劉 禹，陳 浩，張麗敏

(1. 上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海 201109；2. 上海航天控制技術研究所，上海 201109)

0 引言

星光折射導航是一種很有潛力的自主導航[1-2]方法。其利用被大氣折射的星光，建立與地球的幾何關系，以此來間接敏感地平。由于它抗干擾能力強、戰(zhàn)時生存能力強和提供的信息不隨時間漂移，逐漸被國內(nèi)外所關注。

同樣作為一種自主導航方法，間接敏感地平的方法解決了直接敏感地平的方法中，由地球表面模糊性導致的低精度問題[3]。但是，由于導航方法對大氣密度模型和折射星的特殊需求，帶來了如何精確建立大氣密度模型以及如何有效選取和捕獲折射星的問題[4]。

近年來，國內(nèi)對星光折射導航問題也做了一些研究。文獻[5]中在視場內(nèi)可觀測星數(shù)概率分布模型基礎上，得到了折射星數(shù)的概率分布模型。文獻[6]中考察了不同觀測方式對導航系統(tǒng)的可觀性影響，并找到了最佳的折射星觀測方向。文獻[7]中采用改進的三角匹配算法結合恒星星表確定了航天器的在軌位置和速度。文獻[8]中提出了一種基于雙星敏感器實現(xiàn)高精度折射星識別和折射角獲取的自主導航系統(tǒng)方案。文獻[9-10]中建立了一種自適應連續(xù)高度的星光折射觀測模型。文獻[11]中建立了一種新的連續(xù)高度星光大氣折射模型并提出了一種新的導航算法。

綜上所述，本文為了盡可能模擬飛行器的在軌運行狀態(tài)，仿真研究中，星光折射導航可以采用模擬星圖以及星圖識別的方法獲取折射星。然而，對導航算法的研究和評估，僅需要得到滿足星光折射幾何關系的折射星，可以用構造折射星的方法來避免對星圖匹配等復雜方法的需求，以此簡化仿真研究。而且，由于構造星場的特殊性，可以研究折射星之間的角距和觀測持續(xù)時間對導航的影響。

1 星光折射天文導航原理

當星光穿過大氣時，會向地心偏折。從航天器上觀測的折射光線相對于地球的高度稱為視高度ha；實際折射光線相對于地球的高度略低于ha，稱為折射高度hg，如圖1所示。

圖1 星光折射幾何關系Fig.1 Starlight refraction geometry

在航天器上裝載兩臺星敏感器，并用它們同時觀測兩顆星，一顆星的星光穿過大氣層，而另一顆的星光未經(jīng)大氣層折射。通過星敏感器觀測并查閱星庫，獲得穿過大氣層的星光相對原星光方向折射的角度，稱為星光折射角γ[12]。由星光折射角與大氣密度的關系，再依據(jù)大氣密度模型，可以精確地確定折射高度hg，它反映了航天器與地球之間的幾何關系。在基于航天器軌道動力學方程和對天體的量測信息基礎上，利用非線性卡爾曼濾波方法可以精確估計航天器的位置和速度。

2 構造折射星場的方法

為盡可能減少不確定因素，如對流層中水汽及氣溶膠等影響，折射星應選取星光穿過大氣層20～50 km之間的恒星。大氣層的這段范圍屬于平流層，平流層溫度變化緩慢，而且穿過該層大氣的星光，折射角大小適中，適宜觀測。

2.1 星光折射導航算法分析

由圖1中幾何關系可以得到視高度ha的表達式

(1)

式中：ha為視高度；rs為地心到航天器的位置矢量,rs為其大??；u=|rs·us|且us為折射星光未折射前的星光方向矢量；γ為星光折射角；Re為地球半徑；a是個小量。

式(1)將在導航時作為量測方程，而其中除了未知的位置矢量，折射星光未折射前的星光方向矢量us也不能輕易給出。在實際導航時，us是通過星敏感器匹配星圖得到的。然而，在仿真研究中，要模擬星圖匹配的過程工作量很大，如果僅要研究導航算法，可以利用圖1中的幾何關系構造星場簡單地得到us。

2.2 構造折射星場

在實驗研究中，進行星光折射導航計算機仿真研究時，可以通過構造折射星場進行導航，這種方法簡單且實用。下面介紹一種構造折射星場的方法。

因為人為構造的特點是在滿足條件的范圍內(nèi)任意選擇，所以可以選擇一些位置特殊的星作為折射星。由于在25 km處的平流層大氣密度較平流層中其他位置的密度更加穩(wěn)定，本節(jié)中構造的折射星的折射高度均設定為25 km。仿真中假設折射高度25 km處大氣密度ρg為常值，且取ρg=42.937 g/m3。由于星光折射角γ和折射高度處大氣密度ρg直接相關，那么γ也為常值，即

(2)

式中：k(λ)為散射參數(shù)，僅與光波波長λ有關；H為密度標尺高度。

同樣，視高度ha也為常值，并作為觀測方程的標稱值

ha=hg+k(λ)ρgRe

(3)

從航天器向地球看去，折射高度為25 km的折射星分布在一個圓上，該圓的圓心在航天器與地心的連線上，如圖2所示。

圖2 星光折射高度25 km觀測圖Fig.2 Observation at a certain tangent height of 25 km

那么星光矢量方向與正Xo軸的夾角為β=α-γ，星光矢量方向在輔助坐標系下的坐標為(cosβ,0,-sinβ)。將其轉換到慣性坐標系下，便可得到未折射的星光方向矢量us。

輔助坐標系向慣性坐標系的轉換矩陣為

COI=RZo(-Ω)RXo(-i)RZo(-u)

