☉福建三明市列東中學 詹高晟

☉福建三明市列東中學 陳冠文

2017年12月，筆者在三明市初中數(shù)學網(wǎng)絡教研活動中開設的“平均數(shù)”（北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第六章第1節(jié)）教學研討課得到了聽課教師的好評，課后大家就這節(jié)課的教學在網(wǎng)絡上展開了熱烈的討論，也引發(fā)筆者的進一步思考，現(xiàn)整理成文，與大家交流.

一、教學內(nèi)容

教材安排如下三個環(huán)節(jié)展開教學：

環(huán)節(jié)一：給出中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽2011—2012賽季兩個球隊（北京隊和廣東隊）隊員的身高和年齡，讓學生通過計算比較兩隊隊員的平均身高，由此引入算術平均數(shù)的概念.

環(huán)節(jié)二：介紹小明計算北京隊隊員平均年齡的方法：

表1

平均年齡=（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷（1+4+2+2+1+2+2+1）=25.4（歲）.

讓學生說明這種算法的道理，引導學生發(fā)現(xiàn)：小明的做法還是根據(jù)算術平均數(shù)的計算公式進行計算，只是在求相同加數(shù)的和時用了乘法，這是一種求算術平均數(shù)的簡便方法，為引入加權平均數(shù)概念做好鋪墊.

環(huán)節(jié)三：安排如下例題，引出加權平均數(shù)的概念，完成新知建構.

例 某廣告公司欲招聘廣告策劃人員一名，對A、B、C三名候選人進行了三項素質(zhì)測試.他們的各項測試成績?nèi)绫?所示：

表2

（1）如果根據(jù)三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用？

（2）根據(jù)實際需要，公司將創(chuàng)新、綜合知識和語言三項測試的得分按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用？

二、教學過程及評析

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，復習舊知.

上課伊始，筆者指出大家生活中會接觸各種各樣的數(shù)據(jù)，常常要對它們進行適當?shù)恼砗头治?，以獲取更多的信息，為決策提供依據(jù).接著讓學生閱讀教材的章引言和觀察章前主題圖，明確本章的主要學習任務，主要是研究數(shù)據(jù)分析的常用方法.然后提出問題一：

問題一：A、B兩個學習互助小組的半期考數(shù)學成績?nèi)缦拢?/p>

A組：75，84，85，90，56.

B組：92，80，54，73，85，81.

你認為哪個互助小組的成績更好些？

引導學生比較兩個小組的平均成績，順勢回顧算術平均數(shù)的算法，并給出規(guī)范定義.

評析：本節(jié)是“數(shù)據(jù)分析”這章教學的起始課，加權平均數(shù)的概念是這節(jié)課的教學重點，但筆者不僅關注加權平均數(shù)概念的教學，還非常注重發(fā)揮章引言的教學功能，通過指導學生閱讀章引言，幫助他們了解本章的主要內(nèi)容，熟悉本章概貌，讓學生在學習之初就能弄清學習的脈絡，以防“只見樹木，不見森林”.然后用一個具體的情境問題引導學生自然喚醒算術平均數(shù)的概念和求法，體會算術平均數(shù)的統(tǒng)計意義.

環(huán)節(jié)2：提出問題，引發(fā)思考.

問題二：半期聯(lián)考中，甲、乙兩校初一年級數(shù)學平均成績?nèi)绫?所示，能否求出這兩校初一學生的數(shù)學平均成績？

表3

不少學生回答“能”，認為答案是70分.

生1：算不出來，因為平均分等于總成績除以總人數(shù)，而現(xiàn)在我們不知道這兩個學校的具體人數(shù).

師：能確定平均分的大致范圍嗎？

師：是更接近60分還是更接近80分？

生3：應該跟兩個學校的人數(shù)有關.

接著筆者提出問題三：

問題三：如果知道這兩校初一年級的人數(shù)（如表4），能否表示出這兩校初一學生的數(shù)學平均成績？

表4

然后筆者借助Excel表格，給定一些a的值，依次算出相應的的值（如表5），繪出相應的統(tǒng)計圖（如圖1）.

表5

圖1

師：請大家觀察統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，能有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：a的值不同，最后結果也不同.

生6：a越大，平均成績就越低.

生7：但到不了60分，只會越來越接近60分.

