一、問(wèn)題

“三角形任意兩邊的和大于第三邊”是人教版四年級(jí)下冊(cè)三角形單元的一個(gè)內(nèi)容。這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的內(nèi)容，在教學(xué)實(shí)踐中，很多教師都覺(jué)得不容易教。首先，“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，這是一個(gè)高度抽象概括的結(jié)論，孩子理解起來(lái)是有難度的。其次，如何證明這一結(jié)論？采用什么樣的方式證明？許多教師都嘗試過(guò)讓孩子們通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)發(fā)現(xiàn)：提供一些素材，讓孩子們擺一擺或是剪一剪。但孩子們很少會(huì)主動(dòng)拿兩邊之和與第三邊進(jìn)行比較，所以最后結(jié)論的得出比較牽強(qiáng)。而且動(dòng)手操作時(shí)會(huì)有誤差，不管選擇什么材料，當(dāng)討論兩邊之和等于第三邊時(shí)能不能圍成三角形，孩子們會(huì)特別糾結(jié)，教學(xué)時(shí)不好處理。如果直接運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一公理來(lái)證明，很快就能得出結(jié)論，可是我們要教給孩子的僅僅是這樣的一個(gè)結(jié)論嗎？這節(jié)課到底要教什么？

帶著對(duì)這些問(wèn)題的思考，我們?cè)谏钊胙凶x教材的基礎(chǔ)上，把這節(jié)課的目標(biāo)確定為：發(fā)現(xiàn)并理解三角形的三邊關(guān)系；經(jīng)歷研究問(wèn)題的一般過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。在教學(xué)目標(biāo)的指導(dǎo)下，我們?cè)O(shè)計(jì)了教學(xué)，進(jìn)行了以下的實(shí)踐。

二、實(shí)踐

（一）引發(fā)沖突，提出問(wèn)題

1.從“圍”開(kāi)始

師：知道我們今天要學(xué)什么嗎？（生：三角形）對(duì)，三角形是常見(jiàn)的平面圖形，老師這兒有三根紙條，（在黑板上貼出三根紙條，其中兩根藍(lán)色的，一根紅色的）誰(shuí)能上來(lái)圍一個(gè)三角形？

生1、生2很快圍成之后，教師在黑板上貼出三根紙條，其中兩根藍(lán)色紙條的長(zhǎng)度分別是6cm和9cm，紅色紙條的長(zhǎng)度是18cm。生3上臺(tái)圍了很久，最后圍成的三角形如圖1所示。

2.明確要求，規(guī)范圍法

師：（指著圖1）三角形是有了，不過(guò)圍成這樣你們滿意嗎？（學(xué)生紛紛搖頭）

教師邊說(shuō)要求：三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形，邊用課件演示（如圖2）。

師：那這三根紙條，能不能按這樣的要求圍成三角形呢？

學(xué)生兩人一組動(dòng)手操作后發(fā)現(xiàn)圍不成。

小結(jié)：不是隨隨便便的三根紙條就能圍成三角形的。

（二）舉例分析，問(wèn)題具體化

師：什么樣的三根紙條可以圍成三角形呢？

生4：三根一樣長(zhǎng)的。

師：這是你的經(jīng)驗(yàn)。我們看看剛才的這幾根紙條，（課件出示圖3）為什么圍不成呢？（生：紅色的紙條太長(zhǎng)，藍(lán)色的紙條太短）要想圍成怎么辦？（生：把紅色紙條變短，或者把藍(lán)色紙條變長(zhǎng)）

教師根據(jù)學(xué)生的回答演示課件，驗(yàn)證學(xué)生的想法。

師：當(dāng)然，要圍一個(gè)三角形很簡(jiǎn)單，但是如果每一根都這樣變長(zhǎng)或變短，咱們就不容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。為了研究方便，我們就固定這兩根藍(lán)色紙條不變，把這根紅色紙條變短，行嗎？這根紅色紙條變成多短就可以呢？（學(xué)生開(kāi)始猜測(cè)各種長(zhǎng)度）剛剛有人說(shuō)9厘米可以，誰(shuí)來(lái)試一試？（學(xué)生上臺(tái)成功圍成三角形）那是不是只有換成9厘米長(zhǎng)的紙條就能圍成呢？

