☉福建省泉州市鯉城區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 曾澤群
☉福建省泉州市現(xiàn)代中學(xué) 楊麥茵
變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛使用,尤其例習(xí)題的教學(xué)更是它的用武之地.由于變式習(xí)題組貫穿循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)等原則,體現(xiàn)由淺入深的過(guò)程,因此它不但能為不同層次的學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)提供空間,促進(jìn)他們的思維向更深層次發(fā)展,增強(qiáng)他們解題,特別是解壓軸題的自信心,而且還能為學(xué)生獨(dú)自進(jìn)行“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”提供范例,讓他們?cè)跐撘颇c日積月累中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.基于此,研究變式習(xí)題組,實(shí)施變式教學(xué)不但需要,而且必要.但對(duì)于變式教學(xué),目前的現(xiàn)狀是教師選題編題,學(xué)生只顧埋頭解題,沒(méi)有機(jī)會(huì),甚至不會(huì)進(jìn)行“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”,更別說(shuō)習(xí)慣的養(yǎng)成,進(jìn)而間接導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的削落.為了改變這一現(xiàn)狀,筆者挑選2014年山東淄博中考試題第23題,借用創(chuàng)新方法——和田十二法對(duì)其進(jìn)行變式教學(xué),讓學(xué)生從中經(jīng)歷“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”的過(guò)程,體悟其中的變式方法,激活、提升他們的思維.
附:2014年山東淄博中考試題第23題(以下簡(jiǎn)稱“原始題”).
如圖1,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交
AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD.連接MF,NF.
(1)判斷△BMN的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
“原始題”第(1)題是一道半開(kāi)放題目,由于沒(méi)有告知論證對(duì)象的屬性,解答者要先猜想,判斷它的屬性,再進(jìn)行論證.因此,它考查解答者的直覺(jué)能力、合情推理能力和演繹推理能力.此外,它還有兩種不同的解答,其一,利用等腰三角形三線合一、角平分線與垂直的定義可得∠AMB為直角及∠NAB+∠NBA=45°,再利用直角三角形的兩銳角互余,可得∠MBN=90°-(∠NAB+∠NBA)=45°;其二,利用等腰三角形三線合一可得∠AMB為直角,再利用等角的余角相等、等腰三角形三線合一及角平分線的定義得到∠EBM=∠EAM=∠MAB,最后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及等量代換證得∠MNB=∠NBM,從而判定△NBM是等腰直角三角形.這種多解題覆蓋的知識(shí)面廣,對(duì)于鞏固學(xué)生已學(xué)知識(shí),開(kāi)拓他們的思維非常有利.而顯性條件AB=AC、AC⊥BD與隱性結(jié)論∠ANB=135°等都構(gòu)成后續(xù)變式的有利條件.基于此,筆者擇取“原始題”第(1)題作為變式教學(xué)的基底題.而為了充分利用課堂有限且寶貴的時(shí)間,同時(shí)又將“原始題”作為課前作業(yè)讓學(xué)生提前解答.
基底題:如圖2,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC.判斷△BMN的形狀,并證明你的結(jié)論.
鑒于基底題是學(xué)生課前作業(yè)的一部分,課內(nèi)只要求學(xué)生以“提綱”的形式簡(jiǎn)要交流其不同解題方法及解題策略.
設(shè)計(jì)系列問(wèn)題,引領(lǐng)學(xué)生將“基底題”進(jìn)行不斷演變,形成包括“原始題”第(2)題在內(nèi)的一組由淺入深的變式習(xí)題組.
變式方法1:反一反——對(duì)換條件與結(jié)論,創(chuàng)編新題目
學(xué)生學(xué)過(guò)互逆命題,對(duì)較為簡(jiǎn)單的命題也能寫(xiě)出它的逆命題,由于“基底題”的條件與結(jié)論都不單一,致使它的逆命題也非單一,而寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題不是本課的重點(diǎn)內(nèi)容.因此,筆者借助半開(kāi)放性問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行逆向變式——對(duì)換條件與結(jié)論,創(chuàng)編新題目.具體如下:
問(wèn)題1:對(duì)“基底題”作變式時(shí),我們可以將條件與結(jié)論對(duì)換,如果我們將“△NBM是等腰直角三角形”作為條件,那么,原條件中的哪些可作為結(jié)論?
通過(guò)問(wèn)題1引領(lǐng)學(xué)生討論,得到其中一個(gè)較為顯眼的創(chuàng)編題.
