劉 禹，陳 浩，張麗敏

(1. 上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109；2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

星光折射導(dǎo)航是一種很有潛力的自主導(dǎo)航[1-2]方法。其利用被大氣折射的星光，建立與地球的幾何關(guān)系，以此來間接敏感地平。由于它抗干擾能力強(qiáng)、戰(zhàn)時(shí)生存能力強(qiáng)和提供的信息不隨時(shí)間漂移，逐漸被國(guó)內(nèi)外所關(guān)注。

同樣作為一種自主導(dǎo)航方法，間接敏感地平的方法解決了直接敏感地平的方法中，由地球表面模糊性導(dǎo)致的低精度問題[3]。但是，由于導(dǎo)航方法對(duì)大氣密度模型和折射星的特殊需求，帶來了如何精確建立大氣密度模型以及如何有效選取和捕獲折射星的問題[4]。

近年來，國(guó)內(nèi)對(duì)星光折射導(dǎo)航問題也做了一些研究。文獻(xiàn)[5]中在視場(chǎng)內(nèi)可觀測(cè)星數(shù)概率分布模型基礎(chǔ)上，得到了折射星數(shù)的概率分布模型。文獻(xiàn)[6]中考察了不同觀測(cè)方式對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀性影響，并找到了最佳的折射星觀測(cè)方向。文獻(xiàn)[7]中采用改進(jìn)的三角匹配算法結(jié)合恒星星表確定了航天器的在軌位置和速度。文獻(xiàn)[8]中提出了一種基于雙星敏感器實(shí)現(xiàn)高精度折射星識(shí)別和折射角獲取的自主導(dǎo)航系統(tǒng)方案。文獻(xiàn)[9-10]中建立了一種自適應(yīng)連續(xù)高度的星光折射觀測(cè)模型。文獻(xiàn)[11]中建立了一種新的連續(xù)高度星光大氣折射模型并提出了一種新的導(dǎo)航算法。

綜上所述，本文為了盡可能模擬飛行器的在軌運(yùn)行狀態(tài)，仿真研究中，星光折射導(dǎo)航可以采用模擬星圖以及星圖識(shí)別的方法獲取折射星。然而，對(duì)導(dǎo)航算法的研究和評(píng)估，僅需要得到滿足星光折射幾何關(guān)系的折射星，可以用構(gòu)造折射星的方法來避免對(duì)星圖匹配等復(fù)雜方法的需求，以此簡(jiǎn)化仿真研究。而且，由于構(gòu)造星場(chǎng)的特殊性，可以研究折射星之間的角距和觀測(cè)持續(xù)時(shí)間對(duì)導(dǎo)航的影響。

1 星光折射天文導(dǎo)航原理

當(dāng)星光穿過大氣時(shí)，會(huì)向地心偏折。從航天器上觀測(cè)的折射光線相對(duì)于地球的高度稱為視高度ha；實(shí)際折射光線相對(duì)于地球的高度略低于ha，稱為折射高度hg，如圖1所示。

圖1 星光折射幾何關(guān)系Fig.1 Starlight refraction geometry

在航天器上裝載兩臺(tái)星敏感器，并用它們同時(shí)觀測(cè)兩顆星，一顆星的星光穿過大氣層，而另一顆的星光未經(jīng)大氣層折射。通過星敏感器觀測(cè)并查閱星庫(kù)，獲得穿過大氣層的星光相對(duì)原星光方向折射的角度，稱為星光折射角γ[12]。由星光折射角與大氣密度的關(guān)系，再依據(jù)大氣密度模型，可以精確地確定折射高度hg，它反映了航天器與地球之間的幾何關(guān)系。在基于航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程和對(duì)天體的量測(cè)信息基礎(chǔ)上，利用非線性卡爾曼濾波方法可以精確估計(jì)航天器的位置和速度。

2 構(gòu)造折射星場(chǎng)的方法

為盡可能減少不確定因素，如對(duì)流層中水汽及氣溶膠等影響，折射星應(yīng)選取星光穿過大氣層20～50 km之間的恒星。大氣層的這段范圍屬于平流層，平流層溫度變化緩慢，而且穿過該層大氣的星光，折射角大小適中，適宜觀測(cè)。