生5：不是，8厘米的也行。

生6：10厘米的也可以。

生7：15厘米以下的都可以。

師：哎呀，你已經(jīng)在考慮它的范圍了。聰明的孩子就會(huì)這樣想，肯定不止這一個(gè)可以。那這根紅色紙條的長(zhǎng)度在什么范圍內(nèi)就可以圍成三角形呢？

（三）討論方法，動(dòng)手解決問(wèn)題

師：要想確認(rèn)這個(gè)范圍，我們?cè)撛趺崔k？（生：拿更多的紙條來(lái)試一試）跟我想的一樣，可問(wèn)題是，我們?cè)撛嚹男╅L(zhǎng)度呢？（學(xué)生回答各種長(zhǎng)度，范圍在1～17厘米）怎么沒(méi)有人要試19厘米？

生8：剛剛我們?cè)囘^(guò)18厘米都長(zhǎng)了，19厘米肯定也不行。所以只需試比18厘米短的。

師：（板貼1～17厘米的磁貼）為了研究方便，咱們先從整厘米的長(zhǎng)度入手，把這些長(zhǎng)度一一試出來(lái)，是不是就能找到范圍了？要試多少次？（生：17次）那咱們分工合作吧，每組試幾根，最后把所有人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總，這個(gè)范圍是不是就找著了？

學(xué)生兩人一組動(dòng)手操作，教師巡視。學(xué)生按照順序依次匯報(bào)，在匯報(bào)3厘米和15厘米的時(shí)候爭(zhēng)論不休。但是在教師的引導(dǎo)下找到了范圍：比3厘米短的肯定不行，比15厘米長(zhǎng)的也不行，在這之間的長(zhǎng)度是可以的。

（四）深入探討，究其本質(zhì)

師：大家對(duì)這個(gè)范圍是不是都認(rèn)可了？誰(shuí)還有疑問(wèn)？

生9：3和15到底行不行？

生10：為什么會(huì)剛好在這個(gè)范圍呢？

師：這個(gè)問(wèn)題提得真好?。ò鍟?shū)：為什么）為了助大家一臂之力，王老師帶來(lái)了一個(gè)神奇的三角形，（課件出示圖4）別看它長(zhǎng)得普通，它可是會(huì)變的。剛剛我們?cè)囘^(guò)12厘米是能圍成的，當(dāng)這條紅色的邊長(zhǎng)12厘米的時(shí)候，圍成的三角形就長(zhǎng)這樣。我如果使勁拉這條邊，它會(huì)變長(zhǎng)。（操作課件，紅色線段的長(zhǎng)度依次變?yōu)?3、13.19、14、14.28，如圖5、圖6）這個(gè)三角形的樣子好像在變。（生：對(duì)，變得越來(lái)越矮，越來(lái)越扁了）這三個(gè)角好像都有變化。（生：這個(gè)三角形變得越來(lái)越平了）

師：（紅色線段的長(zhǎng)度到14.95時(shí)停止拖動(dòng)，如圖7）14.95也是可以的，不過(guò)跟之前比已經(jīng)大變樣了。剛剛有同學(xué)說(shuō)15厘米可以，想象一下，如果拉長(zhǎng)到15厘米，會(huì)是什么樣？

生11：平了。

生12：變成一條線段了。

生13：藍(lán)色的和紅色的重合了。

師：是不是跟你們想象的一樣呢？（課件演示紅色線段的長(zhǎng)度到15厘米，如圖8）15厘米可以圍成三角形嗎？（生：不可以）想一想：如果再長(zhǎng)一點(diǎn)點(diǎn)呢？會(huì)是什么樣？endprint

