☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學校 張 寧

一、試題呈現(xiàn)

試題：（2017年浙江省杭州市中考數(shù)學第10題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交邊BC于點D，設BD=x，tan∠ACB=y，則（ ）.

A.x-y2=3 B.2x-y2=9

C.3x-y2=15 D.4x-y2=21

試題評析：本題以學生非常熟悉的等腰三角形和線段的垂直平分線為基本圖形，主要考查等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關系、相似三角形的判定與性質(zhì)或三角形中位線的性質(zhì)等知識點，是《義教育教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）規(guī)定的最基礎最核心的內(nèi)容之一.本題圖形簡潔明了，將幾何與代數(shù)融為一體，蘊含重要的數(shù)學思想方法，具有較強的綜合性和探索性，是選擇題中的壓軸題，對學生而言具有一定的挑戰(zhàn)性.

二、解法探究

由已知條件可知，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長是定值，腰AB與AC的長是變量，故點D在BC邊上的位置隨著腰長的變化而變化，即點D是一個動點，這對求解本題有一定的干擾作用.由于本題是一道選擇題，因此可以考慮從點D的特殊位置入手，尋求解決問題的一般方法與策略.

因為tan∠ACB=y，顯然要構(gòu)造直角三角形，所以可以過點E作BC的垂線EF，垂足為F.又垂線段EF的長可以通過相似三角形或三角形中位線的性質(zhì)求得，故需要過點A作BC的垂線AG，垂足為G.

1.從特殊位置入手.

解法1：如圖2，過點A作AG⊥BC，垂足為G.過點E作EF⊥BC，垂足為F.點D與點F重合.

由等腰三角形的性質(zhì)易知BG=CG=6.由線段垂直平分線的性質(zhì)易知BD=DE=x.由相似三角形的性質(zhì)或三角形中位線性質(zhì)易求得CD=3.所以x+3=12，即x=9.

經(jīng)檢驗，只有B選項符合要求，故選B.

解法2：如圖3，過點A作AG⊥BC，垂足為G.過點E作EF⊥BC，垂足為F.點D與點C重合.

由等腰三角形的性質(zhì)易知BG=CG=6.由線段垂直平分線的性質(zhì)易知BC=CE=12，即x=12.由相似三角形的性質(zhì)或三角形中位線性質(zhì)易求得CF=3.

經(jīng)檢驗，只有B選項符合要求，故選B.

說明：在△ABC中，易知AC=2CE=24，即當?shù)妊切蜛BC的腰長為24時，點D與點C重合.

2.一般化求解方法.

解法3：過點A作AG⊥BC，垂足為G.過點E作EF⊥BC，垂足為F.連接DE.

如圖4，當點D在線段BF上時，由等腰三角形的性質(zhì)易知BG=CG=6.由線段垂直平分線的性質(zhì)易知BD=DE=x.由相似三角形的性質(zhì)或三角形中位線性質(zhì)易求得CF=3，BF=9.所以DF=BF-BD=9-x.

在Rt△DEF中，由勾股定理知EF2+DF2=DE2，所以（3y）2+（9-x）2=x2，整理得2x-y2=9.

如圖5，當點D在線段FC上時，易求得DF=BD-BF=x-9，EF=3y.

在Rt△DEF中，由勾股定理知EF2+DF2=DE2，所以（3y）2+（x-9）2=x2，整理得2x-y2=9.

綜上所述，B選項正確.

點評：這種解法通過構(gòu)造直角三角形，將相關線段集中到Rt△DEF中，從而利用勾股定理得到了y與x之間的函數(shù)關系.由此可以看出，在三角形中，求相關線段的長或?qū)ふ蚁嚓P線段之間的關系時，構(gòu)造直角三角形是常用的解題策略之一，直角三角形是非常重要的幾何模型.

從這種解法可以看出，當點D在線段BF上時，DF=9-x；當點D在線段FC上時，DF=x-9.因此DF=|x-9|，故在兩個不同的圖形中利用勾股定理求得y與x之間的函數(shù)關系是一致的.