2.1 星光折射導(dǎo)航算法分析

由圖1中幾何關(guān)系可以得到視高度ha的表達(dá)式

(1)

式中：ha為視高度；rs為地心到航天器的位置矢量,rs為其大?。籾=|rs·us|且us為折射星光未折射前的星光方向矢量；γ為星光折射角；Re為地球半徑；a是個(gè)小量。

式(1)將在導(dǎo)航時(shí)作為量測(cè)方程，而其中除了未知的位置矢量，折射星光未折射前的星光方向矢量us也不能輕易給出。在實(shí)際導(dǎo)航時(shí)，us是通過星敏感器匹配星圖得到的。然而，在仿真研究中，要模擬星圖匹配的過程工作量很大，如果僅要研究導(dǎo)航算法，可以利用圖1中的幾何關(guān)系構(gòu)造星場(chǎng)簡(jiǎn)單地得到us。

2.2 構(gòu)造折射星場(chǎng)

在實(shí)驗(yàn)研究中，進(jìn)行星光折射導(dǎo)航計(jì)算機(jī)仿真研究時(shí)，可以通過構(gòu)造折射星場(chǎng)進(jìn)行導(dǎo)航，這種方法簡(jiǎn)單且實(shí)用。下面介紹一種構(gòu)造折射星場(chǎng)的方法。

因?yàn)槿藶闃?gòu)造的特點(diǎn)是在滿足條件的范圍內(nèi)任意選擇，所以可以選擇一些位置特殊的星作為折射星。由于在25 km處的平流層大氣密度較平流層中其他位置的密度更加穩(wěn)定，本節(jié)中構(gòu)造的折射星的折射高度均設(shè)定為25 km。仿真中假設(shè)折射高度25 km處大氣密度ρg為常值，且取ρg=42.937 g/m3。由于星光折射角γ和折射高度處大氣密度ρg直接相關(guān)，那么γ也為常值，即

(2)

式中：k(λ)為散射參數(shù)，僅與光波波長(zhǎng)λ有關(guān)；H為密度標(biāo)尺高度。

同樣，視高度ha也為常值，并作為觀測(cè)方程的標(biāo)稱值

ha=hg+k(λ)ρgRe

(3)

從航天器向地球看去，折射高度為25 km的折射星分布在一個(gè)圓上，該圓的圓心在航天器與地心的連線上，如圖2所示。

圖2 星光折射高度25 km觀測(cè)圖Fig.2 Observation at a certain tangent height of 25 km

那么星光矢量方向與正Xo軸的夾角為β=α-γ，星光矢量方向在輔助坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(cosβ,0,-sinβ)。將其轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系下，便可得到未折射的星光方向矢量us。

輔助坐標(biāo)系向慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

COI=RZo(-Ω)RXo(-i)RZo(-u)

(4)

式中:Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；i為軌道傾角；u為緯度幅角；RZo(-Ω)表示繞Zo軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度Ω，以此類推。

進(jìn)行星光折射導(dǎo)航，由文獻(xiàn)[6]，至少需要同時(shí)觀測(cè)到3顆折射星，才能保證系統(tǒng)完全可觀。在得到過A點(diǎn)的折射星的位置后，可以通過在輔助坐標(biāo)系下將其繞Xo軸分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ，得到其他兩顆折射高度為25 km的折射星。假設(shè)A點(diǎn)在輔助坐標(biāo)系下坐標(biāo)為A，則B點(diǎn)和C點(diǎn)在輔助坐標(biāo)系下分別表示為：B=RXo(θ)·A，C=RXo(-θ)·A。鑒于實(shí)際中，星敏感器視場(chǎng)有限，θ可以取較小的值(如5°)。

由于該構(gòu)造星場(chǎng)的方法由星光折射幾何關(guān)系直接推導(dǎo)得來，在不考慮星光折射幾何模型即式(1)本身的誤差時(shí)，該構(gòu)造方法并未給星光折射導(dǎo)航帶來誤差。

