郭燕妮

【摘要】本文統(tǒng)計了高等數(shù)學課程2016—2017年度試卷的各題得分點的數(shù)據(jù)，結(jié)合該數(shù)據(jù)反映出當前課堂教學的現(xiàn)狀和問題.本文從課堂教學的教與學、數(shù)學概念的教學、計算能力的培養(yǎng)、可視化教學、理論課與習題課教學、作業(yè)和答疑六方面提出了筆者在提升高等數(shù)學課堂教學方面的認識和思考，給出了有效提升課堂教學的幾點建議.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學；課堂教學；質(zhì)量提升；改進措施

一、引 言

高等數(shù)學是理工科院校大部分專業(yè)學生的一門必修課程.通過學習本課程，學生可以掌握必要的數(shù)學知識和基本技能，為后續(xù)專業(yè)課程的學習提供必要的數(shù)學基礎(chǔ)和工具.通過學習本課程，還可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、數(shù)學建模能力、分析問題和解決問題的能力，從而提高其綜合素質(zhì).學生對高等數(shù)學知識掌握的好壞，不僅直接關(guān)系到后續(xù)課程的學習，而且對其思維的發(fā)展和提高都有著深遠的影響.因此，做好高等數(shù)學課程的課堂教學工作是非常重要的.本文結(jié)合教學實踐，分析高等數(shù)學課程課堂教學中存在的問題，總結(jié)該課程教學方面的幾點經(jīng)驗和體會，以期對提升高等數(shù)學課程的課堂教學質(zhì)量提供有益借鑒和參考.

二、高等數(shù)學課程的課堂教學現(xiàn)狀分析及改進

高等數(shù)學作為普通高校大多數(shù)專業(yè)學生的必修課之一，具有重要的基礎(chǔ)性地位.但該課程知識高度抽象且有著嚴密的邏輯性，致使許多學生未能通過期末考試而不得不參加重修.就中國民航大學2016—2017學年度第一學期而言，一年級本科生應(yīng)考人數(shù)為3 478人，參加重修的高年級學生的應(yīng)考人數(shù)為1 092人.重修人數(shù)占到新生人數(shù)的31.40%，雖然較2015—2016學年度第一學期的34.83%及2015—2016學年度第二學期的40%有所下降，但重修率依然很高.因而，不斷提高高等數(shù)學授課教師的課堂教學質(zhì)量不僅是教學本身的需要，也是降低重修率的主要途徑之一.本文將結(jié)合高等數(shù)學試卷知識點的得分率來分析該課程課堂教學中應(yīng)注意的事項，并討論多年教學實踐中的思考和改進措施.由于高等數(shù)學歷年出題結(jié)構(gòu)類似，本文僅以2016—2017學年度兩學期的期末試卷的得分點為例進行分析.

2016—2017學年度兩學期試卷計算題中單題最高分為8分，依次為7分和6分.本文把得0～2分視為學生未掌握該知識點，得3～4或者3～5分視為基本掌握，得5～6分或6～7分或6～8分視為掌握良好.知識點及得分情況如下：

由上述兩表可以看出，70%以上的一年級學生對微分學的直接計算問題掌握良好.在一元函數(shù)微分學的直接應(yīng)用上也表現(xiàn)不錯，掌握良好的占到了75.28%.但在多元函數(shù)微分學的應(yīng)用方面得分較差，未掌握的學生達到40.96%，掌握該部分內(nèi)容的學生僅有25.33%，反映出學生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力有待提高.在不定積分與定積分的計算及應(yīng)用方面得分情況差異較大，得分情況表明對于簡單的直接計算，學生學習良好；但對于一些稍微有點技巧的題目和定積分的應(yīng)用上，學生失分嚴重，掌握良好的學生僅分別占到53.05%及23.52%，這在很大程度上反映出學生對一些基本的計算技巧不熟練，計算能力不強.對應(yīng)的多元函數(shù)積分學的相關(guān)內(nèi)容，學生掌握良好的僅占一半左右.一方面，是由于部分學生未對定積分的內(nèi)容很好掌握，阻礙了其進一步的學習；另一方面，也源于學生對抽象出重積分，線面積分概念的具體物理問題理解不深，從而對概念缺乏足夠的認識，影響了對計算方法的掌握.學生在空間解析幾何、級數(shù)和微分方程的答題方面也反映出類似的問題.