解法4：如圖6，過點A作AG⊥BC，垂足為G.過點E作EF⊥BC，垂足為F.設BE的垂直平分線交BE于點H，過點H作HM⊥BC，垂足為M.

易求得BG=CG=6，CF=3，BF=9.

故選B.

點評：這種解法通過構(gòu)造相似三角形，將相關線段集中到兩個相似的直角三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)得到了y與x之間的函數(shù)關系.由此可以看出，在三角形中，求相關線段的長或?qū)ふ蚁嚓P線段之間的關系時，構(gòu)造相似三角形也是常用的解題策略之一，相似三角形也是重要的幾何模型.

從教師的角度出發(fā)，可以利用解析法或余弦定理求解.

解法5：（解析法）如圖7，以點B為坐標原點，以BC所在的直線為橫軸，建立平面直角坐標系.過點A作AG⊥BC，垂足為G.過點E作EF⊥BC，垂足為F.設BE的垂直平分線交BE于點H.

故選B.

解法6：（利用余弦定理求解）如圖8，過點A作AG⊥BC，垂足為G.連接DE.

易求得BG=CG=6.由線段垂直平分線的性質(zhì)易知BD=DE=x，所以CD=12-x. 在Rt△ACG中，y=tan∠ACB=所以AG=6y.由勾股定理可得AC=，所以CE=

在△CDE中，由余弦定理，可得DE2=CD2+CE2-2CD·CE·cos∠ACB，所以x2=（12-x）2+（）2-2（12-x）·.整理得2x-y2=9.

故選B.

三、變式探究

通過對原試題的變式探究，可以進一步認識圖形的本質(zhì)特征，體驗幾何模型在解決問題中的重要作用.

變式1：如圖9，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交BC的延長線于點D，設BD=x，tan∠ACB=y，求y與x之間的函數(shù)關系式.

變式2：如圖10，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊上一點，AC，線段BE的垂直平分線交直線BC于點D，設BD=x，tan∠ACB=y，求y與x之間的函數(shù)關系式.

從改變試題中的基本圖形入手，可對試題進一步變式.

在圖1中，改變△ABC的形狀，使∠ABC=∠ACB=30°，設BE的垂直平分線交AB于點G.作點A關于直線BC的對稱點H，連接BH、CH，延長GD，交BH于點F，連接EF，如圖11所示.易知四邊形ABHC是菱形.

在圖11中，隱去線段BC、BE，并適當標注字母，可得到如下變式3.

變式3：（2017年浙江省寧波市中考數(shù)學第18題）如圖12，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上.則cos∠EFG的值為______.

變式4：如圖13，在平行四邊形紙片ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，AB=AC，BC=12，將平行四邊形紙片翻折，使點B落在E處，折痕為FG，點F、G分別在邊BC、AB上.

（1）若BF=8，求tan∠ABC的值；

（2）若BF=m，tan∠ABC=n，求m與n之間的函數(shù)關系式.

四、試題改進

根據(jù)圖1，線段BE的垂直平分線交線段BC于點D，這時y與x之間滿足關系2x-y2=9.通過變式探究發(fā)現(xiàn)，當線段BE的垂直平分線與△ABC的邊BC的延長線相交時，結(jié)論依然成立.因此，為使試題更具探索性和挑戰(zhàn)性，可將試題的文字表述作一些改動，得到如下問題.

問題：在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交BC所在的直線于點D，設BD=x，tan∠ACB=y，則（ ）.

A.x-y2=3 B.2x-y2=9

C.3x-y2=15 D.4x-y2=21

點評：筆者認為，改進后的問題更具嚴謹性.由于原試題中“如圖”的條件限制，點D只能在線段BC上移動，其隱含了對等腰三角形腰長的限制，即624時，點D只能在線段BC的延長線上移動，而試題中又缺乏這樣的條件限制，原試題給人一種不完整的感覺.