3 建模與仿真

本節(jié)用構(gòu)造的折射星場(chǎng)進(jìn)行星光折射導(dǎo)航仿真研究，以此來驗(yàn)證其可行性。本次仿真采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(expanded Kalman filter, EKF)算法進(jìn)行導(dǎo)航解算。

3.1 航天器軌道運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程

航天器在運(yùn)行過程中受到諸多攝動(dòng)影響，包括地球非球形攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)、三體攝動(dòng)和光壓攝動(dòng)，其中地球非球形攝動(dòng)項(xiàng)起主導(dǎo)作用。在協(xié)議天球坐標(biāo)系中，建立描述航天器運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)方程為

(5)

式中：X=[xyz]T和V=[vxvyvz]T分別為飛行器的位置矢量和速度矢量；f為攝動(dòng)加速度；wv為系統(tǒng)噪聲。

3.2 仿真及結(jié)果分析

將式(1)作為量測(cè)方程，式(5)作為狀態(tài)方程，兩式聯(lián)立作為卡爾曼濾波方程。

3.2.1 仿真條件

航天器軌道參數(shù)取為：長(zhǎng)半軸a=504.98 km，偏心率e=2×10-4，軌道傾角i=45°，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=225°，緯度幅角u=135°，真近點(diǎn)角f=90°。

取仿真步長(zhǎng)為0.2 s，n=3，θ=5°和-5°。每個(gè)軌道周期能同時(shí)觀測(cè)到3顆折射星20次，每次持續(xù)觀測(cè)5 s，記觀測(cè)時(shí)間為5 s，其余時(shí)間用慣導(dǎo)遞推代替星光折射導(dǎo)航。具體體現(xiàn)為：設(shè)定觀測(cè)折射星的周期間隔為280 s，其中的5 s用星光折射導(dǎo)航，其余275 s用慣導(dǎo)遞推進(jìn)行導(dǎo)航。

仿真過程中，由于實(shí)時(shí)構(gòu)造折射星，在一個(gè)軌道周期內(nèi)，任意兩個(gè)仿真時(shí)刻的折射星都是不同的。除選定星光過A點(diǎn)的折射星，其他兩顆星通過繞Xo軸旋轉(zhuǎn)角度±θ得到。

3.2.2 仿真結(jié)果

圖3和圖4分別為在3個(gè)軌道周期內(nèi)仿真得到的3軸位置和速度誤差。由圖可見，每隔一段時(shí)間，當(dāng)能觀測(cè)到3顆折射星時(shí)，星光折射導(dǎo)航會(huì)對(duì)慣導(dǎo)遞推的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。濾波收斂后得到的單軸位置誤差小于136 m，單軸速度誤差小于0.83 m/s。

圖3 位置估計(jì)誤差Fig.3 Estimation error of position

圖4 速度估計(jì)誤差Fig.4 Estimation error of velocity

3.2.3 仿真分析

3.2.2節(jié)驗(yàn)證了構(gòu)造星場(chǎng)的有效性，下面研究θ值和觀測(cè)時(shí)間對(duì)導(dǎo)航的影響。

減小|θ|的值時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)|θ|≤1°時(shí)，超調(diào)量較大。當(dāng)|θ|減小到0.01°時(shí)，雖然收斂速度受到影響，但在觀測(cè)到5次折射星后收斂。而當(dāng)|θ|減小到0.001°也即3.6″，導(dǎo)航發(fā)散?？梢钥闯?，當(dāng)兩顆折射星之間的角距大小接近于星敏的精度時(shí)，量測(cè)相對(duì)誤差太大，導(dǎo)航發(fā)散。所以，在實(shí)際進(jìn)行導(dǎo)航時(shí)，對(duì)于這兩顆構(gòu)型不好的星，應(yīng)該剔除其中一個(gè)。綜上所述，θ值不能接近于星敏感器的精度，理論上越大越好，但也受限于星敏感器的視場(chǎng)。圖5所示為|θ|=0.01°，觀測(cè)時(shí)間為5 s時(shí)的三軸位置誤差。