生：會(huì)往下；會(huì)回去。（課件演示紅色線段的長(zhǎng)度到15.01厘米，如圖9）

生：哎呀，斷掉了！

師：為什么會(huì)這樣?。?/p>

生14：因?yàn)檫@根紅色線段太長(zhǎng)了，這兩個(gè)端點(diǎn)連不上，所以就掉下來(lái)了。

師：那如果繼續(xù)拉長(zhǎng)能連上嗎？

生15：不能，更加連不上了，把紅色的線段變短才可以。

師：好，那我們往回拉，看看什么時(shí)候就能連上了。（生：15厘米）（課件演示拉回到15厘米）對(duì)，這個(gè)時(shí)候就連上了，那什么時(shí)候又會(huì)出現(xiàn)三角形呢？

生16：14.99。

生17：只要比15小就行了。

師：（繼續(xù)往回拉，到14.99厘米）是的，這個(gè)時(shí)候三角形就出現(xiàn)了。繼續(xù)變短（如圖10），這個(gè)三角形怎么變成這樣了？（繼續(xù)變短，如圖11）快看，它的三個(gè)角又在變呢?。ㄉ哼@個(gè)三角形要倒了）想一想，到什么時(shí)候三角形又沒(méi)了？

生：2.99；3；2。

師：（繼續(xù)變短至3厘米，如圖12）當(dāng)紅色線段長(zhǎng)3厘米的時(shí)候，3厘米的邊和6厘米的邊連成一條線段，和9厘米的邊重合了，看樣子3厘米也是圍不成的。如果繼續(xù)變短呢？（生：又會(huì)斷掉了）

小結(jié)：當(dāng)兩條邊分別是6厘米和9厘米的時(shí)候，我們找到第三條邊的范圍，必須大于3厘米而小于15厘米。

師：為什么剛好就在這個(gè)范圍呢？現(xiàn)在你明白了嗎？

生18：因?yàn)榈搅?5厘米就重合成一條線段，三角形就沒(méi)有了。

生19：3厘米也不行。

生20：比15厘米長(zhǎng)、比3厘米短的都不行。

師：看來(lái)，關(guān)于這個(gè)三角形的奧秘你們已經(jīng)知道了，如果換一個(gè)呢？（課件出示另一個(gè)三角形，兩條藍(lán)色邊長(zhǎng)分別是7厘米和11厘米）如果是這樣的兩條邊，那第三條邊的范圍應(yīng)該是多少？（生：比4厘米大、比18厘米小）為什么？

生21：因?yàn)榈搅?8厘米就會(huì)重合成一條線段。

生22：18其實(shí)是這兩條邊長(zhǎng)的和。

師：那4呢？

生23：4其實(shí)就是這兩條邊長(zhǎng)的差。（課件再次演示三角形的變化）

師：孩子們，看完了這兩個(gè)三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：給定兩條邊，第三條邊的長(zhǎng)比另外兩條邊的差要大，比另外兩條邊的和要小。

（五）歸納總結(jié)，由特殊到一般

師：咱們回到黑板上（給三角形的三條邊標(biāo)記：a，b，c）想象一下，如果這個(gè)三角形也能拉動(dòng)，我拉動(dòng)c，（手勢(shì)做出拉扯狀）要使三角形還在，最長(zhǎng)要怎么樣？（生：c要比a與b的和小）為什么？

生：如果c等于a與b的和，就會(huì)重合成一條線段，而大于a與b的和，就會(huì)斷掉。

師：所以c要小于a+b，其實(shí)也就是a+b大于c。（板書(shū)：a+b>c）要是我現(xiàn)在不拉動(dòng)c，而是拉動(dòng)a，要使三角形還在，a應(yīng)該怎么樣？