變式1:如圖3,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)M是BC邊上的點(diǎn),點(diǎn)N是線段AM上的點(diǎn),若△NBM是等腰直角三角形.求證:點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE.
由于數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與嚴(yán)密,使得學(xué)生在進(jìn)行“反一反”這種變式時(shí),既要考慮條件不能多余,又要考慮表述得嚴(yán)密、規(guī)范.因此,它既可提升學(xué)生思維的縝密性與符號(hào)感,了解變式的途徑之一——交換命題的條件與結(jié)論,又潛移默化地讓學(xué)生了解創(chuàng)新的方法——反一反.
變式方法2:加一加——增加條件,獲取新結(jié)論,創(chuàng)編新題目
在習(xí)題的變式方法中,增加條件,獲得它的變式題,對(duì)于學(xué)生來(lái)講并不陌生,但要讓學(xué)生在較短的課堂時(shí)間里獨(dú)立獲得此類變式題,卻有一定的難度.鑒于學(xué)生做過(guò)它的“原始題”,因此,筆者提出問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式的另一種方法:通過(guò)增加條件,也可創(chuàng)編新題目.具體如下:
問(wèn)題2:“原始題”中的第(2)題與“基底題”有什么內(nèi)在聯(lián)系,在“基底題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行怎樣的變式,就能得到“原始題”中的第(2)題?
通過(guò)問(wèn)題2引領(lǐng)學(xué)生思考與互動(dòng),明確“原始題”中的第(2)題是在“基底題”的基礎(chǔ)上增加條件“點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),AC=BD.連接MF,NF”后形成的一個(gè)創(chuàng)編題.
變式2:如圖4,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD,連接MF,NF.判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
這種變式,隸屬全開(kāi)放,它不但要求學(xué)生要有扎實(shí)的基本功,而且要有很強(qiáng)的聯(lián)想與發(fā)散能力.因此,對(duì)于學(xué)生來(lái)講,是個(gè)需要智慧的探究活動(dòng),實(shí)屬不易.但以上這種形式的教學(xué),讓學(xué)生了解變式的另一種途徑——增加條件,它開(kāi)闊了學(xué)生的眼界,潛移默化地讓他們了解創(chuàng)新的方法——加一加.
變式方法3:聯(lián)一聯(lián)——根據(jù)現(xiàn)有條件,尋找新的因果關(guān)系,創(chuàng)編新題目
在習(xí)題的變式方法中,根據(jù)現(xiàn)有條件發(fā)現(xiàn)新結(jié)論,對(duì)于學(xué)生來(lái)講并非新鮮事,但新結(jié)論的發(fā)現(xiàn)既要有牢固的基礎(chǔ)知識(shí)作前提,又要有聯(lián)想與發(fā)散思維作后盾.因此,教學(xué)中這樣的變式也是非常必要的.對(duì)此,筆者通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生探究,發(fā)現(xiàn)通過(guò)尋找新的因果關(guān)系,也能創(chuàng)編新題目.具體如下:
問(wèn)題3:基于變式2的題干,在只能連接現(xiàn)有兩點(diǎn)線段的基礎(chǔ)上,你還能得到其他結(jié)論嗎?這種變式題應(yīng)該怎樣表述?
通過(guò)問(wèn)題3引領(lǐng)學(xué)生合作探究,并就學(xué)生提出的新結(jié)論:“△ADN是等腰直角三角形,DN∥CB,四邊形DNMC是直角梯形,四邊形DNBC是平行四邊形……”展開(kāi)討論,辨真假,得到四邊形DNBC只是梯形.由此創(chuàng)編形成開(kāi)放式探究題.
變式3:如圖5,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F,M分別是AB,BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD.連接MF,NF,DN. 請(qǐng)你寫(xiě)出兩個(gè)以上的新結(jié)論.(或者重新表述,只證明其中的一個(gè)新結(jié)論)
這種變式,要求學(xué)生能全方位審視圖形,在觀察的基礎(chǔ)上,針對(duì)已知條件進(jìn)行聯(lián)想與發(fā)散,因此,它不但有助于提高學(xué)生善于觀察與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力,而且讓學(xué)生了解變式的另一種途徑——由因?qū)Ч?,潛移默化地了解?chuàng)新的方法——聯(lián)一聯(lián).
