王 凱，李必文，胡良斌，王林超

（南華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南 衡陽(yáng)421001）

0　引言

基于熔融沉積快速成形技術(shù)（FDM）的3D打印機(jī)是目前普及率最高的3D打印機(jī)之一，具有軟件開(kāi)源、成本低廉、易于推廣應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)[1-2]。如何提高其成形幾何精度特別是桌面級(jí)3D打印機(jī)以彰顯其性價(jià)比優(yōu)勢(shì)并拓展其應(yīng)用范圍，是生產(chǎn)廠家及用戶普遍關(guān)心的問(wèn)題。與其它類(lèi)型的3D打印機(jī)一樣，F(xiàn)DM-3D打印機(jī)也不可避免地存在原理性誤差、數(shù)據(jù)處理誤差以及加工誤差[3-4]。原理性誤差是指模型切片時(shí)的誤差，一般根據(jù)成形件的形狀和尺寸設(shè)置層厚來(lái)控制；數(shù)據(jù)處理誤差是指三維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成STL文件時(shí)的誤差，一般根據(jù)處理設(shè)備的運(yùn)算能力和模型精度要求對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選；加工誤差主要影響因素是機(jī)床的幾何誤差[5]，逐項(xiàng)分析各幾何誤差源，很多是可檢測(cè)、可調(diào)整的，即是可治理的。在誤差治理的基礎(chǔ)上，采用優(yōu)化的工藝參數(shù)進(jìn)行打印試驗(yàn)及誤差檢測(cè)，可建立誤差預(yù)測(cè)模型并進(jìn)行誤差補(bǔ)償。本文提供了誤差預(yù)測(cè)模型和補(bǔ)償技術(shù)的研究方法，為后續(xù)試驗(yàn)驗(yàn)證提供了理論支撐，是提高此類(lèi)3D打印成形幾何精度的有效途徑。

1　影響加工精度的誤差來(lái)源

FDM-3D打印機(jī)機(jī)床加工精度的主要影響因素是機(jī)床的幾何誤差，分為：（1）靜態(tài)幾何誤差，即加工原理誤差、機(jī)床結(jié)構(gòu)件的制造誤差、裝配誤差以及數(shù)控誤差；（2）動(dòng)態(tài)幾何誤差，即工藝系統(tǒng)的受力變形、熱變形、振動(dòng)等引起的誤差。上述誤差各自獨(dú)立影響加工精度可按概率法合成：

式中：△z為3D打印機(jī)加工誤差極限值；△i為各誤差因素極限值。

根據(jù)FDM-3D打印是通過(guò)動(dòng)平臺(tái)帶噴嘴移動(dòng)，在靜平臺(tái)上逐層對(duì)任意輪廓的單層面體進(jìn)行成形加工的原理，而且應(yīng)用時(shí)一般采用優(yōu)化的工藝參數(shù)進(jìn)行打印試驗(yàn)，檢測(cè)調(diào)整機(jī)床Z方向上的幾何誤差。并且由于層厚設(shè)置值很小，調(diào)整后的機(jī)床Z方向上的幾何誤差不影響單層面體的加工精度?；诖?，本文只需研究加工任一單層面體時(shí)FDM-3D打印機(jī)機(jī)床幾何誤差對(duì)加工精度的影響。

2　精度治理與單層面體輪廓幾何誤差預(yù)測(cè)

2.1　原始幾何誤差分類(lèi)

輪廓上各加工點(diǎn)的幾何誤差影響單層面體的3D打印精度，是所有各誤差因素共同作用的結(jié)果。根據(jù)FDM-3D打印的特點(diǎn)，對(duì)表1所列各原始幾何誤差項(xiàng)目對(duì)單層面體輪廓加工精度的影響進(jìn)行分析，以提煉出檢測(cè)治理項(xiàng)目。

表1　原始幾何誤差項(xiàng)

對(duì)表1中各原始幾何誤差分析如下：

（1）G1、G2、G4、G7四項(xiàng)原始幾何誤差對(duì)單層面體輪廓加工精度無(wú)影響或可從略，但 G1、G2、G4、G7仍然會(huì)影響零件成形精度。其中：G1可通過(guò)檢測(cè)調(diào)整使初始成形面達(dá)到要求；G2、G4需要廠家保證對(duì)應(yīng)部件的制造精度以及機(jī)床的安裝精度來(lái)控制；G7由FDM-3D打印機(jī)機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性確定，可根據(jù)加工精度要求選配。

（2）G3、G5、G6、G8四項(xiàng)原始幾何誤差直接影響 3D打印機(jī)機(jī)床對(duì)單層面體輪廓加工精度，可在精度治理的基礎(chǔ)上采用方差合成原理合成各誤差項(xiàng)，需要實(shí)驗(yàn)檢測(cè)FDM-3D打印機(jī)機(jī)床運(yùn)動(dòng)中誤差的實(shí)際值。其中：G3、G5對(duì)單層面體輪廓幾何誤差的影響與加工尺寸成正比關(guān)系，但影響方向不確定屬于未定系統(tǒng)誤差；G6、G8對(duì)單層面體輪廓幾何誤差的影響與加工尺寸無(wú)明顯關(guān)系，屬于隨機(jī)誤差。