師：是的，太好了！大家發(fā)現(xiàn)a的值越大，平均分越接近60分，說明a的值越大，甲的成績對結果的影響就越大，這時甲的成績重要程度就越高，a的值反映了60分的重要程度，我們就把a的值叫作60分的權.

評析：這里設置了兩個逐漸遞進的問題，問題二既有助于學生深入理解算術平均數(shù)的概念，也為引出加權平均數(shù)的概念埋好伏筆.問題三通過給出兩個學校初一年級的學生數(shù)，并且用字母a來表示甲校初一的人數(shù)，讓問題變得開放.課堂上，在師生互動、共同交流中，引導學生逐步明確a的值的變化會引起兩校平均成績的變化，理解研究加權平均數(shù)的必要性，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念.特別是借助條形統(tǒng)計圖，讓平均分的變化趨勢顯得直觀、簡潔，能有效調(diào)動學生的學習興趣，為加權平均數(shù)概念的引入做了充分的鋪墊.

環(huán)節(jié)3：歸納提煉，引出概念.

師：在這個問題中，一組數(shù)據(jù)里的各個數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)時，往往給每個數(shù)據(jù)一個“權”.像式子≈72.92中，這里85就叫作60分的權，155叫作80分的權，85、155反映了這個式子中60分和80分的重要程度，72.92分就叫作兩校成績60分、80分的加權平均數(shù).

然后給出加權平均數(shù)規(guī)范的概念：一般地，n個數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的權分別是f1、f2、…、fn，則這n個數(shù)的加權平均數(shù)

生8：在式子①中，60、80的權分別為85、155；在式子②中，60、80的權分別為600、155.

師：權的作用是什么？

生9：反映數(shù)據(jù)的重要程度，權越大對平均數(shù)的影響就越大.

師：觀察這些式子，分子和分母都有哪些特點？

生10：分子表示兩個學校的成績總和，分母表示各權的和，也就是兩個學校的總人數(shù).

師：你能取一個a的值，使平均分更接近80分一些嗎？

生11：a=30.

師：為什么這樣??？

生11：要讓最后成績更接近80分，說明80分的權重要盡量大一些，60分的權重要盡量小一些，所以a的值要盡量小一點.

師：說得很好！那么如果兩個分數(shù)的權重一樣，a的值應是多少？計算出的平均分又是多少？

生（眾）：a=155，平均分為70分.

生12：結果跟算術平均數(shù)一樣.

師：對，這就說明算術平均數(shù)是加權平均數(shù)的特殊情況，此時，每個數(shù)據(jù)的權重相同.

評析：有了問題二和問題三的鋪墊，筆者借助具體例子，引導學生通過觀察、分析，先給出加權平均數(shù)概念的形式化定義，再進行抽象概括，得到概念的規(guī)范定義，把握住了概念的本質(zhì)，既有助于學生理解概念，又有助于培養(yǎng)學生的抽象概括能力，概念的引出自然、流暢.概念引出后，再通過具體實例幫助學生理解，并把算術平均數(shù)與加權平均數(shù)有機統(tǒng)一起來，滲透了特殊與一般的數(shù)學思想，體現(xiàn)了前后一致、邏輯連貫的數(shù)學思維.

環(huán)節(jié)4：辨析發(fā)現(xiàn)，完善認知.

問題四：某次安全知識競賽，我校參賽的學生共有3種得分：85分、80分、90分，人數(shù)分別為19、10、21，請求出這些參賽學生的平均得分.

接著筆者對該題進行變式，提出以下問題：

變式1：某次安全知識競賽，我校參賽學生共有3種得分：85分、80分、90分，人數(shù)之比為19∶10∶21，請求出這些參賽學生的平均得分.

對于本題，不少學生存在困難，筆者引導他們利用算術平均數(shù)的概念解決，假設3種得分的人數(shù)分別為19x、10x、21x，則有，整理后得到，發(fā)現(xiàn)結果與原題一樣，在探究中讓學生明白，權還可用比例的形式來呈現(xiàn)，此類問題以后可直接用加權平均數(shù)解決.

變式2：某次安全知識競賽，我校參賽學生共有3種得分：85分、80分、90分，人數(shù)分別占我校參賽人數(shù)的31%、33%、36%，請求出這些參賽學生的平均得分.

有了“變式1”的解題經(jīng)驗，學生解決此題就容易多了，引導學生假設我校全部參賽學生為x人，則有：，整理后得到=85×31%+80×33%+90×36%，由此指出權還可以用百分比的形式呈現(xiàn).