綜上所述，針對學生的答題及得分情況反映出的對數(shù)學的概念理解不深、計算能力有待提高，綜合解決問題的能力還需要進一步培養(yǎng)等問題及多年的教學實踐，本文擬從高等數(shù)學課程課堂教學的教與學、數(shù)學概念的教學、計算能力的培養(yǎng)、理論課教學和習題課教學以及作業(yè)和答疑六個方面進行分析，提出筆者的見解并討論改進措施.

（一）課堂教學的教與學

課堂教學過程包括教師的教和學生的學兩方面的活動過程.教師不僅要教會學生知識，還要在這個過程中培養(yǎng)學生的各種能力，尤其是讓學生學會學習的能力.引導學生自學部分內(nèi)容并在學生精力允許的條件下為其提供一定量的參考書便于學生更好地理解和領(lǐng)會知識，是促進學生從學會知識到會學知識的良好途徑.目前大部分的數(shù)學課堂教學基本省略了讓學生自學的步驟，而采取教師全堂講授和偶爾學生練習相結(jié)合的教學形式.筆者近年來在課堂教學中對一些需要深刻理解的內(nèi)容采取了做提示、列問題，讓學生帶著問題自學的形式.例如，學習定積分的定義時，在講授了曲邊梯形面積的計算方法和步驟后，讓學生自學非均勻細長型構(gòu)件的質(zhì)量的計算.同時，提出如下問題：

A.非均勻細長型構(gòu)件的質(zhì)量的近似計算步驟是什么？

B.如何得到非均勻細長型構(gòu)件的精確質(zhì)量？

C.比較非均勻細長型構(gòu)件的質(zhì)量計算與曲邊梯形面積的計算方法與步驟的異同.

D.若知道非勻速直線運動物體在任一時刻的速度，可以計算其在一個時間段內(nèi)行駛的路程嗎？如何計算？哪些物理量的計算也可以采取這樣的方法和步驟？

學生帶著問題學習增加了學習的目的性，也提高了探索的興趣，同時對哪些實際問題可以用定積分來解決有了初步的認識，對相應(yīng)的解決方法和步驟有了進一步的了解.這樣的做法讓學生對特定概念的理解更深刻，有利于促進學生從學會到會學的轉(zhuǎn)變.但需要指出的是教師在遴選讓學生自學的內(nèi)容時要注意考慮到大多數(shù)學生的學習水平和能力，如果在一開始就讓學生自學定積分的定義，可能達不到預期的效果.

（二）數(shù)學概念的教學

學生對數(shù)學概念的理解不深刻、不透徹，解決實際問題的能力不強，與教師沒有重視具體問題的引入有關(guān).數(shù)學中的很多概念都是從具體的物理問題和幾何問題中抽象出來的，例如，向量的數(shù)量積和向量積、導數(shù)、定積分、重積分、線面積分、散度、旋度等.要讓學生較好地理解和掌握這些概念，明確這些概念的內(nèi)涵和外延，教師就必須弄明白相應(yīng)的物理和幾何模型，講清楚用數(shù)學表達式解決這些問題的思想、方法和步驟.只有這樣，學生才能對抽象的數(shù)學概念有比較深刻的認識，也才能熟練地運用概念去解決更為復雜的物理和幾何問題.例如，在講第二類曲面積分時，教師首先解釋清楚流量的概念，通過作圖或應(yīng)用動畫表現(xiàn)出單位時間內(nèi)不可壓縮流體流經(jīng)某一曲面指定方向的流量的計算思路，讓學生對具體的物理問題有一個感性的認識和清晰的認知，再推導第二類曲面積分所需要的形式.這樣學生對第二類曲面積分定義的理解會更深刻一些，再用同樣的方法解決磁通量、電通量或其他應(yīng)用問題時就不會感覺到困難.

（三）計算能力的培養(yǎng)

所以，要想培養(yǎng)學生良好的計算能力和熟練的計算技巧，需從深刻理解基本概念入手，并要求學生在理解的基礎(chǔ)上正確記憶數(shù)學公式和定理.反過來，對練習題目的計算又可以加深對數(shù)學基本概念的理解，對數(shù)學公式和定理的記憶和掌握.

