蘭淋海

福建省古田縣玉田中學(xué) (352200)

在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于美的事物總是比較容易接受的.數(shù)學(xué)和所有美的事物都存在著一定的聯(lián)系，數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的美能夠帶給人們一種美的享受，能夠全面培養(yǎng)人們的思辨能力以及理性思維.數(shù)學(xué)不但是一種趣味的推理演算，而且數(shù)學(xué)還有著嚴(yán)密的辯證性和邏輯性、高度的抽象性以及廣泛的應(yīng)用性等.從審美角度上看，數(shù)學(xué)中充滿著大量的美，教學(xué)中運(yùn)用恰當(dāng)將收到事半功倍的教學(xué)效果.因此，每位數(shù)學(xué)教師都要將數(shù)學(xué)美展示給學(xué)生，以期達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo).

一、數(shù)學(xué)美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的美.圖形的優(yōu)美，計(jì)算公式的簡(jiǎn)潔美就能直接給人以美的享受.數(shù)學(xué)方法的靈巧(簡(jiǎn)潔、類比、歸納、靈活等)、數(shù)學(xué)思想的精煉與抽象、邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)及數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的多種聯(lián)系，等等，都無(wú)不呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美的魅力！在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理地挖掘和利用數(shù)學(xué)美的內(nèi)容，符合新課標(biāo)下“生本課堂”的要求，對(duì)于當(dāng)前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革將起到推動(dòng)的作用.在新課標(biāo)下，把數(shù)學(xué)美的欣賞同學(xué)生學(xué)習(xí)的態(tài)度情感、信心的培養(yǎng)有效結(jié)合起來，必然會(huì)對(duì)當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到“潤(rùn)滑”的效果.總的來說，數(shù)學(xué)美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的地位，是一種全新的教學(xué)理念.

數(shù)學(xué)美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的作用和意義，單就下面幾點(diǎn)可見一斑.

1.揭示數(shù)學(xué)美是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的一種動(dòng)力.

愛美之心人皆有之，學(xué)生對(duì)美的事物總是比較感興趣的.“培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是長(zhǎng)期以來許多教育工作者普遍關(guān)注的一個(gè)話題.興趣是一種不竭的動(dòng)力，它能激發(fā)人全身心地投入到一件事物當(dāng)中而樂此不?！?高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容是小學(xué)初中無(wú)可對(duì)比的，其廣度與深度的提升是質(zhì)的飛躍.為了適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)需要，教師引導(dǎo)高中學(xué)生通過對(duì)于數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)美的真諦，激發(fā)起對(duì)于美的追求和欣賞，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極的情感行為，將學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成為一種主動(dòng)的行為，有利于激發(fā)學(xué)生努力學(xué)好高中數(shù)學(xué).

2.數(shù)學(xué)美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有文化功能，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的精神觀.

數(shù)學(xué)美的文化功能是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中積淀下來的，具有繼承性和傳遞性，是一種經(jīng)驗(yàn)感受的累積.在高中數(shù)學(xué)教育中，引導(dǎo)高中生們感受數(shù)學(xué)美，能夠產(chǎn)生一種特殊的經(jīng)驗(yàn)，積累起良好的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，有助于推動(dòng)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的良好掌握.

3.“以美啟真”是數(shù)學(xué)美方法功能的核心.

運(yùn)用美的思維啟發(fā)人們探索數(shù)學(xué)真理，運(yùn)用美的方式去找尋數(shù)學(xué)規(guī)律、解答數(shù)學(xué)問題.高中生們通過對(duì)數(shù)學(xué)美的感悟，形成固定的數(shù)學(xué)思維方法，是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).

4.在新課標(biāo)中，明確指出要在教學(xué)中構(gòu)建起生本課堂，營(yíng)造出美好的人文課堂環(huán)境.

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入數(shù)學(xué)美恰恰是生本課堂的具體體現(xiàn)，有助于啟迪他們的智慧，開發(fā)出潛在的能動(dòng)性和創(chuàng)造力，對(duì)于課堂教學(xué)有著非常重要的意義.學(xué)生通過追求數(shù)學(xué)美，發(fā)揮幾何想象能力，開創(chuàng)思維方向，增強(qiáng)創(chuàng)新能力；學(xué)生敢于打破思維定勢(shì)，另辟蹊徑，找到最佳解題方案.

