張立剛 段曉曉
一、拋物線天下一家
解析幾何中,方程y2=2px的圖形稱拋物線;函數(shù)中,二次函數(shù)y=ax2的圖象也稱拋物線.于是發(fā)問:這兩種拋物線是一家人嗎?
【例1】二次函數(shù)y=14x2+1的圖象如下:
試探索,平面上是否存在這樣的定直線l和定點(diǎn)F,使得圖象上任何一點(diǎn)P(x,y),到F的距離與到l的距離相等?
【解答】(配方法)由等式y(tǒng)=14x2+1兩邊乘以4并移項(xiàng):x2-4y+4=0,
兩邊同時(shí)加上y2,得x2+(y-2)2=y2,
兩邊開平方,同取算術(shù)根,得14x2=|y| (※)
用距離公式看待式子(※),此式表明:拋物線上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(0,2)的距離與到定直線y=0的距離相等.
【說明】二次函數(shù)y=14x2+1的圖象可視為:到定點(diǎn)(0,2)與定直線y=0的點(diǎn)的軌跡(集合).看來,二次函數(shù)的圖象與二次方程y2=2px的圖形是同一家人.
【另解】(標(biāo)準(zhǔn)方程法)由y=14x2+1得x2=4(y-4),
它是拋物線x′ 2=4y′ 2上移1個(gè)單位的結(jié)果,后者的焦點(diǎn)數(shù)P=2,焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線l′ 為y=-1.
上移1個(gè)單位后, 的焦點(diǎn)為F(0,2),準(zhǔn)線為y=0.
【說明】二次函數(shù)的圖象只是拋物線圖形的一種特殊形式(開口向上或向下),它統(tǒng)一于拋物線的共性之中:到定點(diǎn)(焦點(diǎn))和定直線(準(zhǔn)線)距離相等的點(diǎn)的軌跡(集合).
二、拋物線全族相似
拋物線y2=2x有些特殊,焦參數(shù)——焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離P=1,焦點(diǎn)到頂點(diǎn)距離為P2=12,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也是P2=12.
像單位圓一樣,有人稱這種拋物線為“單位拋物線”,
當(dāng)x=P2=12時(shí),得拋物線的垂直焦半徑|FP|=|y|=1.
垂直焦半徑端點(diǎn)P到頂點(diǎn)O的距離為|OP|=62,它是拋物線的一條特殊的頂點(diǎn)弦.
有了這些,我們可以研究拋物線族y2=2px與單位拋物線y2=2x的關(guān)系.
從作圖可知,拋物線y2=4x由拋物線y2=2x放縮而得,或者說它們相似,相似比λ=OTOQ=P=2.
不難發(fā)現(xiàn),拋物線族y2=2px中每條拋物線都與單位拋物線y2=2x相似,相似比為λ=P1=P,相似中心是頂點(diǎn)O.
三、通徑拋物線最短的焦徑
連結(jié)拋物線上任意兩點(diǎn)間的線段稱作拋物線的弦,過焦點(diǎn)的弦稱作拋物線的焦徑.
和圓不一樣,圓的直徑長(zhǎng)是個(gè)常數(shù),而拋物線的焦徑則是個(gè)變數(shù).
直觀地,拋物線的焦徑可以增到無窮大,因此,拋物線的焦徑無最大值.那么,拋物線的焦徑有最小值嗎?
【例3】設(shè)拋物線x2=2py的焦點(diǎn)為F(0,P2),P1P2是拋物線的一條焦徑,求|P1P2|的取值范圍.
【解答】(解析法)設(shè)P1P2的點(diǎn)斜式方程為y-P2=kx,
聯(lián)立 ,x2=2py
y-P2=kx
得x2-2pkx-p2=0→x1+x2=2pk,x1x2=-p2,
|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·(2pk)2+4p2
=(1+k2)·2p≥2p.
等號(hào)成立條件是k=0.
|P1P2|的最小值為2p,值域?yàn)閇2p,+∞).
【說明】當(dāng)k=0時(shí),焦徑P1P2垂直于y軸,成為拋物線的通徑,因此,通徑是拋物線最短焦徑.
四、焦半徑誰的增函數(shù)
連結(jié)拋物線(y2=2px)上一點(diǎn)和焦點(diǎn)的線段稱拋物線的焦半徑.注意,焦半徑不一定是焦徑的一半,除非焦徑是通徑.
直觀地,焦半徑的長(zhǎng)度可以增向無窮大,因此無最大值.那么,拋物線的焦半徑應(yīng)該有最小值.這個(gè)最小值是通徑的一半嗎?
【例4】探求拋物線y2=2px焦半徑的取值范圍.
【解答】設(shè)焦半徑的端點(diǎn)為P(x,y),則有|PF|=(x-p2)2+y2
利用y2=2px消去y,得|PF|=(x-p2)2+2px=(x+p2)2=p2+x .
當(dāng)x→∞,|PF|→∞;當(dāng)x=0時(shí),得|PF|的最小值為p2.
故y2=2px焦半徑的取值范圍為[p2,0).
【說明】拋物線y2=2px的焦半徑公式r焦=p2+x,表明焦半徑是橫坐標(biāo)x 的一次函數(shù),且在[0,+∞)上遞增.
特別地,x=p2時(shí),|PF|=p2+p2=p,即拋物線y2=2px的通半徑長(zhǎng)為p.
x=0時(shí),焦半徑得到最小值p2.
注意,在拋物線y2=-2px中,焦半徑是x 的減函數(shù):r 焦=p2-x.
同理,在x2=2py中,焦半徑是y 的增函數(shù):r 焦=p2+y;在x2=-2py中,焦半徑是y的減函數(shù):r 焦=p2-y.
(作者單位:山東省淄博第七中學(xué))