江蘇省如東縣岔河中學(xué) 朱燕衛(wèi)

隨著新課改內(nèi)容的不斷深入，如何在課堂上實(shí)施素質(zhì)化的教學(xué)，也成為數(shù)學(xué)老師在工作中的重要命題。很多高中數(shù)學(xué)教師開(kāi)始在自己的課堂上扭轉(zhuǎn)以往單純靠大量刷題強(qiáng)化訓(xùn)練的模式，更注力于高中生學(xué)科思維能力的養(yǎng)成。在對(duì)不等式對(duì)應(yīng)習(xí)題訓(xùn)練時(shí)，可整理出一些關(guān)于不等式常見(jiàn)的易錯(cuò)題型，從方法上進(jìn)行較為系統(tǒng)的分析，期待能對(duì)我們的數(shù)學(xué)老師起到一些積極的影響。

一、與線(xiàn)性規(guī)劃相結(jié)合的問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)面臨的一類(lèi)問(wèn)題就是如何利用像人力、財(cái)力、物力等方面的資源，使得收益能夠最大化，抑或如何借助更少的資源注入使得任務(wù)能夠完成，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為“最優(yōu)化”問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，關(guān)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，多數(shù)學(xué)生犯錯(cuò)的原因就是沒(méi)能構(gòu)建清晰的解題思路，缺乏相應(yīng)的解題技巧。在解決此類(lèi)與“最優(yōu)化”關(guān)聯(lián)的題目時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從線(xiàn)性規(guī)劃的角度考慮，通過(guò)展開(kāi)相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題來(lái)求解。

例1 某工廠(chǎng)準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，現(xiàn)知生產(chǎn)出一個(gè)甲產(chǎn)品需要使用A原料3公斤，B原料1公斤；生產(chǎn)一個(gè)乙產(chǎn)品，需消耗A原料2公斤，B原料2公斤。現(xiàn)廠(chǎng)內(nèi)有A原料1.2噸，B原料0.8噸，若生產(chǎn)一個(gè)甲產(chǎn)品平均獲得30元利潤(rùn)、生產(chǎn)一個(gè)乙產(chǎn)品平均可獲得40元利潤(rùn)，則甲和乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件，才能獲得最大利潤(rùn)，

最大利潤(rùn)為多少？

像這類(lèi)題的解答，學(xué)生往往不知道該從哪一步入手，所以為了清楚地把握解題內(nèi)容，不妨將兩種商品的內(nèi)容利用表格的形式對(duì)比出來(lái)：

甲產(chǎn)品 乙產(chǎn)品 原料限量A 3 2 1200 B 1 2 800利潤(rùn) 30 40

接下來(lái)可依據(jù)題目提出的要求，分別設(shè)生產(chǎn)甲和乙產(chǎn)品x、y件時(shí)，能夠獲得最大利潤(rùn)。從上面所列出的表格中各項(xiàng)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，可得如下不等式關(guān)系：3x+2y≤1200，x+2y≤80，x≥0，y≥0，這個(gè)時(shí)候不要急著分析方程組，先推論出利潤(rùn)總額為L(zhǎng)=30x+40y，根據(jù)x和y的不等關(guān)系，老師引導(dǎo)學(xué)生繪出相關(guān)的函數(shù)圖象。在觀(guān)察圖形內(nèi)容時(shí)，需要讓學(xué)生明白L在函數(shù)圖象上所代表的幾何意義，不妨先對(duì)和L相關(guān)的方程進(jìn)行推導(dǎo)：這是從目標(biāo)函數(shù)所得到的結(jié)論，結(jié)合對(duì)圖形做動(dòng)態(tài)分析，對(duì)產(chǎn)生變化的過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位。令L=0，可以推導(dǎo)出L0：30x+40y=0。這時(shí)再根據(jù)函數(shù)圖中的可行區(qū)域，找出L取得最值點(diǎn)的位置，也就是3x+2y=1200、x+2y=800這兩條直線(xiàn)相交的點(diǎn)，x=200、y=300，進(jìn)而可以得出Lmax=30×200+40×300=18000，所以，生產(chǎn)甲商品200件、乙商品300件，可以獲得最大利潤(rùn)18000元。像這類(lèi)與線(xiàn)性規(guī)劃結(jié)合的不等式問(wèn)題中，關(guān)鍵點(diǎn)還是要明確各個(gè)條件的含義，找出它們之間的關(guān)系，繪出準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系圖，這樣才能得出合理的答案。

二、高次不等式的相關(guān)問(wèn)題

在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，高次不等式十分關(guān)鍵。學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方主要表現(xiàn)為：其一，學(xué)生對(duì)于解集的區(qū)域分布不太明白，可能有些學(xué)生在解答的過(guò)程中能夠得出解集的范圍，但是對(duì)于具體的解集范圍邊界，學(xué)生還是拿捏不準(zhǔn)，這主要是因?yàn)閷W(xué)生不能確定解集是否要取邊界值而造成的；其二，由于學(xué)生在解題時(shí)忽略了題目中一些比較隱晦的條件和要求，如在高次分式的不等式中，很多學(xué)生遺忘了分母不能為0這一基本原則，一個(gè)錯(cuò)誤的理念只能得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果；其三，學(xué)生在使用“穿根法”進(jìn)行解題的過(guò)程中，沒(méi)能很好地把握不等式函數(shù)的升降規(guī)律，影響了解題思路。