二、“生本課堂”下的數(shù)學(xué)美

生本課堂要求“以學(xué)生的發(fā)展為本”，全面構(gòu)建起和諧、美好的人文課堂.作為數(shù)學(xué)教師，要善于發(fā)掘數(shù)學(xué)中的美，加強(qiáng)數(shù)學(xué)的理性與感性的融合，積極地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的審美意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)體會(huì)數(shù)學(xué)的美，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

1.數(shù)學(xué)內(nèi)容和諧美

早在兩千多年前，畢達(dá)哥拉斯就提出了這樣的觀點(diǎn)：美是和諧與比例，這恰恰符合了數(shù)學(xué)當(dāng)中的一些規(guī)律.在數(shù)學(xué)內(nèi)容龐大的知識(shí)體系內(nèi)部，數(shù)學(xué)的和諧美始終貫穿其中，具體體現(xiàn)在各個(gè)定理和定義以及數(shù)、式、形之間，多個(gè)知識(shí)塊之間既自成體系、互相獨(dú)立，又由于一定的邏輯關(guān)系而互相派生、互相貫通，具體體現(xiàn)為高度的和諧統(tǒng)一.以元素與集合的關(guān)系為例：x∈A?x?UA，x∈UA?x?A，??A≠?.這些公式之間不但體現(xiàn)出知識(shí)的結(jié)構(gòu)美，更加蘊(yùn)含著高度的和諧統(tǒng)一美，引導(dǎo)學(xué)生們發(fā)覺數(shù)學(xué)中的和諧美，能夠更好地幫助他們接受公式，幫助他們更好地記憶.

2.數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)美

不同的數(shù)學(xué)問題之間往往存在著某種關(guān)聯(lián)，它們是能夠?qū)崿F(xiàn)溝通及化歸的.在日常解答一些數(shù)學(xué)問題中，采用單一的常規(guī)方法往往難以有效解決，然而，充分地運(yùn)用各種方法就能夠使得問題的條件以及結(jié)論在新的協(xié)調(diào)形式下實(shí)現(xiàn)互相溝通，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而快速地解決問題.以下面這個(gè)數(shù)學(xué)題目為例.

已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+1)=f(x-1)；②當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=x2，則方程f(x)=lgx解的個(gè)數(shù)是( ).

A.5B.7C.9D.10.

解析：由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù).又f(x)=lgx，則x∈(0，10]，畫出兩函數(shù)圖像如圖1，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù).由圖像可知共9個(gè)交點(diǎn).故選C.

圖1

解題過程中遇到復(fù)雜函數(shù)(如指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角)討論方程解的個(gè)數(shù)，其基本解題途徑是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù).

上面這個(gè)例題是依照題目自身所呈現(xiàn)出的結(jié)構(gòu)美而產(chǎn)生出解題思路，運(yùn)用線段圖，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓高中生們欣賞到了問題的形式美，也由此產(chǎn)生出的數(shù)學(xué)美感激發(fā)起新的解題思路即常用的數(shù)形結(jié)合方法；運(yùn)用不同的方法解答數(shù)學(xué)難題，開發(fā)出一種創(chuàng)造性的思維.