變式方法4:變一變——從一般情形變到特殊狀態(tài),尋求成立的條件,創(chuàng)編新題目
在變式3中,針對(duì)“四邊形DNBC是梯形而非平行四邊形”,筆者設(shè)置問(wèn)題,引領(lǐng)學(xué)生探求使之成立的條件,并由此創(chuàng)編新題目.具體如下:
問(wèn)題4:基于變式3的條件,如果AB為定值,決定“四邊形DNBC是平行四邊形”成立的條件由誰(shuí)決定.
通過(guò)問(wèn)題4引領(lǐng)學(xué)生想象,進(jìn)行頭腦實(shí)驗(yàn)或動(dòng)手畫(huà)圖實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)AB長(zhǎng)為定值時(shí),決定四邊形DNBC是平行四邊形的條件就落在AD長(zhǎng)或BC長(zhǎng)上,而且AD長(zhǎng)與BC長(zhǎng)中的一個(gè)確定,另一個(gè)也隨之確定.與此同時(shí),還可利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示,讓學(xué)生確認(rèn)這個(gè)事實(shí).進(jìn)而創(chuàng)編新題目.
變式4:如圖6,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)E,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N,AB=AC=BD=1.連接DN.當(dāng)四邊形DNBC是平行四邊形時(shí),求出線段BC的長(zhǎng).
這種變式,體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系,它隸屬半開(kāi)放題,要求學(xué)生要有一定的觀察力,要能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系,一方變化引起另一方的變化,就能讓一般圖形轉(zhuǎn)變成某種特殊狀態(tài),然后再尋求使之成立的新條件,創(chuàng)編新題目.期間,學(xué)生不但了解了變式的另一種途徑——一般到特殊,而且潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——變一變.
變式方法5:代一代——改變某種屬性的敘述方式,讓靜態(tài)轉(zhuǎn)到動(dòng)態(tài),創(chuàng)編新題目
基于變式4的這種改編,雖是由一般變到特殊,但它還是靜態(tài)的.利用什么辦法,能使“四邊形DNBC是平行四邊形”這種特殊狀態(tài)隱含于一般的“四邊形DNBC”之中呢?這就要讓圖形——四邊形DNBC動(dòng)起來(lái),在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,就會(huì)出現(xiàn)特殊情形.怎樣讓四邊形DNBC動(dòng)起來(lái)呢?這就需要找出能用運(yùn)動(dòng)語(yǔ)句來(lái)描述的條件并改用動(dòng)態(tài)的語(yǔ)句來(lái)描述.對(duì)此,筆者設(shè)置問(wèn)題,引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可換成動(dòng)態(tài)表述的條件,并改變其敘述方式,使“四邊形DNBC”由靜態(tài)圖形轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)圖形,從而創(chuàng)編新題目.具體如下:
問(wèn)題5:你們熟知運(yùn)動(dòng)變化題的表述方式,改變變式4中的哪個(gè)條件,就能讓其整個(gè)圖形動(dòng)起來(lái)?變式4也由此從靜態(tài)題變?yōu)閯?dòng)態(tài)題.
通過(guò)此問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考,相互討論,在互動(dòng)中得到:只要將“AB=AC”換成另一種表述方式——“AB旋轉(zhuǎn)得到AC”,即可創(chuàng)編新題目.
變式5:如圖7,已知AB=1,將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的線段為AC,旋轉(zhuǎn)角∠BAC=α(0°<α<90°),作BD⊥AC于點(diǎn)E,且BD=AB,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否存在著α,使得四邊形DNBC為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出BC長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
這種變式除了要熟知哪些屬性能用不同形態(tài)的語(yǔ)句表述外,還要注意表述中語(yǔ)句的嚴(yán)密與規(guī)范,因此,它開(kāi)拓了學(xué)生的視野,提高了學(xué)生的符號(hào)感.期間,學(xué)生不但了解了由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變式方法,而且還潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——代一代.
變式方法六:擴(kuò)一擴(kuò)——根據(jù)現(xiàn)有條件進(jìn)行n級(jí)發(fā)散,發(fā)現(xiàn)隱性狀態(tài),創(chuàng)編新題目
在變式5中,學(xué)生能像變式3那樣,進(jìn)行一級(jí)發(fā)散思維,得到很多新結(jié)論,對(duì)于這些新結(jié)論,他們還可以再作二級(jí)、甚至三級(jí)發(fā)散思維……拓展延伸得到更多的結(jié)論,但要學(xué)生在短短的課堂時(shí)間里創(chuàng)編出具有深度思維的壓軸題并進(jìn)行解答,是不現(xiàn)實(shí)的.因此,筆者通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生獲得其他結(jié)論之后,拋出創(chuàng)編題,并將思考題“該變式題是怎樣由這些結(jié)論演變得來(lái)的”,以及它的解答作為課后作業(yè).具體如下:
問(wèn)題6:像變式3那樣,在變式5中,你們還可以得到哪些結(jié)論?對(duì)于這些結(jié)論,你還能由此推得哪些新結(jié)論?基于這些結(jié)論,想一想、猜一猜老師會(huì)創(chuàng)編出什么樣的新題目?
