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        三層直觀推進(jìn)概念形成—以《三角形的分類》教學(xué)為例

        2018-03-20 08:00:02王嬋丹
        名師在線 2018年34期
        關(guān)鍵詞:銳角三角銳角等腰三角

        王嬋丹

        (浙江省寧波市奉化區(qū)實(shí)驗小學(xué),浙江寧波 315500)

        引 言

        作為“圖形與幾何”領(lǐng)域中的《三角形分類》一課,它既承擔(dān)著空間與圖形板塊中培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重任,又關(guān)注著概念理解與圖形表象的關(guān)聯(lián)建構(gòu)。設(shè)計本課時,筆者根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)與已有知識經(jīng)驗,將直觀表象、想象操作與概念的層層建構(gòu)相結(jié)合,幫助學(xué)生推理洞察圖形之間的內(nèi)在意義,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。現(xiàn)通過課例分析,期望能成為研究“幾何直觀”的引玉之磚。

        一、借直觀操作豐富圖像積累,表征數(shù)學(xué)概念

        直觀操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有效的認(rèn)識活動和學(xué)習(xí)途徑。它既是手與眼的協(xié)同活動,又是手與腦的密切溝通。應(yīng)用直觀操作,不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還能使學(xué)生在感性材料的基礎(chǔ)上加以抽象、概括,啟迪學(xué)生自主建構(gòu)知識,從而促進(jìn)概念理解。

        從實(shí)踐可知,直觀操作主要出現(xiàn)兩個問題:一是所畫的三角形形狀單一,學(xué)生缺少大量不同形態(tài)的三角形表象積累;二是缺少從概念特征出發(fā)去畫圖的意識??梢姡S意、簡單地畫個三角形并不能幫助學(xué)生把握概念本質(zhì)。所以,教師在教學(xué)時既要豐富學(xué)生表象感知,又要把握概念特征將表象內(nèi)化,在直觀操作之前必須深化學(xué)生這兩點(diǎn)認(rèn)知[1]。于是,我們抓住圖形變化的臨界點(diǎn)再次進(jìn)行了實(shí)踐(如圖1所示)。

        圖1

        (一)第一層:輔“畫”想象,積累表象經(jīng)驗

        雖然畫圖時有了更多的條件限制,但輔以直角三角形的直觀圖,為學(xué)生提供一個操作支點(diǎn),學(xué)生就能在操作中領(lǐng)悟“要畫銳角三角形點(diǎn)C該在哪里”。此環(huán)節(jié)不僅加深了學(xué)生對概念的理解,更豐厚了圖形表象。

        (二)第二層:借“圖”演示,溝通圖形聯(lián)系

        動手操作后,學(xué)生已初步感知到圖形之間存在一種可以互相轉(zhuǎn)換的內(nèi)在聯(lián)系,筆者及時、有效地跟進(jìn)多媒體演示,有效地引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動的眼光看圖形,溝通內(nèi)在聯(lián)系。

        生1:以直角三角形的點(diǎn)C為分界線,點(diǎn)C往上一定是銳角三角形,點(diǎn)C在直角三角形里面是鈍角三角形。

        生2:會和線段AB重合。

        生3:就不能圍成三角形了,三條邊都重合在一起了。

        第二層中借助多媒體,讓靜態(tài)的圖形“動”起來,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):雖然點(diǎn)C在不停向上運(yùn)動,但銳角三角形的屬性仍保持不變。一旦圖形屬性發(fā)生變化,圖形的名稱也隨之改變,初步領(lǐng)悟到圖形之間的轉(zhuǎn)化是有一個分界點(diǎn)的。此環(huán)節(jié)不但溝通圖形之間的聯(lián)系,還培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動的眼光看靜止的幾何圖形。