3.數(shù)學(xué)思維活力美

生本課堂教學(xué)的目標(biāo)就是培養(yǎng)并拓展高中生的思維能力，提升數(shù)學(xué)素質(zhì).解答數(shù)學(xué)問題的過程中，就是將豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界中，培養(yǎng)起高中生們的探究能力，猜測(cè)及試驗(yàn)解題思路的過程，高中生的數(shù)學(xué)思維能力能夠得到全面的發(fā)展.所以一個(gè)數(shù)學(xué)問題能夠成功地得到解決，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，對(duì)問題實(shí)施解剖和分析，對(duì)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，由普遍性推向特殊性，或由特殊到一般，對(duì)于多種數(shù)學(xué)信息實(shí)施篩選、加工及構(gòu)造，最后將知識(shí)連接起來，運(yùn)用獨(dú)特的方法，構(gòu)建起富有活力及生機(jī)的全新方法體系，是一種充滿活力的創(chuàng)造性思維過程，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的活力美.例如，筆者在人教A版《數(shù)學(xué)必修3》的循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)1+2+…+100的程序框圖后，提出了以下變式：12+22+32+…+1002；2+4+6+…+200；1×2×3×…×100；④1+2+3+…+n.讓學(xué)生學(xué)會(huì)開動(dòng)腦筋，由個(gè)案的循環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)推廣到一類的設(shè)計(jì)，需要學(xué)生對(duì)循環(huán)體、變量的初始值以及控制循環(huán)條件作縝密的思考，最后到一般性的設(shè)計(jì)(n的未確定)需在終端框后增加輸入n的輸入框，學(xué)生的思維活躍了起來，對(duì)于布置的類似的循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖：(n>2且n∈N),1×3×5×…×99等，學(xué)生躍躍欲試進(jìn)行嘗試完成作業(yè)，思維火花迸發(fā)出光芒.

三、構(gòu)建“生本課堂”，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)美

“生本課堂”是新課標(biāo)下對(duì)于教育提出的更高要求，是對(duì)全新教學(xué)理念的一種貫徹.在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要全面構(gòu)建起人文和諧的課堂環(huán)境，不斷滲透數(shù)學(xué)美的理念，幫助高中生們感受到數(shù)學(xué)美的同時(shí)更好地掌握到豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).

1.展示凸顯外在美

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，外在美具體表現(xiàn)在一些數(shù)學(xué)概念、公式以及幾何圖形的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、對(duì)稱性上，具有令人悅目的美.結(jié)合當(dāng)前的教材及情境，積極發(fā)掘圖形的變換、圖形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的外在美.此外，生活當(dāng)中的一些實(shí)物也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)外在美，如圓柱形筆筒，長(zhǎng)方體紙盒，精致藝術(shù)品，宏偉建筑等等，都是數(shù)學(xué)中的一些幾何圖形和立方體.這些都是展開數(shù)學(xué)美教育的最好素材.

2.挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)在美

數(shù)學(xué)自身存在著內(nèi)在美，具體表現(xiàn)為完備的體系、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?、奇異的思維、巧妙的解題方法、精髓的思想.數(shù)學(xué)的內(nèi)在美令人賞心悅目.

在高中數(shù)學(xué)教育中，應(yīng)當(dāng)主動(dòng)引導(dǎo)高中生感悟數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)命題的美學(xué)價(jià)值；在具體的解題過程中，從多個(gè)角度找尋解答難題的方法，讓高中生們感受到數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美、靈活和精巧，充分地向他們展示出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

3.打造出美的教學(xué)情境

生本課堂最根本的要求就是打造出美的教學(xué)情境，讓學(xué)生們能夠在一個(gè)輕松的環(huán)境中自由地學(xué)習(xí).美的教學(xué)情境包含物質(zhì)環(huán)境和心理環(huán)境.物質(zhì)環(huán)境比如整潔的教室環(huán)境，它們有助于高中生保持良好的心態(tài)，進(jìn)入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)并美化心靈；心理環(huán)境比如師生間、同學(xué)間的和諧關(guān)系，有助于構(gòu)建起一個(gè)美的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體”.

此外，還可以安排一些很好的數(shù)學(xué)游戲，從游戲中體會(huì)到數(shù)學(xué)的思維方式，感悟到數(shù)學(xué)的美，學(xué)習(xí)到更多的數(shù)學(xué)知識(shí).

4.解題中體會(huì)數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)題包含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題的思維方式，展現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美.通過多種形式的數(shù)學(xué)解題，讓學(xué)生從中領(lǐng)悟到：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和諧美和統(tǒng)一美，進(jìn)而培養(yǎng)起高中生對(duì)于數(shù)學(xué)的鑒賞能力以及崇高的審美情操.

在解題中，充分地利用圖形，找到突破口.

圖2

例如，如圖2，在等腰直角△ABC中，M是腰AC的中點(diǎn)，過直角頂點(diǎn)C作CD⊥BM于D，CD的延長(zhǎng)線交AB于E.求證:∠AME=∠CMB.

證法一:過點(diǎn)A作AF⊥AC，交CE的延長(zhǎng)線于F，如圖所示.

