張學選

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）04-0134-01

[背景]

函數(shù)是高中數(shù)學學習的基本概念也是高中數(shù)學重點學習的內(nèi)容，高中函數(shù)教學的思想方法貫穿整個高中的數(shù)學教學，因此函數(shù)應(yīng)用概念教學與應(yīng)用教學都是高中數(shù)學教學中不可缺少的部分。但是就函數(shù)的概念卻較為抽象，學生在學習的時候較為費勁，理解與應(yīng)用都是難上加難的事情，雖然初中接觸了一次函數(shù)與二次函數(shù)的基本知識，教師應(yīng)為學生創(chuàng)設(shè)一些好的情境幫助學生體會函數(shù)是變量之間有依賴關(guān)系與重要的數(shù)學模型，從而促進學生體會函數(shù)的概念與應(yīng)用。

[描述]

片斷：情景介入，引出舊知識

師：在講新知識之前，我們可以先考慮一個問題：樓下三個開關(guān)，人站在開關(guān)前卻看不到樓上的燈是否是亮的，而這三個開關(guān)分別控制樓上的三個燈，允許你開其中的一個開關(guān)時上樓查一次，然后分辨出哪個開關(guān)是控制哪一個燈的？

生：（展開了熱烈的討論）如果我們能在上樓前開其中的任一個燈，開一會，關(guān)上后再開其中的另一個，上樓去檢查的時候，可以用手摸其中不著的兩個燈泡，熱的那個就是先前開完之后關(guān)上的開關(guān)控制的燈，亮著的一定是開著的那個開關(guān)控制的燈，另一個則明確了。

師：你們考慮得都非常全面，那么明確哪個燈完全受控于哪個開關(guān)嗎？更清楚的表達一下。

生：那就編號吧，作圖表達出來。

……

師：為什么要編號呢？

生：為了表達更清晰。

師：你們表達得非常明確，知道嗎，你們做的這些就是函數(shù)。

在學生正對函數(shù)類問題感興趣的時候，導(dǎo)出一個函數(shù)圖像，并在函數(shù)圖像的帶領(lǐng)下引出函數(shù)方程的應(yīng)用：例如：函數(shù)f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零點，則實數(shù)m的取值范圍。通過分析我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=x3-3x-m在[0，2]上具有單調(diào)性，同時根據(jù)這一特點求出極值，從而得到函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值，要使函數(shù)f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零點，只需其最小值小于等于0，最大值大于等于0即可。通過推斷就可以得出實數(shù)m的取值范圍。最后通過解析可以得出實數(shù)m的取值范圍是[-2，2]。

在講解這類函數(shù)的時候，可以根據(jù)學生進入圖解的思路，在用圖畫出函數(shù)值域取值范圍的限定，一般來說，可以利用函數(shù)圖像中的交點的個數(shù)來確定f（x）=m的取值范圍與個數(shù)問題，這樣也就是通過對f（x）=m的函數(shù)構(gòu)造完成方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域加以解決。一般地，方程f（x）=m有解的條件是m在函數(shù)f（x）的值域范圍內(nèi)。

師：這道題就是我們引出的本節(jié)課的函數(shù)應(yīng)用的例子。

生：這些就是函數(shù)的應(yīng)用案例？

師：根據(jù)我們引導(dǎo)的案例與應(yīng)用，大家可以從中推出函數(shù)的物點。

生：（如剛才一樣進入了又一番熱烈討論中）生活中燈炮的例子說明，我們可以將其中不確定性先預(yù)定，然后另一變量確定之后，其他變量值也會成為唯一性而確定下來，剛剛的函數(shù)應(yīng)用也是這個道理。

師：讓我們用函數(shù)的集合的方法來闡述這一理論與應(yīng)用原理。

生：在確定某一數(shù)值的時候，都會涉及到兩個集合，而這兩個集合都是任意集合的元素組成的，這樣我們就可以找出相對應(yīng)的集合的元素與數(shù)了。

師：我們的思路已經(jīng)開通了，再思考如下的問題：

已知|a|<1，|b|<1，|c|<1.求證：abc+1>a+b+c

這時就需要我們考慮一下關(guān)于a的函數(shù)的構(gòu)造，這時可以將其中的a設(shè)置成主元，再考慮求證的問題。

師：在證明時，我們可以先考慮一下這個函數(shù)所處圖像的位置及其圖像的形狀。

生：（互相討論）這應(yīng)當是一條線段。

師：我們從其取值上可以看出其形狀，然后再對其進行證明。

證明：設(shè)f（a）=abc+2-a-b-c，因為f（-1）=-bc+3-b-c，因為b<1， c<1， bc<1，所以f（-1）>0。

f（1）=bc+2-1-b-c=bc+1-b-c=b（c-1）+1-c=（1-c）（1-b）>0

因函數(shù)f（a）在[-1，1]上的圖像為線段，所以當a∈（-1，1）時，f（a）的圖像在橫軸的上方，故f（a）>0恒成立，即abc+1>a+b+c。

師：（總結(jié)）這題比上一題的問題與解題思路更加深入了。其所表現(xiàn)出來的函數(shù)觀點、方程觀點外，在兩種觀點的應(yīng)用中又都采用了“主元思想”，即將其中某個變量（或式子）看成主元，抓住主元進行研究。

生：這就是站得高望得遠的道理嗎？

師：理解得非常準確。當遇到這樣的問題時，我們最先考慮的就是站在更高的高度來認識問題就能找到解決問題的突破口。

[分析]

本節(jié)課是在新課標的要求下，以教師為主導(dǎo)思想為基礎(chǔ)的前提下，推動以學生為主體的原則從對函數(shù)的初步理解的回憶到逐步加深最后深入應(yīng)用的過程，進行教學，這樣的前提下可以有效的解決問題。

一、在進入教學之前，教師如能利用恰當?shù)那榫硯ьI(lǐng)學生進入學習環(huán)境，可以幫助學生合理解決問題。根據(jù)新課標的要求，教師在教學中起到的最主要的角色就是引導(dǎo)學生主動獲取知識，因為知識不是被動得到的，而是學習者在教師的情境創(chuàng)設(shè)的前提下，自動獲取的，這是一個利用他人的幫助獲得相應(yīng)的學習資料的有意義的學習構(gòu)建的過程。這也讓學生覺得非常難的函數(shù)應(yīng)用課與現(xiàn)實生活是密切聯(lián)系的，因此增加了學習的興趣，同時促進了學生的求知欲，并幫助學生通過這種趣味性，讓學生能夠更加明確函數(shù)應(yīng)用的解決思路。

二、利用現(xiàn)實的應(yīng)用完成對原有概念的深入學習的引導(dǎo)，可以讓學生對新的知識點不那么抵觸，因為讓學生在回憶了過去的函數(shù)知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系的基礎(chǔ)上加入現(xiàn)有的函數(shù)知識顯得不那么突兀，也讓學生對函數(shù)應(yīng)用不再那么抵觸。

三、數(shù)學是一項需要理解的學科，我們在教學的過程中，應(yīng)當不跳出讓學生死記硬背的模式，讓學生發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學思維與積極的數(shù)學情感態(tài)度，結(jié)合高中函數(shù)的抽象思維促動學生積極努力的學習與探索。