☉福建省泉州市鯉城區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 曾澤群

☉福建省泉州市現(xiàn)代中學(xué) 楊麥茵

變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛使用，尤其例習(xí)題的教學(xué)更是它的用武之地.由于變式習(xí)題組貫穿循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)等原則，體現(xiàn)由淺入深的過(guò)程，因此它不但能為不同層次的學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)提供空間，促進(jìn)他們的思維向更深層次發(fā)展，增強(qiáng)他們解題，特別是解壓軸題的自信心，而且還能為學(xué)生獨(dú)自進(jìn)行“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”提供范例，讓他們?cè)跐撘颇c日積月累中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.基于此，研究變式習(xí)題組，實(shí)施變式教學(xué)不但需要，而且必要.但對(duì)于變式教學(xué)，目前的現(xiàn)狀是教師選題編題，學(xué)生只顧埋頭解題，沒(méi)有機(jī)會(huì)，甚至不會(huì)進(jìn)行“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”，更別說(shuō)習(xí)慣的養(yǎng)成，進(jìn)而間接導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的削落.為了改變這一現(xiàn)狀，筆者挑選2014年山東淄博中考試題第23題，借用創(chuàng)新方法——和田十二法對(duì)其進(jìn)行變式教學(xué)，讓學(xué)生從中經(jīng)歷“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”的過(guò)程，體悟其中的變式方法，激活、提升他們的思維.

附：2014年山東淄博中考試題第23題（以下簡(jiǎn)稱“原始題”）.

如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交

AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD.連接MF，NF.

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

一、構(gòu)建變式教學(xué)“基底題”

“原始題”第（1）題是一道半開(kāi)放題目，由于沒(méi)有告知論證對(duì)象的屬性，解答者要先猜想，判斷它的屬性，再進(jìn)行論證.因此，它考查解答者的直覺(jué)能力、合情推理能力和演繹推理能力.此外，它還有兩種不同的解答，其一，利用等腰三角形三線合一、角平分線與垂直的定義可得∠AMB為直角及∠NAB+∠NBA=45°，再利用直角三角形的兩銳角互余，可得∠MBN=90°-（∠NAB+∠NBA）=45°；其二，利用等腰三角形三線合一可得∠AMB為直角，再利用等角的余角相等、等腰三角形三線合一及角平分線的定義得到∠EBM=∠EAM=∠MAB，最后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及等量代換證得∠MNB=∠NBM，從而判定△NBM是等腰直角三角形.這種多解題覆蓋的知識(shí)面廣，對(duì)于鞏固學(xué)生已學(xué)知識(shí)，開(kāi)拓他們的思維非常有利.而顯性條件AB=AC、AC⊥BD與隱性結(jié)論∠ANB=135°等都構(gòu)成后續(xù)變式的有利條件.基于此，筆者擇取“原始題”第（1）題作為變式教學(xué)的基底題.而為了充分利用課堂有限且寶貴的時(shí)間，同時(shí)又將“原始題”作為課前作業(yè)讓學(xué)生提前解答.

基底題：如圖2，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC.判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論.

鑒于基底題是學(xué)生課前作業(yè)的一部分，課內(nèi)只要求學(xué)生以“提綱”的形式簡(jiǎn)要交流其不同解題方法及解題策略.

二、基于“基底題”的變式教學(xué)

設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生將“基底題”進(jìn)行不斷演變，形成包括“原始題”第（2）題在內(nèi)的一組由淺入深的變式習(xí)題組.

變式方法1：反一反——對(duì)換條件與結(jié)論，創(chuàng)編新題目

學(xué)生學(xué)過(guò)互逆命題，對(duì)較為簡(jiǎn)單的命題也能寫(xiě)出它的逆命題，由于“基底題”的條件與結(jié)論都不單一，致使它的逆命題也非單一，而寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題不是本課的重點(diǎn)內(nèi)容.因此，筆者借助半開(kāi)放性問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行逆向變式——對(duì)換條件與結(jié)論，創(chuàng)編新題目.具體如下：

問(wèn)題1：對(duì)“基底題”作變式時(shí)，我們可以將條件與結(jié)論對(duì)換，如果我們將“△NBM是等腰直角三角形”作為條件，那么，原條件中的哪些可作為結(jié)論？

通過(guò)問(wèn)題1引領(lǐng)學(xué)生討論，得到其中一個(gè)較為顯眼的創(chuàng)編題.

