安徽省宣城市績(jī)溪縣適之中學(xué) 呂國(guó)梅

近期有幸觀摩市骨干教師張曉峰的公開課——《15.4角的平分線（習(xí)題課）》。隨著教學(xué)年份的增長(zhǎng)，我越來越感到教學(xué)的茫然和無所適從，在教育方面層出不窮的新問題曾一度讓我對(duì)教學(xué)產(chǎn)生倦怠、困惑、迷茫，站在轟轟烈烈新課改的浪潮中，我被一波又一波的巨浪席卷致暈?！逃磥淼哪Ｊ降降资鞘裁礃拥?？尤其是對(duì)我們初中數(shù)學(xué)課堂而言，又有什么樣獨(dú)特的教育方式能夠改變？學(xué)生頭腦中根深蒂固，現(xiàn)實(shí)中又是真真切切的令人覺得枯燥無味，更為關(guān)鍵的是被眾多人認(rèn)為 “百無一用是數(shù)學(xué)”，更何況是初中數(shù)學(xué)。二十多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯以及那點(diǎn)所謂的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，說得直白一些就是殘酷的教學(xué)現(xiàn)實(shí)——理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感。想成為一名成功的好老師那，可不是一件容易的事，所以才有這樣到處求學(xué)的需求。

張老師的課成功之處首先在于他敢于挑戰(zhàn)這種我們大多數(shù)老師都認(rèn)為最難 “表演”的習(xí)題課——15.4角的平分線（習(xí)題課）。角的平分線從性質(zhì)定理到判定定理都有非常充實(shí)的內(nèi)容可講，可我們的張老師偏偏選擇了習(xí)題課。最為關(guān)鍵的也是這節(jié)課最大的亮點(diǎn)就是張老師選了一個(gè)變式練習(xí)作為這節(jié)課的主基調(diào)，最大程度地凸顯了數(shù)學(xué)的奧妙與神奇——萬(wàn)變不離其宗，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著某種內(nèi)在的、相互轉(zhuǎn)換的聯(lián)系。變式練習(xí)平時(shí)我也操作，但像張老師這樣利用一節(jié)公開課的時(shí)間和大家共同探究、研學(xué)，我還是有些顧忌的。最后讓所有老師嘖嘖稱贊的是張老師那精湛絕倫的高超的多媒體使用技術(shù)，讓我們后面這些對(duì)幾何畫板一竅不通的老師看得目瞪口呆。

下面我把張老師這節(jié)課的大致環(huán)節(jié)和成功亮點(diǎn)用我的拙筆記錄下來與大家共同分享。首先張老師按照常規(guī)教學(xué)復(fù)習(xí)回顧了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。

張老師在多媒體上用幾何畫板呈現(xiàn)圖1，并和同學(xué)們一起簡(jiǎn)要溫習(xí)整個(gè)定理的推導(dǎo)過程，學(xué)生集體口頭敘述，張老師在黑板左側(cè)整齊規(guī)范地板書證明過程。

性質(zhì)定理：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE。

判定定理：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴∠1=∠2。

一、解題過程中的幾大亮點(diǎn)

（1）復(fù)習(xí)導(dǎo)入式常規(guī)教學(xué)非常符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也正體現(xiàn)了知識(shí)的積累與循序漸進(jìn)的習(xí)得過程。學(xué)生在這一環(huán)節(jié)表現(xiàn)出了極高的熱情與參與程度，由此也正恰恰能夠體現(xiàn)張老師平時(shí)的課堂教學(xué)深受學(xué)生喜愛的程度。

（2）張老師在板書時(shí)兼顧了大多數(shù)同學(xué)的表述，對(duì)于表述有錯(cuò)誤瑕疵的地方，老師都做了詳細(xì)的解說，再次更正了同學(xué)們的錯(cuò)誤理解。對(duì)于上一節(jié)課的知識(shí)也是最好的鞏固和提高方式。