(4)

式中:Ω為升交點赤經(jīng)；i為軌道傾角；u為緯度幅角；RZo(-Ω)表示繞Zo軸順時針旋轉角度Ω，以此類推。

進行星光折射導航，由文獻[6]，至少需要同時觀測到3顆折射星，才能保證系統(tǒng)完全可觀。在得到過A點的折射星的位置后，可以通過在輔助坐標系下將其繞Xo軸分別順時針和逆時針旋轉角度θ，得到其他兩顆折射高度為25 km的折射星。假設A點在輔助坐標系下坐標為A，則B點和C點在輔助坐標系下分別表示為：B=RXo(θ)·A，C=RXo(-θ)·A。鑒于實際中，星敏感器視場有限，θ可以取較小的值(如5°)。

由于該構造星場的方法由星光折射幾何關系直接推導得來，在不考慮星光折射幾何模型即式(1)本身的誤差時，該構造方法并未給星光折射導航帶來誤差。

3 建模與仿真

本節(jié)用構造的折射星場進行星光折射導航仿真研究，以此來驗證其可行性。本次仿真采用擴展卡爾曼濾波(expanded Kalman filter, EKF)算法進行導航解算。

3.1 航天器軌道運動的狀態(tài)方程

航天器在運行過程中受到諸多攝動影響，包括地球非球形攝動、大氣阻力攝動、三體攝動和光壓攝動，其中地球非球形攝動項起主導作用。在協(xié)議天球坐標系中，建立描述航天器運動的系統(tǒng)方程為

(5)

式中：X=[xyz]T和V=[vxvyvz]T分別為飛行器的位置矢量和速度矢量；f為攝動加速度；wv為系統(tǒng)噪聲。

3.2 仿真及結果分析

將式(1)作為量測方程，式(5)作為狀態(tài)方程，兩式聯(lián)立作為卡爾曼濾波方程。

3.2.1 仿真條件

航天器軌道參數(shù)取為：長半軸a=504.98 km，偏心率e=2×10-4，軌道傾角i=45°，升交點赤經(jīng)Ω=225°，緯度幅角u=135°，真近點角f=90°。

取仿真步長為0.2 s，n=3，θ=5°和-5°。每個軌道周期能同時觀測到3顆折射星20次，每次持續(xù)觀測5 s，記觀測時間為5 s，其余時間用慣導遞推代替星光折射導航。具體體現(xiàn)為：設定觀測折射星的周期間隔為280 s，其中的5 s用星光折射導航，其余275 s用慣導遞推進行導航。

仿真過程中，由于實時構造折射星，在一個軌道周期內(nèi)，任意兩個仿真時刻的折射星都是不同的。除選定星光過A點的折射星，其他兩顆星通過繞Xo軸旋轉角度±θ得到。

3.2.2 仿真結果

圖3和圖4分別為在3個軌道周期內(nèi)仿真得到的3軸位置和速度誤差。由圖可見，每隔一段時間，當能觀測到3顆折射星時，星光折射導航會對慣導遞推的數(shù)據(jù)進行修正。濾波收斂后得到的單軸位置誤差小于136 m，單軸速度誤差小于0.83 m/s。

圖3 位置估計誤差Fig.3 Estimation error of position

圖4 速度估計誤差Fig.4 Estimation error of velocity

3.2.3 仿真分析

3.2.2節(jié)驗證了構造星場的有效性，下面研究θ值和觀測時間對導航的影響。

減小|θ|的值時發(fā)現(xiàn)，當|θ|≤1°時，超調(diào)量較大。當|θ|減小到0.01°時，雖然收斂速度受到影響，但在觀測到5次折射星后收斂。而當|θ|減小到0.001°也即3.6″，導航發(fā)散?？梢钥闯觯攦深w折射星之間的角距大小接近于星敏的精度時，量測相對誤差太大，導航發(fā)散。所以，在實際進行導航時，對于這兩顆構型不好的星，應該剔除其中一個。綜上所述，θ值不能接近于星敏感器的精度，理論上越大越好，但也受限于星敏感器的視場。圖5所示為|θ|=0.01°，觀測時間為5 s時的三軸位置誤差。

圖5 位置估計誤差(|θ|=0.01°)Fig.5 Estimation error of position (|θ|=0.01°)

當減小觀測時間時，從5 s減小到1 s，超調(diào)量也較大，但在觀測到3次折射星后導航收斂。當減小到0.8 s時，觀測到9次折射星后導航收斂，且3軸位置誤差小于139 m。再次減小觀測時間到0.6 s及以下時，導航發(fā)散。這說明導航的收斂速度很快，只需持續(xù)觀測到3顆折射星的時間大于等于0.8 s就能進行導航。圖6所示為|θ|=5°，觀測時間為0.8 s 時的三軸位置誤差。

圖6 位置估計誤差(觀測時間0.8 s)Fig.6 Estimation error of position (observation time is 0.8 s)

4 結束語

本文對星光折射導航算法進行分析，設計了一種構造折射星場的方法。利用該折射星場成功地進行了計算機仿真試驗，避免了在仿真中使用星圖模擬與匹配等復雜算法。仿真發(fā)現(xiàn)，觀測到的折射星之間的角距接近于或小于星敏感器的精度時，導航發(fā)散；當觀測時間大于等于0.8 s時，可以進行導航，并且得到的3軸位置誤差小于139 m。然而，本文中構造的折射星場只能用于仿真研究，在實際觀測時，不可能每一時刻都能觀測到3顆折射星，接下來的研究要更加注重于觀測折射星的方案以及分析實際使用星光折射導航時可能遇到的問題。

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