☉山東聊城市第六中學(xué) 扈保洪

一、問題呈現(xiàn)

題目：（2014·寧波一模）如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為______.

答案：當(dāng)O、D、AB的中點(diǎn)K共線時(shí)，OD有最大值和最小值.

同理，當(dāng)O、D、AB的中點(diǎn)K共線時(shí)，將六邊形繞AB的中點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)180°取得最小值22.

則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為48.

在一次輔導(dǎo)中，一名學(xué)生拿著他從網(wǎng)上下載的上述試題及其答案，問：為什么說，當(dāng)O、D及AB的中點(diǎn)K共線（參見圖2）時(shí)，OD有最大值和最小值？于是解題分析即由此展開.

二、分析遇阻

顯然，根據(jù)三點(diǎn)不等式，即可解釋學(xué)生提出的上述問題.但在上述解答中，通過對(duì)OD取最大值的位置進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來求其最小值的方法是錯(cuò)誤的.這是因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)O、D及AB的中點(diǎn)K共線（見圖2）時(shí)，將正六邊形ABCDEF繞AB邊的中點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)180°后，使得點(diǎn)A、B均離開了原來所在的坐標(biāo)軸，這既與已知條件矛盾，又有主觀臆造之嫌.所以，這個(gè)錯(cuò)誤自然引發(fā)了筆者對(duì)OD取最大值與最小值時(shí)其位置關(guān)系的思考，而這也是正確解答上述題目的關(guān)鍵所在.

但是，進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)時(shí)，對(duì)于AB邊的中點(diǎn)K來說，由于OK=知，其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是以原點(diǎn)O為圓心、以為半徑的⊙O；與此同時(shí)，正六邊形ABCDEF還做著以點(diǎn)K為中心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).因此，正六邊形ABCDEF的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是包含上述兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng).而這種復(fù)合的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)又較為復(fù)雜，要想通過直接考察正六邊形ABCDEF的運(yùn)動(dòng)來弄清上述問題，進(jìn)而判定OD在何處取最大值、在何處取最小值，顯然是困難的.

三、轉(zhuǎn)換思路

先給出一個(gè)引理：如圖3，P是⊙O外一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則PA是點(diǎn)P到⊙O的極小距離，PB是點(diǎn)P到⊙O的極大距離.

證明：如圖3，在⊙O上任取一點(diǎn)Q，連接PQ、OQ.顯然，由三點(diǎn)不等式知PB=PO+OB=PO+OQ≥PQ≥PO-OQ=PO-OA=PA.因此，PA的長(zhǎng)是極小值，PB的長(zhǎng)是極大值.

再回到圖1中，當(dāng)點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)時(shí)，無論正六邊形ABCDEF在坐標(biāo)系xOy中怎樣運(yùn)動(dòng)，它與坐標(biāo)系xOy的位置關(guān)系總具有相對(duì)性.因此，既然正六邊形ABCDEF所做的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，其規(guī)律性不便于把握，那么不妨反過來思考，把正六邊形ABCDEF固定起來，而使坐標(biāo)系的x軸、y軸分別經(jīng)過定點(diǎn)A、B進(jìn)行滑動(dòng).這樣一來，因?yàn)樵赗t△AOB中，總有中線OK=，所以原點(diǎn)O移動(dòng)的軌跡應(yīng)是以AB為直徑的⊙K.于是由引理知，OD所取的極大值與極小值，可分別視為定點(diǎn)D到⊙K距離的極大值與極小值，從而⊙K與直線DK的兩個(gè)交點(diǎn)應(yīng)分別是OD取極大值與極小值時(shí)原點(diǎn)O所在的位置.此外，值得注意的是，x軸、y軸分別經(jīng)過定點(diǎn)A、B所做的推拉運(yùn)動(dòng)，既使原點(diǎn)O沿⊙K轉(zhuǎn)動(dòng)，又使坐標(biāo)系xOy繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