變式1：如圖3，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是BC邊上的點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AM上的點(diǎn)，若△NBM是等腰直角三角形.求證：點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE.

由于數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與嚴(yán)密，使得學(xué)生在進(jìn)行“反一反”這種變式時(shí)，既要考慮條件不能多余，又要考慮表述得嚴(yán)密、規(guī)范.因此，它既可提升學(xué)生思維的縝密性與符號(hào)感，了解變式的途徑之一——交換命題的條件與結(jié)論，又潛移默化地讓學(xué)生了解創(chuàng)新的方法——反一反.

變式方法2：加一加——增加條件，獲取新結(jié)論，創(chuàng)編新題目

在習(xí)題的變式方法中，增加條件，獲得它的變式題，對(duì)于學(xué)生來(lái)講并不陌生，但要讓學(xué)生在較短的課堂時(shí)間里獨(dú)立獲得此類變式題，卻有一定的難度.鑒于學(xué)生做過(guò)它的“原始題”，因此，筆者提出問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式的另一種方法：通過(guò)增加條件，也可創(chuàng)編新題目.具體如下：

問(wèn)題2：“原始題”中的第（2）題與“基底題”有什么內(nèi)在聯(lián)系，在“基底題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行怎樣的變式，就能得到“原始題”中的第（2）題？

通過(guò)問(wèn)題2引領(lǐng)學(xué)生思考與互動(dòng)，明確“原始題”中的第（2）題是在“基底題”的基礎(chǔ)上增加條件“點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AC=BD.連接MF，NF”后形成的一個(gè)創(chuàng)編題.

變式2：如圖4，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD，連接MF，NF.判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

這種變式，隸屬全開(kāi)放，它不但要求學(xué)生要有扎實(shí)的基本功，而且要有很強(qiáng)的聯(lián)想與發(fā)散能力.因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)講，是個(gè)需要智慧的探究活動(dòng)，實(shí)屬不易.但以上這種形式的教學(xué)，讓學(xué)生了解變式的另一種途徑——增加條件，它開(kāi)闊了學(xué)生的眼界，潛移默化地讓他們了解創(chuàng)新的方法——加一加.

變式方法3：聯(lián)一聯(lián)——根據(jù)現(xiàn)有條件，尋找新的因果關(guān)系，創(chuàng)編新題目

在習(xí)題的變式方法中，根據(jù)現(xiàn)有條件發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，對(duì)于學(xué)生來(lái)講并非新鮮事，但新結(jié)論的發(fā)現(xiàn)既要有牢固的基礎(chǔ)知識(shí)作前提，又要有聯(lián)想與發(fā)散思維作后盾.因此，教學(xué)中這樣的變式也是非常必要的.對(duì)此，筆者通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)通過(guò)尋找新的因果關(guān)系，也能創(chuàng)編新題目.具體如下：

問(wèn)題3：基于變式2的題干，在只能連接現(xiàn)有兩點(diǎn)線段的基礎(chǔ)上，你還能得到其他結(jié)論嗎？這種變式題應(yīng)該怎樣表述？

通過(guò)問(wèn)題3引領(lǐng)學(xué)生合作探究，并就學(xué)生提出的新結(jié)論：“△ADN是等腰直角三角形，DN∥CB，四邊形DNMC是直角梯形，四邊形DNBC是平行四邊形……”展開(kāi)討論，辨真假，得到四邊形DNBC只是梯形.由此創(chuàng)編形成開(kāi)放式探究題.

變式3：如圖5，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD.連接MF，NF，DN. 請(qǐng)你寫(xiě)出兩個(gè)以上的新結(jié)論.（或者重新表述，只證明其中的一個(gè)新結(jié)論）

這種變式，要求學(xué)生能全方位審視圖形，在觀察的基礎(chǔ)上，針對(duì)已知條件進(jìn)行聯(lián)想與發(fā)散，因此，它不但有助于提高學(xué)生善于觀察與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，而且讓學(xué)生了解變式的另一種途徑——由因?qū)Ч?，潛移默化地了解?chuàng)新的方法——聯(lián)一聯(lián).

變式方法4：變一變——從一般情形變到特殊狀態(tài)，尋求成立的條件，創(chuàng)編新題目

在變式3中，針對(duì)“四邊形DNBC是梯形而非平行四邊形”，筆者設(shè)置問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生探求使之成立的條件，并由此創(chuàng)編新題目.具體如下：

問(wèn)題4：基于變式3的條件，如果AB為定值，決定“四邊形DNBC是平行四邊形”成立的條件由誰(shuí)決定.