圖5 位置估計(jì)誤差(|θ|=0.01°)Fig.5 Estimation error of position (|θ|=0.01°)

當(dāng)減小觀測(cè)時(shí)間時(shí)，從5 s減小到1 s，超調(diào)量也較大，但在觀測(cè)到3次折射星后導(dǎo)航收斂。當(dāng)減小到0.8 s時(shí)，觀測(cè)到9次折射星后導(dǎo)航收斂，且3軸位置誤差小于139 m。再次減小觀測(cè)時(shí)間到0.6 s及以下時(shí)，導(dǎo)航發(fā)散。這說明導(dǎo)航的收斂速度很快，只需持續(xù)觀測(cè)到3顆折射星的時(shí)間大于等于0.8 s就能進(jìn)行導(dǎo)航。圖6所示為|θ|=5°，觀測(cè)時(shí)間為0.8 s 時(shí)的三軸位置誤差。

圖6 位置估計(jì)誤差(觀測(cè)時(shí)間0.8 s)Fig.6 Estimation error of position (observation time is 0.8 s)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)星光折射導(dǎo)航算法進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)了一種構(gòu)造折射星場(chǎng)的方法。利用該折射星場(chǎng)成功地進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn)，避免了在仿真中使用星圖模擬與匹配等復(fù)雜算法。仿真發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)到的折射星之間的角距接近于或小于星敏感器的精度時(shí)，導(dǎo)航發(fā)散；當(dāng)觀測(cè)時(shí)間大于等于0.8 s時(shí)，可以進(jìn)行導(dǎo)航，并且得到的3軸位置誤差小于139 m。然而，本文中構(gòu)造的折射星場(chǎng)只能用于仿真研究，在實(shí)際觀測(cè)時(shí)，不可能每一時(shí)刻都能觀測(cè)到3顆折射星，接下來的研究要更加注重于觀測(cè)折射星的方案以及分析實(shí)際使用星光折射導(dǎo)航時(shí)可能遇到的問題。

[1] SAVELY R T, COCKRELL B F, PINESS. Apollo experience report-onboard navigational and alignment

software[R]. Washington, D. C.: National Aeronautics and Space Administration, 1972: TND-6741.

[2] CHORY M A, HOFFMAN D P, LEMAY J L. Satellite autonomous navigation-status and history[J]. IEEE Transaction on Position, Location and Navigation Symposium, 1986, 4(7): 110-121.

[3] GOUNLEY R, WHITE R, GAI E. Autonomous satellite navigation by stellar refraction[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1984, 7(2): 129-134.

[4] 何炬. 國(guó)外天文導(dǎo)航技術(shù)發(fā)展綜述[J]. 艦船科學(xué)技術(shù), 2005, 27(5): 91-96.

[5] 王海涌, 金光瑞, 趙彥武. 間接敏感地平星敏感器視場(chǎng)內(nèi)折射星數(shù)的概率分布適用模型[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 33(12): 1201002.

[6] 宋峰, 張奕群. 星光大氣折射觀測(cè)導(dǎo)航方法可觀性研究[J]. 現(xiàn)代防御技術(shù), 2012, 40(2): 65-70.

[7] 李旻珺, 楊博, 胡靜. 星光折射導(dǎo)航星的改進(jìn)三角識(shí)別捕獲[J]. 航天控制, 2012, 30(1): 33-39.

[8] 寧曉琳, 王龍華, 白鑫貝, 等. 一種星光折射衛(wèi)星自主導(dǎo)航系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2012, 33(11): 1601-1610.

[9] 胡靜, 楊博. 精確星光大氣折射導(dǎo)航觀測(cè)模型的研究[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 32(7): 773-777.

[10] 胡靜， 楊博. 一種改進(jìn)的星光大氣折射觀測(cè)模型[J]. 紅外與激光工程, 2009, 38(2): 272-277.

[11] WANG X L, MA S. A celestial analytic positioning method by stellar horizon atmospheric refraction[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2009, 22(3): 293-300.

[12] 房建成, 寧曉琳, 田玉龍. 航天器自主天文導(dǎo)航原理與方法[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2006: 103-108.