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        如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的研究

        2018-03-26 09:07:54黃清鵬
        關(guān)鍵詞:最值導(dǎo)數(shù)思路

        黃清鵬

        【內(nèi)容摘要】導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)和解決方法的掌握,不僅是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分,在高考中也是作為考試的考查重點(diǎn)。含參函數(shù)問題主要是以函數(shù)為載體,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具來解決這一類問題,這是一種方法,主要是考查函數(shù)性質(zhì),促進(jìn)學(xué)生深入研究和分析導(dǎo)數(shù)和更好地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)。因此,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,必須把握好最近幾年函數(shù)命題的規(guī)律,深入了解和分析導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,結(jié)合試題特點(diǎn)和命題趨向的同時(shí),要充分運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決含參函數(shù)問題。要把握好導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),根據(jù)導(dǎo)數(shù)來求出含參數(shù)函數(shù)問題中參數(shù)的取值范圍,這種求存在性問題是??嫉姆秶彩浅R?guī)的解題思路,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化將復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化,有利于將學(xué)生不熟悉、復(fù)雜的問題簡單化,進(jìn)而變?yōu)樗麄兪煜?、?guī)范和簡單的含參函數(shù)問題。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,對提高學(xué)生對導(dǎo)數(shù)性質(zhì)認(rèn)識和創(chuàng)新方法與思路去解決含參函數(shù)問題具有極強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

        【關(guān)鍵詞】含參函數(shù)問題導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)

        歷年高考試題中常常出現(xiàn)含參函數(shù)問題,這考察的不僅是學(xué)生對含參函數(shù)問題的解決能力,也是學(xué)生解題思路的一種培養(yǎng)。常用的解題方法就是導(dǎo)數(shù)求解法。實(shí)際上,學(xué)生對這類含參函數(shù)問題比較頭疼和恐懼,因?yàn)榇祟悊栴}涉及的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容多、面廣,具有極強(qiáng)的綜合性。學(xué)生面對這類問題時(shí),不知道如何確定參數(shù)范圍,也不知道所包括的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系是怎么來的。含參函數(shù)問題以函數(shù)為載體,對學(xué)生函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考察要求較為嚴(yán)格,也是近些年高考數(shù)學(xué)命題的趨向。實(shí)際上,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)函數(shù)問題,求參數(shù)取值范圍,作為探索性問題對于數(shù)學(xué)解題來說非常常見,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化來把握住數(shù)學(xué)思想,就可以將這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成為學(xué)生熟悉的、規(guī)范的和簡單的問題。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,就是基于不等式的結(jié)構(gòu)特征,把握好含參數(shù)不等式的存在性,適當(dāng)構(gòu)造函數(shù),來探討含參函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)就可以求出范圍。

        一、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的相關(guān)分析

        運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,對于學(xué)生來說既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),同時(shí)它作為高考的熱點(diǎn)又不得不進(jìn)行學(xué)習(xí)。這類問題的解決引起了師生廣泛的關(guān)注,主要是用來考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用能力,判斷學(xué)生對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想的掌握程度和理解能力。在一定程度上,這不僅是新課程理念的要求,也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識實(shí)際應(yīng)用的重要途徑,要充分把握含參函數(shù)問題的復(fù)雜性,有針對性地解決才可以。

        運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,要構(gòu)建科學(xué)的知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo),把握好教學(xué)重點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)思路。學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,就必須掌握“利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的方法,深入研究和理解這個(gè)過程中極值、最值之間的區(qū)別與聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想在問題中的滲透,在問題解決中培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力,促進(jìn)學(xué)生形成化歸意識,著力通過此類問題激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性潛能,深入學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合的一系列問題,并增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識簡約美的體驗(yàn)和感受,在極值、最值中不斷探索,激發(fā)學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”的興趣和信心。

        對于“含參函數(shù)”問題來說,主要思路包括以下集中:

        1、“已知函數(shù)的切線,利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的值”;

        2、“已知函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)范圍”;

        3、“已知函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)范圍”;

        4、“已知函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)范圍”;

        5、“利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)中的恒成立問題”。

        本文將選擇幾種進(jìn)行案例演示,充分闡述運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的思路。