通過(guò)問(wèn)題4引領(lǐng)學(xué)生想象，進(jìn)行頭腦實(shí)驗(yàn)或動(dòng)手畫(huà)圖實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AB長(zhǎng)為定值時(shí)，決定四邊形DNBC是平行四邊形的條件就落在AD長(zhǎng)或BC長(zhǎng)上，而且AD長(zhǎng)與BC長(zhǎng)中的一個(gè)確定，另一個(gè)也隨之確定.與此同時(shí)，還可利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生確認(rèn)這個(gè)事實(shí).進(jìn)而創(chuàng)編新題目.

變式4：如圖6，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD=1.連接DN.當(dāng)四邊形DNBC是平行四邊形時(shí)，求出線段BC的長(zhǎng).

這種變式，體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系，它隸屬半開(kāi)放題，要求學(xué)生要有一定的觀察力，要能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方變化引起另一方的變化，就能讓一般圖形轉(zhuǎn)變成某種特殊狀態(tài)，然后再尋求使之成立的新條件，創(chuàng)編新題目.期間，學(xué)生不但了解了變式的另一種途徑——一般到特殊，而且潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——變一變.

變式方法5：代一代——改變某種屬性的敘述方式，讓靜態(tài)轉(zhuǎn)到動(dòng)態(tài)，創(chuàng)編新題目

基于變式4的這種改編，雖是由一般變到特殊，但它還是靜態(tài)的.利用什么辦法，能使“四邊形DNBC是平行四邊形”這種特殊狀態(tài)隱含于一般的“四邊形DNBC”之中呢？這就要讓圖形——四邊形DNBC動(dòng)起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，就會(huì)出現(xiàn)特殊情形.怎樣讓四邊形DNBC動(dòng)起來(lái)呢？這就需要找出能用運(yùn)動(dòng)語(yǔ)句來(lái)描述的條件并改用動(dòng)態(tài)的語(yǔ)句來(lái)描述.對(duì)此，筆者設(shè)置問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可換成動(dòng)態(tài)表述的條件，并改變其敘述方式，使“四邊形DNBC”由靜態(tài)圖形轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)圖形，從而創(chuàng)編新題目.具體如下：

問(wèn)題5：你們熟知運(yùn)動(dòng)變化題的表述方式，改變變式4中的哪個(gè)條件，就能讓其整個(gè)圖形動(dòng)起來(lái)？變式4也由此從靜態(tài)題變?yōu)閯?dòng)態(tài)題.

通過(guò)此問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考，相互討論，在互動(dòng)中得到：只要將“AB=AC”換成另一種表述方式——“AB旋轉(zhuǎn)得到AC”，即可創(chuàng)編新題目.

變式5：如圖7，已知AB=1，將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的線段為AC，旋轉(zhuǎn)角∠BAC=α（0°＜α＜90°），作BD⊥AC于點(diǎn)E，且BD=AB，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否存在著α，使得四邊形DNBC為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出BC長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這種變式除了要熟知哪些屬性能用不同形態(tài)的語(yǔ)句表述外，還要注意表述中語(yǔ)句的嚴(yán)密與規(guī)范，因此，它開(kāi)拓了學(xué)生的視野，提高了學(xué)生的符號(hào)感.期間，學(xué)生不但了解了由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變式方法，而且還潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——代一代.

變式方法六：擴(kuò)一擴(kuò)——根據(jù)現(xiàn)有條件進(jìn)行n級(jí)發(fā)散，發(fā)現(xiàn)隱性狀態(tài)，創(chuàng)編新題目

在變式5中，學(xué)生能像變式3那樣，進(jìn)行一級(jí)發(fā)散思維，得到很多新結(jié)論，對(duì)于這些新結(jié)論，他們還可以再作二級(jí)、甚至三級(jí)發(fā)散思維……拓展延伸得到更多的結(jié)論，但要學(xué)生在短短的課堂時(shí)間里創(chuàng)編出具有深度思維的壓軸題并進(jìn)行解答，是不現(xiàn)實(shí)的.因此，筆者通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生獲得其他結(jié)論之后，拋出創(chuàng)編題，并將思考題“該變式題是怎樣由這些結(jié)論演變得來(lái)的”，以及它的解答作為課后作業(yè).具體如下：

