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        重要不等式在初中聯(lián)賽題中的應(yīng)用

        2018-03-23 09:23:14林秋林
        關(guān)鍵詞:易知正整數(shù)一元二次方程

        林秋林

        廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123)

        1.求最值

        例1 已知非負實數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,則t=2xy+yz+2zx的最大值為( ).

        (2014年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

        例2 若實數(shù)x,y滿足x3+y3+3xy=1,則x2+y2的最小值為__________.(2017年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

        例3 已知實數(shù)x,y滿足關(guān)系式xy-x-y=1,則x2+y2的最小值為( ).

        (2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

        2.限定范圍求值

        例4 已知正整數(shù)a,b,c滿足:1

        (2014年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

        解析:不妨設(shè)(a,c)=d,其中a=da1,c=dc1且(a1,c1)=1.則由b2=ac=d2a1c1,可知d2|b2,即d|b.故設(shè)b=db1,從而b1=a1c1.又由a+b+c=111,可得d(a1+b1+c1)=111.故d|111,易知a1+b1+c1>3,于是d=1或d=3.

        此時a=m2=1與a>1矛盾,舍去;解一元二次方程x2-12x+33=0,可知其無整數(shù)根,故舍去.

        例5 已知實數(shù)a,b,c,d滿足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.

        (2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

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