2.2　幾何誤差的治理

結(jié)合FDM-3D打印機(jī)機(jī)床加工特點(diǎn)，治理初始成形面的平面度能有效地提高3D打印機(jī)的加工精度。方法如下：

（1）檢測(cè)調(diào)整G1，將該型打印機(jī)置于鑄鐵檢測(cè)平臺(tái)上，用磁力表座固定杠桿百分表使其測(cè)頭接觸3D打印機(jī)靜平臺(tái)并調(diào)零；沿一定的路徑移動(dòng)表座，記錄杠桿百分表讀數(shù)，計(jì)算讀數(shù)的最大差值即為平面度誤差；分析平面度誤差值出現(xiàn)靜平臺(tái)上的區(qū)域，用塞尺墊起靜平臺(tái)使其平面度滿足成形要求。如圖1所示為某型3D打印機(jī)平面度檢測(cè)調(diào)整。

圖1　平面度檢測(cè)調(diào)整

（2）以調(diào)整后的靜平臺(tái)為基準(zhǔn)平面，利用Pronterface軟件（如圖2所示）控制3D打印機(jī)，使其動(dòng)平臺(tái)上裝有百分表的測(cè)量頭移動(dòng)到打印范圍最遠(yuǎn)端且緩慢貼進(jìn)靜平臺(tái)面位置點(diǎn)，分別調(diào)節(jié)各位置的調(diào)平螺絲使讀數(shù)一致。

圖2　Pronterface軟件界面

2.3　單層面體輪廓幾何誤差的預(yù)測(cè)

根據(jù)誤差理論[6]不同性質(zhì)的誤差按極限誤差合成，由式（1）可以得到3D打印機(jī)機(jī)床幾何誤差在X、Y方向上的誤差預(yù)測(cè)極限值△x、△y：

式中，△Gx6、△Gy6為動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)分別在X、Y方向上的測(cè)量結(jié)果，相當(dāng)于失動(dòng)量引起的坐標(biāo)誤差極限值；△Gx8、△Gy8為在X、Y方向上單指令進(jìn)給誤差極限值；△Gx3、△Gy3分別為在X、Y方向L長(zhǎng)度上測(cè)得的直線度誤差值；△G5為測(cè)得的在X方向L長(zhǎng)度上X軸對(duì)Y軸的垂直度誤差值。

3　基于預(yù)測(cè)方式的誤差修正技術(shù)

圖3　任意曲線段的直線擬合

3.1　建立修正值的優(yōu)化模型

如圖4所示，當(dāng)加工多段線輪廓到第i個(gè)點(diǎn)的位置時(shí)，為了保證第i個(gè)點(diǎn)到第i+1個(gè)點(diǎn)之間的線段的加工精度，需要實(shí)際加工直線段（虛線表示）盡可能接近理論上加工直線段（實(shí)線表示）。對(duì)加工多段直線人為設(shè)誤的補(bǔ)償技術(shù)可以認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)和平移實(shí)際加工輪廓直線段，使之與理論多段線的匹配效果按最小二乘原則達(dá)到最佳[7]，即尋找出實(shí)際加工直線段向理論上加工直線段匹配過(guò)程中在X、Y方向的平移量 a、b 和旋轉(zhuǎn)角度 λ 的最優(yōu)值。設(shè)是匹配過(guò)程中實(shí)際多段線上頂點(diǎn)（Xi，Yi）經(jīng)平移旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)：

圖4　部分折線段誤差

設(shè)（xi，yi）為理論多段線上頂點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)最小二乘原則，用多段線輪廓上所有點(diǎn)偏差平方和最小構(gòu)造匹配過(guò)程中的目標(biāo)函數(shù)，得：

由 θ＝ arctan（y/x）可以推得△θ與△x、△y的誤差傳遞關(guān)系，則任一直線段的角度誤差預(yù)測(cè)極限值為：

式中△x、△y按式（2）計(jì)算。則約束條件為：

利用MATLAB最優(yōu)化工具箱進(jìn)行求解，即可得到在X、Y方向的平移量a、b和旋轉(zhuǎn)角度λ預(yù)先修正的設(shè)置最優(yōu)值。

3.2　曲線輪廓的重生成

將平移量a、b和旋轉(zhuǎn)角度λ的最優(yōu)解代入式（3），即能得到在XOY平面內(nèi)的n組坐標(biāo)值，這些坐標(biāo)值就是單面體輪廓型值點(diǎn)的坐標(biāo)值。以折線擬合的方法形成輪廓線，其連續(xù)性、保形性及擬合誤差可有效控制。但要保證輪廓曲線的光滑性，則型值點(diǎn)必須足夠多、足夠密，這就必然給數(shù)學(xué)處理帶來(lái)很大的工作量。如果以樣條線擬合型值點(diǎn)，其連續(xù)性、光滑性能得到保證，但保形性和插值點(diǎn)的擬合誤差難以有效控制。實(shí)際工作中經(jīng)常用到TableCurve-2D軟件對(duì)輪廓曲線進(jìn)行分段擬合[8]，通過(guò)綜合控制剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差σ與相關(guān)指數(shù)R2，在保證擬合精度的前提下，同時(shí)保證擬合曲線的連續(xù)性、光滑性和保形性。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文分析了FDM-3D打印單層面體輪廓加工誤差的來(lái)源，在進(jìn)行有效精度治理以及相關(guān)幾何誤差檢測(cè)的基礎(chǔ)上，提供了一種誤差預(yù)測(cè)模型和修正技術(shù)，對(duì)后續(xù)提升FDM-3D打印單層面體加工的幾何精度具有理論意義。

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