∵在ΔBCM中，∠BCM=90°，CD⊥BM，∴∠1=∠2=90°-∠ACD.在ΔBCM與ΔCAF中，∵∠1=∠2，BC=CA，∠BCM=∠CAF=90°，∴ΔBCM?ΔCAF(ASA)，∴MC=FA，∠CMB=∠F.∵M(jìn)C=MA，∴MA=FA.∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°,且∠CAF=90°,∴∠MAE=∠FAE=45°.又AE=AE，∴ΔAEM?ΔAEF(SAS)，∴∠AME=∠F，∴∠AME=∠CMB.

點(diǎn)評(píng)：證明中充分地利用圖形的特征，巧妙地構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等的性質(zhì)，完美地通過角的等量代換得到結(jié)論.體現(xiàn)了圖形的美的變換，學(xué)生無(wú)不為之拍案叫好！

證法二：如圖3，設(shè)∠AME=α，∠CMB=β，則∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=180°-(∠ACE+∠A)=45°+β.在△AEM和△ACE中，由正弦定理，得AE∶sinα=AM∶sin(135°-α)①,AE∶sin(90°-β)=AC∶sin(45°+β)②,

圖3

點(diǎn)評(píng)：證明中利用圖形的特殊角和邊的數(shù)量關(guān)系，在包含待證相等角的兩個(gè)三角形中分別應(yīng)用正弦定理，轉(zhuǎn)化為只含這兩個(gè)角的正弦的關(guān)系式，再通過化簡(jiǎn)式子得到這兩角的正切關(guān)系式，而其中一個(gè)角的正切值是可以直接計(jì)算出的，這樣就會(huì)算出另一個(gè)角的正切值，從而發(fā)現(xiàn)它們相等，再由正切值相等及角的取值范圍，充分得證結(jié)論.由此感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和掌握好三角函數(shù)的運(yùn)算帶來的直截了當(dāng)?shù)拿篮玫臄?shù)學(xué)解題思路，學(xué)生心中美滋滋的.

圖4

證法三：以直角頂點(diǎn)C為原點(diǎn)，兩條直角邊CA、CB所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖4所示.設(shè)直角邊長(zhǎng)為2a(a>0)，則C(0,0)，A(2a，0)，M(a，0)，B(0，2a).

由以上各點(diǎn)坐標(biāo)，得下列向量的坐標(biāo)：

點(diǎn)評(píng)：證明中通過建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出直角邊長(zhǎng)，則A、B、C、M四點(diǎn)的坐標(biāo)都可由已知給出，只要求出點(diǎn)E的坐標(biāo)就可以利用向量求出待證相等的角的余弦值，從而發(fā)現(xiàn)它們的余弦值相等，故得證.其中建立兩直線CD與AB的方程是求點(diǎn)E的坐標(biāo)的首要任務(wù).顯然，學(xué)生已具備求直線方程及解方程組的能力及運(yùn)用向量工具的本領(lǐng)，證法中反映了數(shù)學(xué)綜合性的內(nèi)在美，學(xué)生從中也獲得了思維的拓展?jié)M足感.

通過這一不同方法的證題過程中，充分地將數(shù)學(xué)的多種解法展現(xiàn)給學(xué)生，讓他們感悟到數(shù)學(xué)思維的角度美、解題方法的多樣美、數(shù)學(xué)公式的潛在美和數(shù)形結(jié)合的和諧美等.這樣必然會(huì)激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.通過數(shù)學(xué)美的教學(xué)，全面構(gòu)建起生本課堂，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

高中數(shù)學(xué)“課標(biāo)”明確指出數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值.數(shù)學(xué)是一門蘊(yùn)含了豐富美學(xué)的學(xué)科，幾乎覆蓋了所有的美學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)中的美形式多樣，如圖形和曲線的對(duì)稱美、數(shù)學(xué)內(nèi)容和諧美、數(shù)學(xué)思維的活力美、解題途徑簡(jiǎn)潔美等等，都令人賞心悅目.在高中數(shù)學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)美的教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生們對(duì)美的感知，樹立起良好的審美觀念，在美中接受到豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于教師更好地完成新課標(biāo)的教學(xué)目標(biāo).