（3）這大概是這個(gè)環(huán)節(jié)最吸引大家眼球的地方，當(dāng)張老師動(dòng)態(tài)演示P點(diǎn)的位置時(shí)，性質(zhì)定理顯示動(dòng)畫PD=PE并且等于某個(gè)具體的長(zhǎng)度，當(dāng)改變點(diǎn)P的位置 ，PD與PE的長(zhǎng)度也會(huì)隨之發(fā)生改變，但始終保持PD=PE這個(gè)結(jié)論不變。判定定理中同樣利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示改變P點(diǎn)的位置，可見∠1=∠2這個(gè)結(jié)論，并且同樣用表格的形式呈現(xiàn)這個(gè)等量關(guān)系。隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，∠1、∠2的度數(shù)也會(huì)隨之發(fā)生改變，但∠1=∠2這個(gè)結(jié)論始終保持不變。

二、習(xí)題的變式應(yīng)用

接下來便是這節(jié)課的正題，同一道題，張老師通過一題多解、交換題目條件與結(jié)論構(gòu)成互逆命題、稍微改動(dòng)題目的條件和結(jié)論衍生出若干個(gè)系列題系，也正是借助這種題目的講解對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)系統(tǒng)化。

例1 如圖2所示，已知OP是∠AOB的角平分線，OA＜OB,PA=PB，求證：∠OAP+∠B=180°。

方法一：過點(diǎn)P分別作PD⊥OA,PE⊥OB于點(diǎn)D、E，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PD=PE，

∵PA=PB，

∴△PAD≌△PBE（HL）。

∴∠B=∠PAD，

∵∠OAP+∠PAD=180°，

∴∠OAP+∠B=180°。

圖2

方法二：如圖3，在OB上截取OC=OA，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴△OAP≌△OCP（SAS）。

∴∠OAP=∠2，∴PA=PC，

∵PA=PB，

∴PC=PB，

∴∠1=∠B，

∵∠2+∠1=180°，

∴∠OAP+∠B=180°。

圖3

變式1：（交換題目條件與結(jié)論，形成互逆命題）如圖4所示，已知OP是∠AOB的角平分線，OA＜OB,∠OAP+∠B=180°，求證：PA=PB。

證明：過點(diǎn)P分別作PD⊥OA,PE⊥OB于點(diǎn)D、E，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PD=PE，

∵∠OAP+∠B=180°，

又∵∠OAP+∠PAD=180°，

∴∠PAD=∠B，

∴△PAD≌△PBE（AAS），

圖4

圖1

∴PA=PB。

變式2：（題目條件不變，結(jié)論改變）如圖5所示，已知OP是∠AOB的角平分線，OA＜OB,PA=PB，求證：OA+OB=2OE。

證明：過點(diǎn)P分別作PD⊥OA,PE⊥OB于點(diǎn)D、E，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PD=PE，

∴△PAD≌△PBE，△POD≌ΔPOE（HL），

∴AD=BE，OD=OE，

∴OA+OB=（OD-AD）+（OE+BE）=OE-BE+OE+BE=2OE。

圖5

三、變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的思考

教學(xué)活動(dòng)是教師的教與學(xué)生的學(xué)的“雙向”活動(dòng)。授之以魚不如授之以漁，教學(xué)的目的不在于“魚”而在“漁”，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)更應(yīng)如此。習(xí)題作為課本的有機(jī)組成部分之一，蘊(yùn)涵著豐富的內(nèi)涵和背景，教學(xué)中若能充分挖掘課本習(xí)題的潛在功能，像張老師這樣進(jìn)行一題多解和一題多變，定會(huì)收到事半功倍的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的目的是使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中可以根據(jù)不同情況采取變條件、變結(jié)論、變形式、變圖式等方法，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、歸納、整理，使之系統(tǒng)化、深刻化，掌握各部分知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高自己的思維能力。而變式訓(xùn)練同樣是幫助學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題。從一題多解、一題多變、多題一解、一題多圖、多圖一解等多角度進(jìn)行變式訓(xùn)練。通過種種訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面、多角度、多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討、多爭(zhēng)論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的完備性、深刻性和創(chuàng)造性，大大激發(fā)了學(xué)生的興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。