五、解題反思

1.關注《課程標準》中最基礎最核心的內(nèi)容.

中考所涉及的內(nèi)容是《課程標準》中最基礎最核心的內(nèi)容.因此，在數(shù)學教學活動中，要引導學生關注基礎知識，重視基本技能，突出數(shù)學思想方法的重要性，使學生獲得解決數(shù)學問題最基本的活動經(jīng)驗.在教學中要注重知識間的聯(lián)系，提高學生分析問題與解決問題的能力.在中考復習時，要有意識、有計劃地引導學生體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系，感受數(shù)學知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.

2.重視數(shù)學模型，提高解題能力.

解題是數(shù)學教學中極具創(chuàng)造性的工作，數(shù)學學習離不開解題.波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授》中認為：“解題是一種本領，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能夠靠模仿和實踐才能學到它.”“中學數(shù)學教學的首要任務就在于加強解題訓練.”在幾何教學中，平行線、中位線、垂直平分線、角平分線、高線、中線、等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形等幾何圖形的基本性質(zhì)需要學生熟練掌握，這些圖形既包括定義、定理的代表圖形，也包括數(shù)學學習中經(jīng)常遇到的圖形，以及由一個實際問題抽象為用數(shù)學符號表示的數(shù)學問題，這些圖形或數(shù)學問題都是學生學習解決數(shù)學問題的有效模型.在平時的教學中，教師要善于引導學生將所學內(nèi)容從類型、方法等方面歸納整理，使學生形成解決數(shù)學問題的基本策略.當遇到一個幾何問題時，可采用相應的策略求解.中考試題是命題專家精心打造的精品課程資源，每一道試題都蘊含著某些特定的數(shù)學思想與方法，它對數(shù)學教學具有很強的導向作用.教師在教學中要善于引導學生探索一些優(yōu)秀試題中體現(xiàn)的數(shù)學模型的性質(zhì)，提高學生的解題能力.

3.對試題的變式探究是提高學生解題能力的有效途徑.

通過對試題中條件、結(jié)論或圖形稍作變動，可得到一些具有豐富內(nèi)涵的新問題.通過對這些新問題的解決，一方面可促使學生理解所學知識，掌握求解同類問題的基本策略，提高學生的應變能力，使學生做到舉一反三；另一方面可培養(yǎng)學生思維的靈活性和敏捷性.

六、結(jié)束語

以三角形、四邊形等圖形為基本圖形，以線段垂直平分線、軸對稱或折疊為背景的中考試題，求解方法較為靈活，具有一定的難度.解決這類問題，一是要從點、線入手，去除不利于解決問題的干擾因素，抓住折疊前后圖形之間最本質(zhì)的位置關系，尋找圖形中蘊含的數(shù)量關系；二是通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形等基本數(shù)學模型，利用直角三角形的邊角關系或相似三角形的性質(zhì)列方程求解.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.張寧.抓住圖形特征 解法自然生成［J］.初中數(shù)學教與學，2017（12）.

3.張寧.動態(tài)幾何問題的常見類型及其求解策略［J］.數(shù)理化學習（初中版），2017（12）.

4.張寧.抓住圖形結(jié)構(gòu)探尋求解策略——一道全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題的解法探究［J］.中學數(shù)學（下），2017（9）.

5.張寧.關注基本模型彰顯問題本源——勾股定理“總統(tǒng)證法”的幾何模型在解競賽題中的應用［J］.中學數(shù)學（下），2017（6）.

6.張寧.追尋本質(zhì)解法變式演繹精彩——一道競賽題的解法及變式探究［J］.中學數(shù)學（下），2015（4）.

7.張寧.軸對稱搭臺，相似三角形唱戲——淺談一道聯(lián)考試題的分析過程及對講評設計的兩點思考［J］.中學數(shù)學（下），2015（1）.

8.［美］喬治·波利亞，著.劉景麟，等，譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授［M］.北京：科學出版社，2006.W