◇宋煜陽
“三角形內(nèi)角和”由“三角形”“內(nèi)角和”兩個(gè)具體概念構(gòu)成。既然是討論三角形內(nèi)角和,內(nèi)角自然成為重要的研究對(duì)象。而對(duì)于內(nèi)角概念,除浙教版教材有一個(gè)舉例描述(如圖1)外,大陸其他版本教材都沒有給出具體定義,對(duì)內(nèi)角概念只字未提。值得我們進(jìn)一步思考的是:需要出示內(nèi)角概念嗎?需要專門進(jìn)行內(nèi)角概念教學(xué)嗎?筆者認(rèn)為,無論是對(duì)三角形內(nèi)角和的理解還是應(yīng)用,都有必要進(jìn)行內(nèi)角概念的教學(xué)。
圖1
有人認(rèn)為,學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和時(shí)對(duì)內(nèi)角指認(rèn)困難不大,三角形內(nèi)角概念也無須專門出示和教學(xué)。其實(shí)不然,學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角的指認(rèn)如果局限于單個(gè)三角形,不涉及外角,指認(rèn)正確率確實(shí)較高。一旦這個(gè)三角形是由幾個(gè)小三角形拼組或由平面圖形分割而成,學(xué)生對(duì)它的內(nèi)角指認(rèn)正確率就會(huì)大大降低。
筆者抽取了所在區(qū)域城鄉(xiāng)8個(gè)班400名四年級(jí)學(xué)生,就圖2、圖3、圖4中△ABC的內(nèi)角標(biāo)注進(jìn)行了前測(cè)。其中,圖2正確率為76.8%,圖3正確率為37.3%,圖4正確率為35%,前測(cè)數(shù)據(jù)顯示多數(shù)學(xué)生在圖形拼組或分割中指認(rèn)三角形的內(nèi)角是存在困難的。以圖4為例,這種困難一方面表現(xiàn)為無法準(zhǔn)確指認(rèn)出拼組合成的三角形的內(nèi)角,如內(nèi)角∠BAC不是單個(gè)角,是由∠BAD、∠DAC拼組合成的;另一方面表現(xiàn)為無法解釋像∠ADB和∠ADC在△ABC內(nèi)部卻不是它的內(nèi)角。在圖形拼組或分割中指認(rèn)三角形內(nèi)角,繞不開“為什么它是(不是)內(nèi)角”的解釋,而解釋的依據(jù)恰恰就是內(nèi)角的定義。
圖2
圖3
圖4
人教版、蘇教版、北師大版等教材都編排了利用三角形內(nèi)角和來探索多邊形內(nèi)角和的教學(xué)內(nèi)容。如人教版教材中呈現(xiàn)了兩種方法(如圖5):方法一是用撕拼方法將四個(gè)內(nèi)角拼成周角,直觀得出結(jié)論;方法二是連接對(duì)角線將四邊形分割為兩個(gè)三角形,通過轉(zhuǎn)化得出四邊形內(nèi)角和。
圖5
實(shí)際教學(xué)顯示,學(xué)生最為常用的方法是以下兩種(如圖6、圖7)。多數(shù)學(xué)生能將四邊形分割為三個(gè)或四個(gè)三角形,卻在后續(xù)的推算中出現(xiàn)困難。因?yàn)槊鎸?duì)這兩種分割方法的推算,學(xué)生必須明確圖6構(gòu)成平角的三個(gè)角、圖7構(gòu)成周角的四個(gè)角不是四邊形的內(nèi)角,從而理解為什么要從多個(gè)三角形內(nèi)角總和中減去180°(360°)。也就是說,在四邊形內(nèi)角和整個(gè)探索過程中,一旦具有了轉(zhuǎn)化思路,內(nèi)角概念就成為解決問題的關(guān)鍵。
圖6
圖7
特級(jí)教師朱樂平、朱德江、顧志能、蘇明強(qiáng)等在“三角形內(nèi)角和”一課教學(xué)中均給出了內(nèi)角概念,開展了相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)。不過,這些名師在內(nèi)角概念描述上略有不同,主要有以下三種方式。
方式一,結(jié)合圖示舉例描述。如顧志能老師,教學(xué)中結(jié)合三角形圖形指出“三角形內(nèi)的三個(gè)角叫作內(nèi)角,每個(gè)內(nèi)角都有度數(shù),三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的和就叫三角形的內(nèi)角和”,在描述方式上與浙教版教材基本一致。
方式二,結(jié)合圖形內(nèi)外部給出內(nèi)角、外角概念。如蘇明強(qiáng)老師,教學(xué)中先結(jié)合長(zhǎng)方形的四個(gè)直角,引導(dǎo)學(xué)生討論得出“這些角都長(zhǎng)在這個(gè)圖形之內(nèi)稱為內(nèi)角”“如果角長(zhǎng)在圖形之外就稱為外角”;將長(zhǎng)方形的一條邊延長(zhǎng),找到它的外角;然后類比找出三角形的內(nèi)角與外角。
方式三,結(jié)合圖示給出直觀定義。如朱樂平老師,教學(xué)中結(jié)合三角形圖指出:“∠1、∠2、∠3都在三角形的內(nèi)部,我們稱它們是三角形的三個(gè)內(nèi)角。”又如朱德江老師,教學(xué)中結(jié)合已學(xué)平面圖形指出:“這些平面圖形中都有角,我們把圖形中相鄰兩邊的夾角稱為內(nèi)角?!?/p>
上述四位名師的教學(xué)中,盡管對(duì)三角形內(nèi)角描述方式上并不完全相同,但都采用了直觀的方式對(duì)內(nèi)角概念進(jìn)行了定義,并專門安排了概念教學(xué)。
綜上所述,內(nèi)角是三角形內(nèi)角和相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)不可或缺的重要概念,建議教材出示內(nèi)角概念,并開展必要的概念教學(xué)。在內(nèi)角概念教學(xué)中,建議給出直觀描述性定義,可以將內(nèi)角、外角概念對(duì)比呈現(xiàn)進(jìn)行區(qū)分,同時(shí)要加強(qiáng)對(duì)若干個(gè)三角形拼組或分割后內(nèi)角的指認(rèn)。