評析：權的表現(xiàn)形式有多種，數(shù)據(jù)的出現(xiàn)次數(shù)這種形式對初學者來說比較容易接受，而比例和百分比這兩種形式較難理解，如何才能從次數(shù)這種形式自然過渡到另兩種形式，讓學生能夠理解，易于接受？這就需要我們精心設計.為此，筆者通過變式，把后兩者借助平均數(shù)的概念統(tǒng)一到次數(shù)這種形式，過渡流暢，最終都是利用較易理解的次數(shù)這種形式來理解權的其他表現(xiàn)形式，思路順暢，生成自然.

環(huán)節(jié)5：應用概念，深化理解.

利用教材中環(huán)節(jié)三的例題素材，提出問題五：

問題五：若根據(jù)三項測試的平均成績確定錄取人選，那么誰被錄取？說明理由.

師：若公司要招聘的是廣告策劃員，A會是合適人選嗎？

生13：不合適，因為廣告策劃員的創(chuàng)新能力更重要，而A的創(chuàng)新分數(shù)不高，應該錄用B.

師：那該如何修改最后的計分規(guī)則，使我們能錄用到合適人選？

生14：可以給“創(chuàng)新”更高的權重，如按照4∶3∶1的權重計算最后的得分.

筆者讓學生算一算，發(fā)現(xiàn)按這種錄取方式可以錄用到B.

師：生活中，你們還接觸過哪些利用加權平均數(shù)來解決的問題？

通過討論，讓學生分享自己的例子，感受加權平均數(shù)在生活中的應用.

評析：這里通過開放性的問題，讓學生主動給數(shù)據(jù)賦予適當?shù)臋啵诜治鰡栴}、解決問題的過程中，學生對權的意義有了更深的理解和領悟，權可以根據(jù)數(shù)據(jù)的重要程度進行合理分配，體會到權對決策所起的作用，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念.

三、幾點體會

1.概念教學：基于自然生長，重在揭示本質(zhì).

數(shù)學概念是數(shù)學學習的起點，是數(shù)學思維的基礎，而概念又往往比較抽象，學生不易理解，因而在教學中要根據(jù)學生的認知水平，基于知識的自然生長，通過有序、恰當?shù)慕虒W環(huán)節(jié)，拉長思維過程，幫助學生揭示概念的本質(zhì).筆者聽過多位教師開設的“平均數(shù)”教學公開課，他們在權的概念形成上用時很少，對它的本質(zhì)一帶而過，而是把更多的精力放在有關加權平均數(shù)的計算訓練上面，結果導致學生只會機械模仿，生搬硬套，對權的含義并未真正理解，沒有將權的概念建構進自己的知識網(wǎng)絡中，用時是知其然而不知其所以然.有一節(jié)公開課，教師在練習中設計了以下題目：小明家上個月的伙食費用為500元，教育費用為200元，其他費用為300元，本月小明家這三項費用分別增長了10%、30%、5%，小明家本月的總費用比上個月增長的百分數(shù)是多少？學生在解答時無從下手，分不清問題中的數(shù)據(jù)與權.在本節(jié)課的教學中，筆者考慮最多的就是如何讓學生經(jīng)歷從識權到悟權的過程，培植權的概念，理解權的含義，會用權解決實際問題，為此，通過精心設計，讓學生求兩校初一年級的數(shù)學平均成績，引發(fā)學生的思維沖突，引導學生關注甲校初一年級人數(shù)a的變化對最終平均成績的影響，a的值越大，最終成績越接近甲校的成績，a的值的大小反映了甲校成績的重要程度，這正是權的本質(zhì)特征，由此引出加權平均數(shù)的概念水到渠成.這樣的探究，雖然用時較多，但這種“慢”教學，讓學生充分經(jīng)歷概念的形成過程，他們在交流碰撞中解決了問題，提升了能力，概念的本質(zhì)屬性是由他們自主揭示得到的，自然理解透徹，體會深刻.

2.教材使用：有取有舍不唯是，優(yōu)化整合有所立.

