☉江蘇江陰市青陽第二中學(xué) 姚 強

☉江蘇江陰市青陽第二中學(xué) 朱建民

韓愈的《師說》曰：師者，所以傳道、授業(yè)、解惑也.就數(shù)學(xué)教學(xué)來說，課堂上借助授業(yè)傳播數(shù)學(xué)之道是我們的主要工作.然而，課后還有另一個重要的工作：解惑.解惑質(zhì)量的高低也影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，對教師專業(yè)基本功的認可.本文由最近兩則為學(xué)生答疑解惑的案例說起，闡釋筆者對數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生“解惑”的一些思考和認識.

一、兩則答疑解惑案例摘錄

答疑案例1：關(guān)于提公因式法的疑惑.

學(xué)生疑惑：對于式子（a+b-c）（2a+2b-c），我想繼續(xù)變形和提公因式為［（a+b）-c］［2（a+b）-c］，進一步再提出一個（a+b）出來……請問，我為什么不能提一個（a+b）出來？或者說，我的問題就是對于式子（m-c）（2m-c）來說，為什么不能提取m？請老師點撥.

答疑解惑：你的問題很好！首先“簡化”思考非常有數(shù)學(xué)特點，數(shù)學(xué)上常常把復(fù)雜問題簡化后，突出問題的本質(zhì)進行研究！這已經(jīng)是很“數(shù)學(xué)”的分析視角了.現(xiàn)在我們來明辨其中的錯誤.可以先退回概念（或定義）來思考，因式分解的定義是將一個多項式寫成幾個因式乘積的形式，提公因式是針對一個多項式的若干個項而言的，“找”出所有項的公因式實施提取.

上面簡化后的式子（m-c）（2m-c）是多項式嗎？顯然不是（多項式的定義是幾個單項式的和）.所以這里對兩個乘積式中提出局部的m是不當?shù)?

進一步，假如變式為（m2-cm）（2m2-cm），在這個式子中兩個因式是兩個二次二項式，可以分別對它們進行提公因式，得［m（m-c）］［m（2m-c）］=m2（m-c）（2m-c）.

變式辨析：（1）分解因式2m（a+b）-3a-3b的結(jié)果是________.

（2）把xn+3+xn+1分解因式得（ ）.

A.xn+1（x2+1）B.xn（x3+1）

C.x（xn+2+xn）D.xn+1（x2+x）

說明：這兩道變式題都是需要進一步分解的，因為它們都是加、減號連接而成的多項式，可以恰當變形后提出公因式.

答疑案例2：關(guān)于二次根式的化簡求值.

說明：這是一個學(xué)生提出的疑問，他和同桌對一個二次根式進行化簡求值時出現(xiàn)了兩種不同的解答，但彼此都沒能發(fā)現(xiàn)自己的錯漏，所以拍照發(fā)給老師，希望老師答疑解惑.

生1的解法：如圖1所示.

生2的解法：如圖2所示.

答疑解惑：生1的思路是根號內(nèi)通分后，代入x、y的值，計算過程中處理繁分數(shù)的運算出錯（最后兩步出錯）；生2的主要思路是根號內(nèi)通分，配成完全平方式后化為最簡二次根式，然而從第二步就出錯，因為將根號內(nèi)的（x-y）2開方時沒有加“|x-y|”，而是跳步驟直接寫成了x-y，從而出現(xiàn)“高位錯誤”，究其原因是忽略了x、y的值已確定，x-y是一個負數(shù)！可以發(fā)現(xiàn)，生1在最后直接代入數(shù)據(jù)，若不是計算出錯，應(yīng)該能獲得正確答案；而生2的錯漏卻是對二次根式性質(zhì)=|a|理解不透，忽略了考慮對被開方式中底數(shù)a的正負的討論.為了糾正這一錯漏，給出如下兩道習(xí)題，作為性質(zhì)鞏固與跟進訓(xùn)練.

請評價甲、乙兩人的解答.

二、關(guān)于答疑解惑的幾點思考

1.辨別提問的質(zhì)量，精準識別“好的提問”.