        (三)第三層:動“點(diǎn)”想象,感悟分類結(jié)果

        “運(yùn)動的點(diǎn)C只能在豎的虛線上嗎?想象點(diǎn)C在其他位置的三角形圖像。”安排第三層是對前兩層的補(bǔ)充,讓學(xué)生在充分展開想象后,感悟按角分,就有這樣的三類三角形,同時也提升了學(xué)生的空間觀念。

        操作、觀察、想象,打開了學(xué)生探索與研究的閘門,在每次推進(jìn)中,都引導(dǎo)學(xué)生將思維從動手、直觀向想象、抽象過渡,從而實(shí)現(xiàn)對按角分的三類三角形概念理解與聯(lián)系構(gòu)建。

        二、借直觀感知達(dá)成特征交互,推進(jìn)概念架構(gòu)

        通過實(shí)踐,學(xué)生在操作中初步建立了三角形的表象,對三類三角形的概念也熟記于心。但解答“三角形中至少有幾個銳角”問題時,發(fā)現(xiàn)正確率依然不高。究其原因,應(yīng)該是探究各類三角形特征時,學(xué)生更多地關(guān)注了每類三角形的獨(dú)特之處,從而忽視了它們的共性部分。為了更全面地理解概念本質(zhì),筆者安排了“截角猜三角形”的練習(xí)(如圖2所示),實(shí)現(xiàn)直觀呈現(xiàn)多元素材,引導(dǎo)學(xué)生在對比感知、分層推進(jìn)中展開想象,進(jìn)而深入問題核心,完善概念建構(gòu)。

        (一)第一層:借助直觀感知,從個性拓及共性

        呈現(xiàn)多元信息,為直觀感知鋪設(shè)階梯。讓空間觀念較弱的學(xué)生能借助前兩個判斷思路和方法,展開三角形③的想象。

        筆者截裁了圖2中三角形③的一個銳角,然后讓學(xué)生猜這個三角形是哪種。

        圖2

        生1:我猜三角形③是一個銳角三角形。

        生2:錯,也有可能是直角三角形、鈍角三角形。

        師:怎么會有那么多種情況呢?

        生3:因為直角三角形和鈍角三角形中也有銳角,也有可能是它們中的一個銳角露在外面,因此無法判斷。

        師:(問生1)你明白他的想法了嗎?(生1拿起手中的三角形,演示了這一想法)

        實(shí)踐中,雖然有一部分學(xué)生認(rèn)為③是銳角三角形,但聆聽了別人思辨后,能自主地想象隱藏的部分。

        在上述過程中,學(xué)生不僅能關(guān)注概念的獨(dú)特之處,還能發(fā)現(xiàn)每類三角形都有兩個銳角的共性。可見,通過直觀地觀察與感知已經(jīng)完善了學(xué)生對三類三角形概念的理解。

        (二)第二層:借助直觀感知,以共性升華個性

        通過第一層的想象,部分學(xué)生可能會認(rèn)定,如果提供一個銳角是不能猜三角形的類別的;還有一部分學(xué)生還存在疑惑,真的不能猜了嗎?此時,教師再次呈現(xiàn)一個銳角,立即激發(fā)了學(xué)生再次感知與探索的欲望。當(dāng)出示“我是這個三角形中最大的一個角”時,將學(xué)生的“直觀感知”推向了更高的境界,同時,通過合情推理與想象,在共性中發(fā)現(xiàn)與歸納個性特點(diǎn),完善概念架構(gòu)。

        生:這個銳角是此三角形中最大的一個,藏在里面的那兩個角一定比這個角小,那么這個三角形一定是銳角三角形。

        師:你認(rèn)為必須給你一個怎樣的角,就一定能判斷它是什么三角形?(大部分學(xué)生思考后能想到:最大的一個角。)

        由此可見,“直觀感知”雖是淺層次的“幾何直觀”,但只要教師合理開發(fā)和利用好直觀素材,試著讓學(xué)生主動感知發(fā)現(xiàn),進(jìn)而合情推理,也能從共性中發(fā)現(xiàn)個性特點(diǎn)。此時,學(xué)生在立足了“直觀感知”的同時已逐步深入對圖形的“直觀理解”,可以說是理性認(rèn)識的升華,是認(rèn)識的返璞歸真。