因此，當(dāng)OD取極大值與極小值時(shí)，根據(jù)原點(diǎn)O所在的不同位置，以及兩坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后的方向，可將其搭配成下列四種情況，分別如圖4、圖5、圖6、圖7所示，這些情況的先后順序可視為：圖4（先把圖4中坐標(biāo)系xOy旋轉(zhuǎn)到圖4中坐標(biāo)系xO1y的位置）→圖6（圖6中坐標(biāo)系xOy由圖4中坐標(biāo)系xO1y旋轉(zhuǎn)得到，而圖6中坐標(biāo)系xO1y表示的是圖4中坐標(biāo)系xO1y所在的位置；下列相鄰兩圖之間坐標(biāo)系的位置可以此類推，不再重復(fù)說明）→圖7→圖5→圖4，且各圖中線段OD的長(zhǎng)即為OD的極大值，線段O1D的長(zhǎng)即為OD的極小值.

根據(jù)上述引理，在圖4至圖7中，每種情況下OD所取的極大值（或極小值）均相同，故解題時(shí)只需任選其中的一個(gè)圖示即可（不妨以圖5為例）.

連接BD，顯然△BDK為直角三角形（因∠DBK=∠CBA-∠CBD=120°-30°=90°），且易知BD=4，BK=2，DK=，故OD的最大值為22，最小值為22，所求的乘積為48.

那么，如果重新回到把坐標(biāo)系xOy的位置固定，而使正六邊形ABCDEF的兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，上述問題又該怎樣解呢？

四、圖示解讀

在圖4至圖7中，因均有AB=OO1，且AB與OO1互相平分，故這幾個(gè)圖中的四邊形AOBO1都是矩形.于是，對(duì)每一個(gè)圖來說，從OD取極大值的位置到取極小值的位置，需先把坐標(biāo)系的原點(diǎn)O沿⊙K轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)半圓弧到點(diǎn)O1，再使兩條坐標(biāo)軸以新原點(diǎn)O1為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針（或順時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)90°即可；另一方面，由矩形AOBO1的兩組對(duì)邊分別相等，知當(dāng)OD取極大值時(shí)，點(diǎn)A、B各自到原點(diǎn)O的距離分別等于OD取極小值時(shí)點(diǎn)B、A到原點(diǎn)O1的距離.

基于上述分析，如果重新回到把坐標(biāo)系xOy的位置固定，而使正六邊形ABCDEF的兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，那么根據(jù)正六邊形ABCDEF與兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系，則可把圖4、圖5、圖6、圖7依次改為圖8、圖9、圖10、圖11，其旋轉(zhuǎn)變換的先后順序相應(yīng)的依次為：圖8→圖10→圖11→圖9→圖8.

這樣，有了圖8至圖11以后，在正六邊形ABCDEF做復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)下，就可以對(duì)OD取極大值與極小值的位置關(guān)系做出精準(zhǔn)分析.不妨以圖8為例，易知△AOB≌△BOA，OK=OK=B，AB⊥AB（∠BAO+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°），OD⊥K1D1（∠KOK1=∠KOB+∠K1OB1=∠KBO+∠K1B1O=∠KBO+∠KAO=90°），且點(diǎn)K沿⊙O轉(zhuǎn)動(dòng)等.于是，要使正六邊形ABCDEF從OD取極大值的位置運(yùn)動(dòng)到OD取極小值的位置，則可采用下列方法（參見圖8）：

把點(diǎn)A沿x軸向左移動(dòng)到點(diǎn)A1的位置，且使OA1=OB，與此同時(shí)，在點(diǎn)A的帶動(dòng)下，點(diǎn)B沿y軸相應(yīng)移動(dòng)到點(diǎn)B1的位置，根據(jù)勾股定理，顯然OB1=OA，再根據(jù)正六邊形ABCDEF的運(yùn)動(dòng)方向，畫出相應(yīng)的正六邊形A1B1C1D1E1F1即可，此時(shí)OD1的長(zhǎng)就是所求的極小值.同理，對(duì)于圖9至圖11來說，其情況均與此類似，不再贅述.