        二、 已知函數(shù)切線求參數(shù)值問題

        對于已知函數(shù)切線求參數(shù)值這一類問題,學(xué)生要把握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義,要想方設(shè)法簡化原問題,促進(jìn)復(fù)雜問題簡單化,將這類問題變?yōu)閷W(xué)生自己熟悉的問題,再進(jìn)一步求解算出參數(shù)值。 但是,我們都知道數(shù)學(xué)深?yuàn)W,具有極強(qiáng)的復(fù)雜性,同一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以以千變?nèi)f化的形式出現(xiàn),形式多樣的參數(shù)問題同樣有千變?nèi)f化和靈活多變的方法來解決,對于這類技巧性較強(qiáng)的問題學(xué)生必須學(xué)會以不變應(yīng)萬變。拿到題目不要急于解題,而是深入研究和分析題目想考察的內(nèi)容,確定好研究思路,把握好題目的具體題設(shè)條件和不等式的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會從多個(gè)角度、方向?qū)@類問題進(jìn)行分析探討,才能選擇適當(dāng)?shù)姆椒?,從而快速?zhǔn)確地解答這類問題。數(shù)學(xué)解題中各種方法又是相互融合的,具有一定的關(guān)系,要摸清楚參數(shù)問題的考察內(nèi)容,掌握基本題型,綜合運(yùn)用各種解題方法,對學(xué)生問題分析和解決能力的培養(yǎng)也具有積極的作用。

        例1. (2016湖北高考模擬卷試卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象是曲線C,直線y=kx+1與曲線C相切于點(diǎn)(1,3).

        (1)求函數(shù)f(x)的解析式;

        (2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間;

        (3)求函數(shù)F(x)=f(x)-2x-3在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.

        解答:(1) ∵切點(diǎn)為(1,3),∴k+1=3,得k=2.∵f′(x)=3x2+a,∴f′(1)=3+a=2,得a=-1.則f(x)=x3-x+b.由f(1)=3得b=3.∴f(x)=x3-x+3.

        (2) 由f(x)=x3-x+3得f′(x)=3x2-1,令f′(x)=3x2-1>0,

        解得x<-33或x>33

        ∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞,-33),(33,+∞).

        (3) F(x)=x3-3x,F(xiàn)′(x)=3x2-3令F′(x)=3x2-3=0,得x1=-1,x2=1.列出x,F(xiàn)′(x),根據(jù)F(x)關(guān)系

        ∴當(dāng)x∈[0,2]時(shí),F(xiàn)(x)的最大值為2,最小值為-2.

        這是我們已經(jīng)知道了函數(shù)切線方程,相應(yīng)地我們就知道切線斜率,利用導(dǎo)數(shù)方法,主要是需要求出切點(diǎn)坐標(biāo),或者是利用導(dǎo)數(shù)方法求出曲線中的未知參數(shù),把握曲線其他性質(zhì)的同時(shí),就可以列出方程,進(jìn)一步求得切點(diǎn)坐標(biāo)和參數(shù)的值。

        三、 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題

        在數(shù)學(xué)中已知等式恒成立來求相關(guān)的參數(shù),這一類問題非常常見,廣泛出現(xiàn)于高中各類考試中,也深受高考命題專家“青睞”。我們在解答這類問題的過程中,要學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)知識對其巧妙求解,這也需要學(xué)生具有較高的導(dǎo)數(shù)思維和應(yīng)用意識。

        結(jié)束語

        實(shí)際上,利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題,主要思路是萬變不離其宗的,但是數(shù)學(xué)博大精深,同樣一個(gè)問題可以以千變?nèi)f化的形式出現(xiàn),但是只要掌握基本的方法和思路,就可以靈活多變的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決這一類問題。還需要把握好一個(gè)基本原則,就是將復(fù)雜的、我們不熟悉的含參函數(shù)問題簡單化,通過一定的思路變成我們熟悉的、常見的和簡單的問題,無論是哪種形式出現(xiàn),我們都可以快速解答求出答案。

        【參考文獻(xiàn)】

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        (作者單位:福建省南安市新僑中學(xué))

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