教師日常教學(xué)過程中，會遇到很多學(xué)生提問，教師需要辨別這些提問的質(zhì)量，有些提問只是簡單的算錯、筆誤或?qū)忣}時看漏信息與條件等，這類非智力因素出錯，與本文探討的話題并不一致，故不在我們討論范圍內(nèi).在提問涉及的具體題目上，如果屬于一些細枝末節(jié)的習(xí)題，屬于繁難問題，對后續(xù)學(xué)習(xí)沒有多少價值的數(shù)學(xué)難題，也不必大講特講.可見學(xué)會取舍需要教師具有深刻理解數(shù)學(xué)、理解課標、理解教學(xué)、理解學(xué)生的專業(yè)基本功.上文提到的兩個案例，分別對應(yīng)著兩個重要的代數(shù)運算或變形，是好的提問，值得我們花時間認真研究.當然，“好的提問”有時還可以是一些隱蔽很深的易錯點，如案例1中二次根式的化簡，就屬于這種.從這個意義上說，“一個深刻的錯誤比膚淺的正確更有意義”.

2.回到定義、基本概念或重要性質(zhì)進行究錯.

在識別“好的提問”之后，引導(dǎo)學(xué)生進行究錯時，可以使用“以退為進”策略.比如，案例1中，學(xué)生在提問時已具有這種以退為進的意識，他能將問題簡化后突出自己的疑惑點.這時為了把這里的錯漏講清說明，可以回到定義來思考，即因式分解是怎樣定義的，再對照所提問式子的形式特點，發(fā)現(xiàn)這個式子并不是多項式的形式，所以不能在兩個因式之間找?guī)讉€項的公因式，這是典型錯誤.而對于案例2來說，二次根式的兩個性質(zhì)外形類似，又是后續(xù)二次根式化簡、運算的基礎(chǔ)，所以需要引導(dǎo)學(xué)生回到二次根式性質(zhì)進行辨析和究錯.事實上，解題教學(xué)，特別是較難問題在教學(xué)輔導(dǎo)時也應(yīng)該重視“破題”（原東北師范大學(xué)校長史寧中教授語）.而善于引導(dǎo)學(xué)生回到定義、回到概念進行解題也是非常必要的.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，不少學(xué)生在問題解答出現(xiàn)問題時，深究下去，往往都是對題目中的一些關(guān)鍵詞句看錯、看漏而出錯. 比如，△ABC中，“點P在邊AB上”“點P在射線AB上”“點P在線段AB的延長線上”，這三種表達既有關(guān)聯(lián)，又各不相同，這就要求我們在平時教學(xué)時，注意引導(dǎo)學(xué)生回到概念來辨析和自主糾錯.

3.重視同類習(xí)題跟進再練，反饋答疑效果.

對一些重要的習(xí)題、易錯習(xí)題，在答疑講評之后，要給出同類跟進練習(xí)，這樣能有效反饋答疑效果.在答疑案例2中，由于學(xué)生的錯漏是二次根式的化簡中一類高頻易錯點，所以在答疑之后，我們考慮給出了兩道同類跟進，以便反饋答疑效果，也有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.這里選用同類習(xí)題時可基于所謂的“變異理論”或腳手架（Scaffoldings）理論，如馬登關(guān)于變異理論有如下論述：“學(xué)習(xí)是一種個體與世界的內(nèi)在關(guān)系，學(xué)校的教學(xué)目的是為學(xué)生如何面對不斷復(fù)雜化的未來社會作準備，這樣，學(xué)習(xí)的最重要形式是使學(xué)生能夠以不同的方式去看待某個學(xué)習(xí)對象.”所以在精準識別學(xué)生疑問的結(jié)構(gòu)特點之后，基于變異理論，進行習(xí)題的恰當變式，給出同類跟進再練，讓學(xué)生再次體驗、建構(gòu)、內(nèi)化，達到對疑問的深刻理解與辨析.

三、寫在后面

本文關(guān)注的是為學(xué)生進行答疑解惑，似乎主要是課后的輔導(dǎo)功夫，然而這樣的專業(yè)基本功十分重要，因為在課堂教學(xué)中，我們常常要敏銳捕捉一些精彩的課堂生成，特別是在學(xué)生的一些典型錯誤、易錯點處要“?！毕聛恚巴！毕聛硪黄鸺m錯、究錯并走向“化錯”（著名小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師華應(yīng)龍語）.

1.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

2.顧泠沅.教學(xué)改革的行動與詮釋［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.鮑建生，顧冷沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

4.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

5.宋秀云.讓“簡單內(nèi)容”教得深刻［J］.數(shù)學(xué)通報，2016，55（4）.W