教材是知識的載體，蘊含課標的精神實質(zhì)，凝聚編者的智慧，但教材不是教學的出發(fā)點，更不是終點，僅僅是教學的媒介.由于條件限制，教材內(nèi)容很難做到完全適應各種不同類型的學校，這就要求一線教師在教學中要根據(jù)學生特點，對教材進行創(chuàng)造性使用，有取有舍，優(yōu)化整合，使靜態(tài)的教材內(nèi)容動態(tài)化，使零星的知識條理化、系統(tǒng)化，以便更好地為教學服務.本節(jié)課，教材提供的兩個球隊的隊員身高、年齡素材，雖然來源于生活，數(shù)據(jù)豐富，有助于培養(yǎng)學生的統(tǒng)計觀念，但本節(jié)的重點不在于具體數(shù)據(jù)的計算，而在于探究數(shù)據(jù)分析的方法，因此復雜的數(shù)據(jù)反而會干擾對核心內(nèi)容的學習.此外，教材安排的例題第（2）問，意在引出加權平均數(shù)的概念，并且給出當權以“比例”形式出現(xiàn)時加權平均數(shù)的計算方法，然而筆者在備課時請程度較好的學生試做本題時，發(fā)現(xiàn)他們要么不會列式，要么對列出的式子=不會正確解釋，究其原因，主要在于這時還未引入加權平均數(shù)的概念，而本題又無法利用算術平均數(shù)的計算方法（所有數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)）說明.為此，筆者對教材進行大膽取舍，更換教學素材，通過設計層層遞進的問題串，讓權的概念自然生成，然后通過“問題四”的三個小題，讓學生體會加權平均數(shù)的三種表現(xiàn)形式，當學生遇到困難時，引導他們回到算術平均數(shù)的概念加以解決，自然、流暢，符合學生的認知規(guī)律.這樣的教材處理讓整節(jié)課的教學環(huán)節(jié)緊湊，學生的思維在知識的推進中自然流淌，享受數(shù)學探究性學習旅程中特有的曲徑尋幽之樂.當然，我們對教材“不唯是”“有所立”，關鍵是要深刻理解教材，讀懂編者意圖，再根據(jù)學生的實際情況，對教材進行合理重組或加工，做到“有取有舍不唯是，優(yōu)化整合有所立”.

3.統(tǒng)計教學：經(jīng)歷統(tǒng)計活動過程，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.

當下，課堂教學仍然普遍存在“考什么，教什么”的現(xiàn)象，特別是統(tǒng)計知識在考試中基本屬于送分題，大部分教師不愿意花費時間和精力研究教材，有的教師甚至把統(tǒng)計課上成了算術課，缺乏統(tǒng)計味，學生沒有參與統(tǒng)計過程，統(tǒng)計意識和數(shù)據(jù)分析觀念很難得到發(fā)展.數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心，因此在統(tǒng)計教學中要注意選擇合適、有效的素材，讓學生參與到統(tǒng)計活動中去，發(fā)展他們的數(shù)據(jù)分析觀念，培養(yǎng)他們的統(tǒng)計意識.本節(jié)課，筆者設計的“問題一”，不是直接讓學生求兩個小組各自的平均成績，而是通過問題“你認為哪個互助小組的成績更好些”引發(fā)學生主動思考，自主選擇合適的統(tǒng)計量，由此喚醒平均數(shù)的概念與算法等統(tǒng)計知識，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念.在“問題五”教學時，筆者不是如教材那樣直接提出問題“按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用”，而是通過問題“該如何修改最后的計分規(guī)則，使我們可以錄用到合適人選”，引導學生從統(tǒng)計角度修改計分規(guī)則，讓學生自主體會到可以通過改變不同項目的權重影響最后的成績，并讓學生自己給各項目賦權，在現(xiàn)實背景中用權，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展統(tǒng)計觀念.在本節(jié)課的最后，筆者還讓學生自己列舉用加權平均數(shù)解決的實際問題，感受統(tǒng)計與實際生活的聯(lián)系，增強他們的統(tǒng)計意識.統(tǒng)計是實踐性很強的一個內(nèi)容領域，教師要通過引導學生積極參與統(tǒng)計活動，經(jīng)歷統(tǒng)計過程，在活動中建立數(shù)據(jù)分析觀念，形成自覺運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.

1.詹高晟.拉長思維過程 內(nèi)化概念理解［J］.中學數(shù)學（下），2016（3）.

2.潘巧慧.重在悟權過程突出統(tǒng)計思想——“20.1.1平均數(shù)”教學設計與說明［J］.中學數(shù)學（下），2017（9）.W