通過(guò)問(wèn)題6,引領(lǐng)學(xué)生深度思考,合作探究,在互動(dòng)中生成結(jié)論:在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,△ADN與△MNB始終是等腰直角三角形,∠BNA是不變量,始終等于135°,點(diǎn)E、M始終在以AB為直徑的圓上,點(diǎn)N始終在以AB為弦且圓心角為90°的圓弧上,點(diǎn)N具有不變屬性——△AEB內(nèi)切圓的圓心,等等.之后,筆者給出更具深度的創(chuàng)編題.
變式6:如圖8,已知AB=1,將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的線段為AC,旋轉(zhuǎn)角∠BAC=α(0°<α<90°),作BD⊥AC交點(diǎn)E,且BD=AB,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,點(diǎn)N到AB的距離是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出其值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
此變式題,不論編法,還是解法都極具挑戰(zhàn)性,將它歸屬壓軸題系列,名副其實(shí).鑒于課堂時(shí)間的有效性,而將其是怎樣由隱性結(jié)論編寫(xiě)出來(lái)的以及它的解法作為課后作業(yè)更是明智的選擇.因“點(diǎn)N到AB的距離”也是“直角三角形ABE內(nèi)切圓的半徑”,所以此題解法不止一種,這種多解題不但覆蓋的知識(shí)點(diǎn)多,而且減少了學(xué)生因知識(shí)盲點(diǎn)而無(wú)法解題的幾率,是命題者追求的目標(biāo).期間,學(xué)生了解了另一種更具深度的變式,潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——擴(kuò)一擴(kuò).
變式方法七:搬一搬——平幾搬到解幾,創(chuàng)編新題目
建系,可將平幾題轉(zhuǎn)化為解幾題,使運(yùn)算更具多樣性及可能性.但建系時(shí)原點(diǎn)及坐標(biāo)系的選擇關(guān)系到運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性,對(duì)此,筆者通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生合理建系,改變它的題型,創(chuàng)編新題目.具體如下:
問(wèn)題7:幾何題建系后可變?yōu)榻鈳最},對(duì)于變式6,怎樣建系?建系后,變式6該怎樣敘述?
通過(guò)問(wèn)題6,引領(lǐng)學(xué)生合理建系,轉(zhuǎn)化問(wèn)題的表述形式,從而創(chuàng)編出新題型.
變式7:如圖9,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),將線段OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的線段為OB,旋轉(zhuǎn)角∠AOB=α(0°<α<90°),作AC⊥OB交OB于點(diǎn)P,且AC=AO,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),AF平分∠OAC交OD于點(diǎn)F.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是否存在最大值?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).
這種變式的關(guān)鍵在于如何合理建系,使運(yùn)算簡(jiǎn)潔;難點(diǎn)在于建系后語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化及規(guī)范表述;重點(diǎn)在于解題中的數(shù)式運(yùn)算.因此,它不但需要學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備以及符號(hào)感,而且考驗(yàn)著學(xué)生的運(yùn)算能力.期間,學(xué)生不但學(xué)會(huì)了將幾何題變?yōu)榻鈳最}的方法,而且潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——搬一搬.
由上可知,這系列的變式覆蓋的知識(shí)點(diǎn)之廣,所用的思想方法之多是無(wú)法用幾道題來(lái)替代的.在系列的變式過(guò)程中,我們最終將一道中檔題變成了一道具有深度思維的壓軸題.這種借“題”發(fā)揮,以“變”促學(xué)的變式教學(xué),創(chuàng)造了機(jī)會(huì),讓學(xué)生了解了諸多的變式方法,回顧眾多的知識(shí)點(diǎn),看到壓軸題的形成過(guò)程和解題的思想方法,增強(qiáng)了他們解壓軸題的信心.更重要的是,它為學(xué)生的“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”及教師的解題教學(xué)提供很好的典范,也為跳出茫茫的題海找到新的出路.
1.周玉俊.借“題”發(fā)揮以“變”促學(xué)——初中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的變式與拓展例談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2017(4).J