        三、借直觀洞察突破表象變化,深化概念本質(zhì)

        從邊和角兩個維度完整把握三角形的概念,既是本課的重點(diǎn),也是發(fā)展空間觀念的重要手段。我們經(jīng)常安排學(xué)生觀察動態(tài)的幾何圖形,以期打通兩個維度的連接點(diǎn)。

        在這一環(huán)節(jié),通過“邊”想象,突破圖形表象的多維變化,溝通“邊”與“角”的兩個維度。在實(shí)踐過程中,我們發(fā)現(xiàn),學(xué)生在想象過程中雖然打破了存于腦子里的那個寶塔狀的等腰三角形的定式表象,但他們也只能發(fā)現(xiàn)這個等腰三角形從角的角度看是銳角(直角、鈍角)三角形,并沒有完整地發(fā)現(xiàn),等腰三角形可以有鈍角、直角、銳角三角形這三種情況,也沒有想到等邊三角形,它一定是一個銳角三角形。

        這就是僅停留在直觀感知階段的結(jié)果。要推進(jìn)概念的進(jìn)一步深化,必須在直觀的基礎(chǔ)上融入洞察和推理,借直觀洞察突破表象變化,促使學(xué)生深刻理解概念本質(zhì)。

        (一)第一層:由“動”變“靜”,搭建洞察平臺

        由“動態(tài)想象”變“靜態(tài)描述”,多層次、多角度地幫助學(xué)生掌握概念。實(shí)踐中,學(xué)生能憑借對五種三角形概念的理解,在靜態(tài)的直觀圖中,能比較完整地理解圖形之間“邊”與“角”的特點(diǎn)。

        (二)第二層:“推理”與“驗證”結(jié)合,初引洞察方法

        在教師的精心設(shè)問下,學(xué)生能根據(jù)作業(yè)紙上的答案(如圖2所示),展開深入的思考。當(dāng)他們的目光聚焦在答案上時,就能自主地感悟到“等腰三角形可以是鈍角、直角、銳角三角形,但等邊三角形一定是一個銳角三角形”,從而理解和感悟等腰三角形與等邊三角形中的深層意義。

        師:為什么圖形④有這么多的名字呢?

        生1問:為什么圖①③⑤都有一個A呢?

        生2:它們都是等腰三角形。

        生3:我發(fā)現(xiàn)了,它們雖然都是等腰三角形,但從角的角度看,還可以是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。

        生4:我還發(fā)現(xiàn),等邊三角形是特殊的等腰三角形。但它從角的角度看一定是銳角三角形,因為它每個角永遠(yuǎn)都是60°。

        如果說“直觀操作與感知”是建立空間觀念的基礎(chǔ),是幾何直觀的初級階段,那么“直觀洞察”就是空間觀念的發(fā)展與升華,是幾何直觀向更高層次的發(fā)展。唯有在教學(xué)中充分利用好它們相輔相成的關(guān)系,才能真正借幾何直觀,發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

        結(jié) 語

        綜上所述,幾何直觀作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的一種方式,在發(fā)揮其“通過直觀實(shí)現(xiàn)簡明”的功能外,還應(yīng)重視幾何直觀對溝通數(shù)學(xué)對象之間內(nèi)在聯(lián)系、展現(xiàn)思維活動以及發(fā)展空間觀念的作用。當(dāng)然,幾何直觀并不能獨(dú)立存在,它應(yīng)與感知發(fā)現(xiàn)、邏輯推理、直觀洞察等思維活動相輔相成。在教學(xué)中只有重視了學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng),才能更好地讓學(xué)生感知抽象的數(shù)學(xué)知識,更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵與意義。

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