單回路增益之和,ΣLbLc為所有兩兩互不接觸回路的回路增益的乘積之和,ΣLdLeLf為所有三三互不接觸回路的回路增益的乘積之和,以此類推;j是從自變量到因變量的前向通道的條數(shù);pk是從自變量到因變量的第k條前向通道增益;Δk是第k條前向通道的余因子式,它等于特征式△中除去與第k條前向通道接觸的回路增益項(xiàng)(包括回路增益的乘積項(xiàng))以后的余項(xiàng)式。

        反過來,根據(jù)梅森公式的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以畫出相應(yīng)的信號流圖來表示傳遞函數(shù)。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看成是某些節(jié)點(diǎn)被選作狀態(tài)變量時的信號流圖。

        基于梅森公式列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的主要步驟是:①根據(jù)傳遞函數(shù)構(gòu)造信號流圖。構(gòu)造原則是,首先根據(jù)傳遞函數(shù)的分母來構(gòu)造反饋回路,再根據(jù)傳遞函數(shù)的分子來構(gòu)造前向通道。②選擇那些輸入支路傳輸增益為s-1的節(jié)點(diǎn)變量作為狀態(tài)變量(這時的信號流圖即系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖)。③根據(jù)得到的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖,列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

        同一個傳遞函數(shù),可以對應(yīng)多個不同的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖,因此,所選擇的狀態(tài)變量及所列寫的狀態(tài)空間表達(dá)式也將各不相同。

        (38)

        2.1 反饋回路的構(gòu)造

        將式(38)的分母變形,即

        1+a2s-1+a1s-2+a0s-3

        =1+s-1[a2+s-1(a1+a0s-1)]

        分別以a2,a1,a0為反饋增益,構(gòu)成三個相互接觸的負(fù)反饋回路。從內(nèi)至外的回路增益依次是L1=-a2s-1,L2=-a1s-2,L3=-a0s-3。

        Δ=1-L1-L2-L3

        (39)

        2.2 △k=1(k=1、2、3)時前向通道的構(gòu)造

        對式(38)的分子β2s-1+β1s-2+β0s-3,令

        p1=β2s-1,p2=β1s-2,p3=β0s-3

        (40)

        對照式(37),則

        Δ1=Δ2=Δ3=1

        (41)

        由式(39)~(41)可得式(5)的兩個狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖,如圖1和圖2。按圖1選擇狀態(tài)變量,可得能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型狀態(tài)空間表達(dá)式,同式(12)。按圖2選擇狀態(tài)變量,可得能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型狀態(tài)空間表達(dá)式,同式(36)。

        2.3 △k≠1(k=1、2)時前向通道的構(gòu)造

        將式(38)的分子變形,即

        β2s-1+β1s-2+β0s-3

        =k2s-1·(1-L1-L2)+k1s-2·(1-L1)+k0s-3

        其中,k2=β2,k1=β1-a2k2,k0=β0-a1k2-a2k1。令

        p1=k2s-1,p2=k1s-2,p3=k0s-3

        (42)

        對照式(37),則

        圖1 能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

        圖2 能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

        圖3 能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

        圖4 能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

        Δ1=1-L1-L2,Δ2=1-L1,Δ3=1

        (43)

        由式(39)、式(42)、(43)可得式(5)的兩個狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖,如圖3和圖4。按圖3選擇狀態(tài)變量,可得能觀測標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型狀態(tài)空間表達(dá)式,同式(19)。按圖4選擇狀態(tài)變量,可得能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型狀態(tài)空間表達(dá)式,同式(26)。

        由圖1~4可看出,能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖有以下特點(diǎn):

        (1)能控標(biāo)準(zhǔn)型的各狀態(tài)變量同輸入變量一起線性疊加構(gòu)成輸出變量,如圖1和圖4。能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的輸入變量疊加到各狀態(tài)變量的微分端和系統(tǒng)的輸出端,如圖2和圖3。

        (2)標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的各狀態(tài)變量均反饋到最左邊狀態(tài)變量的微分端,且最內(nèi)環(huán)L1在最左邊,如圖1和圖3。標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的最右邊的狀態(tài)變量分別反饋到各狀態(tài)變量的微分端,且最內(nèi)環(huán)L1在最右邊,如圖2和圖4。

        可見,使用狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法,狀態(tài)變量的選擇及狀態(tài)空間表達(dá)式的列寫會方便和直觀得多,無需死記某些組合的關(guān)系式。

        3 結(jié)語

        時域法與狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法的本質(zhì)是相同的,但后者巧妙地利用傳遞函數(shù)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖不唯一這一性質(zhì),把四種實(shí)現(xiàn)型式統(tǒng)一成兩種前向通道的選擇,化繁為簡,更易于掌握。

        參考文獻(xiàn):

        [1]周鳳岐,周軍,郭建國.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2011年.

        [2]賀良華.現(xiàn)代控制理論及應(yīng)用[M].武漢:中國地質(zhì)大學(xué)出版社,2013年.

        [3]王子平.自動控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法[M].北京:國防工業(yè)出版社,1980年.

        [4]王劃一.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2004年.

        [5]曲延濱,王新生.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2005年.

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