若把圖8至圖11的情況綜合起來，則表明：當(dāng)正六邊形ABCDEF的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)時(shí)，使OD取極大值的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在一、三象限內(nèi)，且它們與原點(diǎn)O共線；而使OD取極小值的點(diǎn)也有兩個(gè)，分別在二、四象限內(nèi)，它們也與原點(diǎn)O共線，且該直線與兩個(gè)極大值點(diǎn)所在的直線互相垂直.

根據(jù)以上分析，可把本文開頭所呈現(xiàn)的解答過程修正為：

在圖1中，分別連接OK（點(diǎn)K是AB邊的中點(diǎn)）、DK、OD.當(dāng)正六邊形ABCDEF轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，只有在△ODK的三條邊共線的情況下才能使OD取極值，這樣的情況共有圖8至圖11所示的四種.而由三點(diǎn)不等式，知此時(shí)均有DK+OK≥OD≥DK-OK=OD1，故這四種情況下，OD所取的極大值（或極小值）相同，從而其極大（小）值即為最大（?。┲?不妨以圖9為例，易知OK=2、DK=2均為定值，所以O(shè)D的最大值為2+2，最小值為2-2，它們的乘積為48.

五、解題感悟

通過以上的解題分析，筆者有以下幾點(diǎn)感悟：

（1）對(duì)于動(dòng)態(tài)型幾何問題來說，解答時(shí)應(yīng)遵循“動(dòng)靜結(jié)合，動(dòng)中求靜、以靜制動(dòng)”的基本思路.而在“動(dòng)中求靜”階段，應(yīng)通過審題，弄清圖中運(yùn)動(dòng)的部分是如何動(dòng)的，其路徑是怎樣的，然后通過模擬演示，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程進(jìn)行分段考察，以找到比較關(guān)鍵的位置有哪些，并把這些關(guān)鍵位置分別用靜態(tài)圖形表示出來；在“以靜制動(dòng)”階段，則可借助所畫出的各個(gè)靜態(tài)圖形，以它們?yōu)樗季S“節(jié)點(diǎn)”探究解題思路，并結(jié)合題中所給的信息，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)靈活解決問題.

（2）當(dāng)解題遇到困惑時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)角度思考問題，或以退求進(jìn)，或正難則反，或類比聯(lián)想，或等價(jià)轉(zhuǎn)換，這樣才能使數(shù)學(xué)探究活動(dòng)既卓有成效又豐富多彩.比如，在上述問題中，根據(jù)正六邊形ABCDEF的運(yùn)動(dòng)，直接探索OD取最大值與最小值的位置關(guān)系受阻時(shí)，轉(zhuǎn)換一種角度思考，把正六邊形ABCDEF的位置固定，而讓坐標(biāo)系xOy動(dòng)起來，待找到方法后，再類比聯(lián)想，則很快突破了原本難以畫圖的阻滯點(diǎn)，使問題迎刃而解.

（3）解題分析不能只靠簡(jiǎn)單想象.應(yīng)使學(xué)生養(yǎng)成動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究的習(xí)慣，特別是要善于畫圖分析，從直觀上進(jìn)行觀察、猜想、嘗試、驗(yàn)證、推理、交流等活動(dòng)，讓動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考達(dá)到和諧統(tǒng)一，這樣有利于學(xué)生準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)與把握問題的深層結(jié)構(gòu)，更好地理清思路、開拓創(chuàng)新，從而迅速找到解決問題的有效途徑.比如，在上述問題中，若先制作一個(gè)正六邊形的紙板，再利用它來演示正六邊形ABCDEF的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，則對(duì)于發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性，進(jìn)而探索出該題的解法大有裨益.

1.扈保洪.一道填空題引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.W