（四）可視化的理論課教學

高等數(shù)學的知識高度抽象，而體現(xiàn)一個抽象現(xiàn)象或過程的最好辦法之一是賦予它直觀而現(xiàn)實的意義.可視化教學是利用圖形和動畫等可視化信息把抽象的概念、邏輯嚴密的證明、難以想象的空間圖像借助多媒體課件直觀化、具體化的一種教學方式.可視化教學能把眾多可視化的信息集于一體，向?qū)W生提供一個豐富多彩、生動友好、方便靈活的界面，使學生的各個感官能夠同時接收到教學信息，從而起到良好的教學效果.

在講授三重積分的計算中，常常需要畫出積分區(qū)域的圖形.例如，求球面x2+y2+z2=a2與圓柱面x2+y2=ax（a>0）所圍成的體積（指含在圓柱面內(nèi)的部分）.大多數(shù)學生見到這個問題一籌莫展，原因在于想象不出、畫不出積分區(qū)域的圖形，因而，無法確定各個變量的積分上下限，也無法利用三重積分計算該立體的體積.這就需要通過圖形和動畫來提供感性材料，豐富學生的感性認識和圖形思維.筆者用數(shù)學動畫來展現(xiàn)球面和圓柱面相交后交線及交面的形成過程，引來學生一片驚嘆聲.教學過程隨后得以順利進行.圖1與圖2為球面和圓柱面相交的動畫截圖.

在高等數(shù)學的教學中，合理運用圖形和數(shù)學動畫使“不可見對象變?yōu)榭梢妼ο蟆?，不僅可以豐富學生的感知，加強學生動態(tài)想象的基礎(chǔ)，也為更高級的抽象提供條件，更為抽象思維準備了足夠的感性材料.在積累運動與變化的感性資料方面，數(shù)學動畫有不可替代的獨特地位.從教學效果而言，也提高了教學質(zhì)量和效率.

（五）習題課教學

高等數(shù)學的教學內(nèi)容多、課時少，教學計劃中沒有安排單獨的習題解答課.教師通常在每一章教學內(nèi)容結(jié)束之后總結(jié)本章的內(nèi)容時給學生系統(tǒng)地講解部分典型的重難點習題，當課堂教學時間緊張時，這樣的教學時間還可能被壓縮掉.但不少學生認為習題課教學很必要和重要，并喜歡上習題課.因而，教師需要處理好理論課教學和習題課教學的時間分配，并保證習題課教學的時間.

教師在理論課教學中應(yīng)主要講授新知識、新思想和新方法，但講授習題課時就應(yīng)該把精力放在理論知識和方法的總結(jié)、歸納和提高上來，而不是簡單復述和羅列一章的概念、公式和定理，也不是隨意讓學生在課堂上做一些練習題.習題課教學應(yīng)是理論課教學的重要補充和完善.例如，在講級數(shù)中數(shù)項級數(shù)部分的習題課時，判別數(shù)項級數(shù)的斂散性是重點，針對具體的級數(shù)選取恰當?shù)臄可⑿耘袆e法是關(guān)鍵.但學生初學之后往往不能根據(jù)所給的級數(shù)很好地選擇適當?shù)膶彅糠?，這就降低了學生解題的速度和正確程度.對于這種情況，教師在復習常數(shù)項級數(shù)的審斂性方法時要重點強調(diào)適用不同審斂法的級數(shù)的特點，例如，遇到連乘、連除時，特別是級數(shù)通項中含有階乘項時考慮比值審斂法，級數(shù)通項含有乘方時考慮根值審斂法，正項級數(shù)各項有遞減性質(zhì)時考慮積分判別法等等.再如，上微分學的應(yīng)用中凹凸性部分的習題課時，要把重點放在結(jié)合例題歸納總結(jié)利用凹凸性、極值、單調(diào)性、中值定理、泰勒公式、極限等證明不等式的方法上來.這樣學生既鞏固了已學的知識，又學習了新的知識，還能進一步理清各章節(jié)之間的聯(lián)系.習題課教學的有無和好壞也是影響高等數(shù)學教學質(zhì)量的一個重要因素.