例2 求不等式（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。

此時(shí)，解題思路的建立能夠順利解決此類(lèi)問(wèn)題。和其他階段的學(xué)習(xí)不同，高中數(shù)學(xué)更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的解題思維，而不是計(jì)算能力。像這道題，老師可以幫助學(xué)生尋找突破口，可能有些學(xué)生對(duì)于不等式的解法不太明白，老師可以假設(shè)（x+3）（x-2）（x-4）=0，這時(shí)學(xué)生可以在坐標(biāo)軸上得出三個(gè)零點(diǎn)，分別是-3，2，4，并且通過(guò)這個(gè)內(nèi)容可以將數(shù)軸分成四個(gè)區(qū)間。這個(gè)時(shí)候要確定區(qū)間的正負(fù)問(wèn)題，老師要引導(dǎo)學(xué)生將解題目光放在突破點(diǎn)上，根據(jù)方程的內(nèi)容，可解出方程最右的第一區(qū)間是正區(qū)間，使用正負(fù)相間原理，進(jìn)而得出剩下的區(qū)間正負(fù)情況。確定之后，可以將方程變換為原來(lái)的（x+3）（x-2）（x-4）≤0，找出負(fù)區(qū)間進(jìn)行解答。所以，可以得出該不等式的解集為{x|2≤x≤4或x≤-3}。

在解決這類(lèi)難題的時(shí)候，很多學(xué)生會(huì)被復(fù)雜的題干內(nèi)容所迷惑，老師在進(jìn)行講解時(shí)，最主要的一點(diǎn)就是幫助學(xué)生理清解題思路，使用函數(shù)圖象來(lái)劃定區(qū)間，進(jìn)而根據(jù)不等式的內(nèi)容解出答案。

三、不等式恒成立的問(wèn)題

在高中不等式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也容易忽視不等式恒成立的相關(guān)問(wèn)題，在例題的設(shè)計(jì)中，其往往與數(shù)列或者是抽象函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，較為抽象，這直接導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)錯(cuò)誤較多。近幾年的高考試題傾向于就含參不等式的恒成立問(wèn)題來(lái)出題，因新課程標(biāo)準(zhǔn)及高考考試說(shuō)明側(cè)重于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容要求，不等式的恒成立問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題交織正成為新高考下的命題走向。老師在教學(xué)中既要幫助學(xué)生掌握一定的解題技巧，像分離參數(shù)法、主參換位法、數(shù)形結(jié)合法以及函數(shù)性質(zhì)法等內(nèi)容，同時(shí)還要幫助學(xué)生在題目中有效提取可借用的知識(shí)模塊內(nèi)容，以豐富自身的解題思路。

例3 已知x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，根據(jù)以上已知條件求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。

此類(lèi)不等式問(wèn)題因含有參數(shù)，學(xué)生難以拿捏答案的取值，所以老師在講解中，要讓學(xué)生有意識(shí)地將不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或者是二次方程，通過(guò)根的判別內(nèi)容或者利用數(shù)形結(jié)合的方法，將結(jié)果直觀(guān)的推理出來(lái)。像這道題，在解答中，不妨設(shè)f(x)=x2-2x+3-m，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步做出推斷，可得函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，再?gòu)念}干內(nèi)容要求，為使f(x)≥0（x∈R），就需要Δ≤0，即（-2）2-4（3-m）≤0，可以進(jìn)一步計(jì)算出m≤2 → m∈（-∞，2]。

該題中，含參不等式使得不等式恒成立的問(wèn)題增加了難度系數(shù)，題目中給出了含有未知數(shù)的不等式，這樣在求解的過(guò)程中，必然要對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行全面分析，包括它在取值上有沒(méi)有限定、會(huì)不會(huì)存在一些特殊的結(jié)果。老師在對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面的講解時(shí)，要讓學(xué)生明確解題思路，把握解題的關(guān)鍵。

在高中學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)更像是一棵大樹(shù)，它由各種各樣的知識(shí)點(diǎn)共同構(gòu)成，所以老師在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，不能將某個(gè)內(nèi)容孤立地講解出來(lái)。由于多數(shù)學(xué)生已經(jīng)具備了相應(yīng)的解題能力，并且積累了一定的數(shù)學(xué)思維，所以老師要拓寬學(xué)生的解題思路，幫助他們進(jìn)行內(nèi)容的學(xué)習(xí)。不等式知識(shí)和其他知識(shí)的聯(lián)系緊密，并且在考試中的變化也多種多樣，所以老師在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，一定要幫助學(xué)生建立開(kāi)放的學(xué)習(xí)態(tài)度，針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)的內(nèi)容，從計(jì)算方法和解題思路兩個(gè)方面入手，對(duì)存在錯(cuò)誤的地方找到對(duì)應(yīng)解題切入點(diǎn)，有效規(guī)避錯(cuò)誤的再次發(fā)生，促使學(xué)生提高解不等式相關(guān)試題的正確率。