問(wèn)題6：像變式3那樣，在變式5中，你們還可以得到哪些結(jié)論？對(duì)于這些結(jié)論，你還能由此推得哪些新結(jié)論？基于這些結(jié)論，想一想、猜一猜老師會(huì)創(chuàng)編出什么樣的新題目？

通過(guò)問(wèn)題6，引領(lǐng)學(xué)生深度思考，合作探究，在互動(dòng)中生成結(jié)論：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△ADN與△MNB始終是等腰直角三角形，∠BNA是不變量，始終等于135°，點(diǎn)E、M始終在以AB為直徑的圓上，點(diǎn)N始終在以AB為弦且圓心角為90°的圓弧上，點(diǎn)N具有不變屬性——△AEB內(nèi)切圓的圓心，等等.之后，筆者給出更具深度的創(chuàng)編題.

變式6：如圖8，已知AB=1，將線段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的線段為AC，旋轉(zhuǎn)角∠BAC=α（0°＜α＜90°），作BD⊥AC交點(diǎn)E，且BD=AB，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)N到AB的距離是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出其值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

此變式題，不論編法，還是解法都極具挑戰(zhàn)性，將它歸屬壓軸題系列，名副其實(shí).鑒于課堂時(shí)間的有效性，而將其是怎樣由隱性結(jié)論編寫(xiě)出來(lái)的以及它的解法作為課后作業(yè)更是明智的選擇.因“點(diǎn)N到AB的距離”也是“直角三角形ABE內(nèi)切圓的半徑”，所以此題解法不止一種，這種多解題不但覆蓋的知識(shí)點(diǎn)多，而且減少了學(xué)生因知識(shí)盲點(diǎn)而無(wú)法解題的幾率，是命題者追求的目標(biāo).期間，學(xué)生了解了另一種更具深度的變式，潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——擴(kuò)一擴(kuò).

變式方法七：搬一搬——平幾搬到解幾，創(chuàng)編新題目

建系，可將平幾題轉(zhuǎn)化為解幾題，使運(yùn)算更具多樣性及可能性.但建系時(shí)原點(diǎn)及坐標(biāo)系的選擇關(guān)系到運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性，對(duì)此，筆者通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生合理建系，改變它的題型，創(chuàng)編新題目.具體如下：

問(wèn)題7：幾何題建系后可變?yōu)榻鈳最}，對(duì)于變式6，怎樣建系？建系后，變式6該怎樣敘述？

通過(guò)問(wèn)題6，引領(lǐng)學(xué)生合理建系，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的表述形式，從而創(chuàng)編出新題型.

變式7：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），將線段OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的線段為OB，旋轉(zhuǎn)角∠AOB=α（0°＜α＜90°），作AC⊥OB交OB于點(diǎn)P，且AC=AO，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AF平分∠OAC交OD于點(diǎn)F.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

這種變式的關(guān)鍵在于如何合理建系，使運(yùn)算簡(jiǎn)潔；難點(diǎn)在于建系后語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化及規(guī)范表述；重點(diǎn)在于解題中的數(shù)式運(yùn)算.因此，它不但需要學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備以及符號(hào)感，而且考驗(yàn)著學(xué)生的運(yùn)算能力.期間，學(xué)生不但學(xué)會(huì)了將幾何題變?yōu)榻鈳最}的方法，而且潛移默化地了解創(chuàng)新的方法——搬一搬.

由上可知，這系列的變式覆蓋的知識(shí)點(diǎn)之廣，所用的思想方法之多是無(wú)法用幾道題來(lái)替代的.在系列的變式過(guò)程中，我們最終將一道中檔題變成了一道具有深度思維的壓軸題.這種借“題”發(fā)揮，以“變”促學(xué)的變式教學(xué)，創(chuàng)造了機(jī)會(huì)，讓學(xué)生了解了諸多的變式方法，回顧眾多的知識(shí)點(diǎn)，看到壓軸題的形成過(guò)程和解題的思想方法，增強(qiáng)了他們解壓軸題的信心.更重要的是，它為學(xué)生的“解題反思——對(duì)試題的拓展延伸”及教師的解題教學(xué)提供很好的典范，也為跳出茫茫的題海找到新的出路.

1.周玉俊.借“題”發(fā)揮以“變”促學(xué)——初中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的變式與拓展例談［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（4）.J