（六）作業(yè)和答疑

作業(yè)是學生鞏固知識、掌握技能，是教師檢驗學生學習情況的重要途徑，更是保證教學質(zhì)量的重要手段.高等數(shù)學每次課堂教學后都有一定量的作業(yè)用于學生練習和鞏固所學知識，筆者一般通過批三分之一量的作業(yè)來了解學生的學習情況，及時發(fā)現(xiàn)學生掌握不太好的內(nèi)容和課堂講得不清楚的地方，從而能夠在下次上課時及時補充和完善.另有三分之二的作業(yè)由助教協(xié)助完成，以保證每次作業(yè)都能夠及時得到批改.但由于作業(yè)要照顧到大多數(shù)學生的學習基礎(chǔ)，在作業(yè)數(shù)量和難度方面傾向于所講知識點的直接鞏固.所以，對于一些學習底子好，學習興趣濃的學生，這樣的作業(yè)量和作業(yè)水平可能無法滿足其需求，往年筆者采用了增加思考題的方式供學有余力的學生練習.筆者還考慮將在某些作業(yè)的后邊增加對應(yīng)學習內(nèi)容的應(yīng)用性思考題，特別是高等數(shù)學在其他課程中的應(yīng)用的相關(guān)題目.

此外，筆者每周都安排了固定的答疑時間和地點，但平時來答疑的學生屈指可數(shù).為更好地解決學生學習過程中的問題和困難，筆者借用微信的便捷平臺，與學生通過微信群的方式相互討論與解答問題，同時也鼓勵學生之間互幫互助.通過一個學期的實踐，反響很好，微信群內(nèi)學習氣氛熱烈.對于問題，會解決的學生上傳自己的解答過程，對解答有疑惑的學生就會提問，然后大家討論，討論無法解決時筆者再做出提示或解答.對于涉及重要知識點或難理解的題目，筆者通常采用錄制微型視頻的形式，在視頻解答的過程中，重點指出每個步驟的原因.建立微信群的方法不僅有助于服務(wù)到大多數(shù)有問題但不愛提問的學生，同時也讓一些問題越辯越明，加深了學生對數(shù)學知識的理解和鞏固.

三、其他影響課堂教學質(zhì)量的可能因素和建議

以下就可能影響課堂教學質(zhì)量的兩點因素提出建議，希望能引起相關(guān)部門和領(lǐng)導的關(guān)注，進而提出有效的改進措施.

（一）建議排課更均衡些

高等數(shù)學課程針對大學一年級學生開設(shè)，教學周期為一年.教學時間的安排相對固定，使學生能在特定的時間和地點接受特定的教學內(nèi)容，這樣的安排有助于建立和加強學生大腦中特定的神經(jīng)聯(lián)系，鞏固數(shù)學知識的記憶.第一學期大多數(shù)學生表現(xiàn)良好，作業(yè)按時完成，期末成績基本符合預期.以上學期為例，2016—2017學年度第一學期筆者授課班級的期末平均分為87.24，不及格率為3.97%.但第二學期的數(shù)學教學情況通常比第一學期差.學生按時完成作業(yè)的情況也不理想，一些學生甚至出現(xiàn)了抄襲的現(xiàn)象.除課程內(nèi)容本身難度大之外，一些學生還反映說第二學期課程排課較滿，沒有時間及時消化吸收課堂教學內(nèi)容，長此以往，數(shù)學就慢慢掉隊.經(jīng)查看部分學生的課表，有的幾乎從早到晚，從周一到周五都排滿了課，這樣的作息課表讓學生疲于上課，甚至對學習產(chǎn)生倦怠情緒，很大程度上影響了教學效果.但學生反映第一學期的課程很少，有時都到了無所事事的地步.所以，期望相關(guān)部門在課程的安排上再多些考慮，使每學期的課程數(shù)更為均衡些.課程安排的恰當將為教學質(zhì)量的提高提供有力保障.

（二）建議限定學生重修次數(shù)或重修課修習資格

學校從幫助學生學習的角度出發(fā)，允許學生反復重修同一門課，愿想是良好的.但在實施的過程中也要及時看到這樣的方式帶來的問題和弊端.筆者連續(xù)多年代重修班的高等數(shù)學課程，并每次考勤，基本情況是120人的班容量，到課率徘徊在50%～70%之間，而上學期重修生期末的缺考率高達35%，遠高于正常班學生的0.2%.此外，重修的學生數(shù)基本占到正常班學生數(shù)的近三分之一.高重修率、低到課率、高缺考率，體現(xiàn)出學生對重修課的隨意性態(tài)度.這無疑是教學資源的極大浪費.同時，由于需要大量教師參與重修課教學，這又進一步擠壓了高負荷下相關(guān)教師的備課和思考時間.因此，建議限定學生重修次數(shù)或重修課修習資格.

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