生：b+c>a。（板書(shū)：b+c>a）

師：如果拉動(dòng)b呢？

生：a+c>b。（板書(shū)：a+c>b）

師：今天我們通過(guò)研究得到，當(dāng)三條線段同時(shí)滿足這三個(gè)條件的時(shí)候，就能圍成三角形。事實(shí)上，每一個(gè)三角形都是由滿足這樣條件的三條線段圍成的，也就是說(shuō)每一個(gè)三角形的三條邊都存在著這樣的關(guān)系。你能試著用一句話概括三角形三條邊的關(guān)系嗎？

生：三角形的一條邊不能超過(guò)另外兩條邊的和。

師：一條邊指的是哪條？

生：每一條，任意一條。

小結(jié)：三角形的任意一條邊都要小于兩邊之和。

師：祝賀你們，通過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)了三角形三條邊的關(guān)系。咱們看看書(shū)上是怎么說(shuō)的。（課件出示：三角形的任意兩邊之和大于第三邊）雖然表達(dá)不一樣，但意思是一樣的，請(qǐng)大家讀兩遍。

學(xué)生齊讀，教師板書(shū)課題：三角形的三邊關(guān)系。

三、討論

1.對(duì)課堂的思考

對(duì)于三角形三邊關(guān)系的教學(xué)，讓學(xué)生動(dòng)手操作拼一拼、圍一圍是司空見(jiàn)慣的做法。究其原因，一是教材編排使然，教材上就是要求學(xué)生用小棒或紙條來(lái)圍三角形。二是老師們大多持有這樣的觀點(diǎn)：要想培養(yǎng)空間觀念，肯定要有動(dòng)手操作。于是，熱熱鬧鬧動(dòng)手圍的操作型課堂就誕生了。老師會(huì)給孩子們提供幾組素材，有的能圍成，有的圍不成，還有的是學(xué)生堅(jiān)持能圍成，老師則拼命解釋此乃誤差使然。緊接著，教師提出問(wèn)題：“從這幾組數(shù)據(jù)中，你有什么發(fā)現(xiàn)？”說(shuō)實(shí)話，學(xué)生是無(wú)法從這樣的動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)三角形三邊關(guān)系的。于是，老師只能請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)一寫(xiě)算式，比一比兩邊之和與第三邊有什么關(guān)系，強(qiáng)行得出所謂的結(jié)論。這樣教學(xué)的效果總是差強(qiáng)人意。

基于對(duì)以往這一內(nèi)容教學(xué)案例的分析，我們有了諸多思考，并大膽地進(jìn)行了教學(xué)嘗試。對(duì)于這一課的設(shè)計(jì)，主要想突顯以下兩點(diǎn)。

一是建立動(dòng)態(tài)表象，培養(yǎng)空間觀念。“圖形與幾何”的教學(xué)有一個(gè)很重要的目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。值得注意的是，并不是簡(jiǎn)單地按老師要求動(dòng)手拼一拼、擺一擺、圍一圍，空間觀念就能得到發(fā)展。我們認(rèn)為，動(dòng)手操作一定要與分析、比較、想象等思維活動(dòng)結(jié)合起來(lái)，才可能幫助孩子形成良好的空間觀念。

在本節(jié)課中，我們引導(dǎo)孩子提出了一個(gè)大問(wèn)題：什么樣的三根紙條能圍成三角形？就拿一組圍不成的材料來(lái)說(shuō)，怎么調(diào)整長(zhǎng)度才能圍成三角形？調(diào)整的辦法有多種，如果只選定調(diào)整其中最長(zhǎng)的一根，那么多長(zhǎng)就能圍成三角形？在問(wèn)題的引導(dǎo)下，孩子們結(jié)合動(dòng)手操作的感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析思考并不斷想象，然后嘗試操作驗(yàn)證。只有在積極的思維狀態(tài)下，孩子們的動(dòng)手操作才能真正入眼、入腦，印象深刻，從而為想象提供表象支撐。而在想象之后再驗(yàn)證，有利于進(jìn)一步修正自己的空間觀念。初步探尋到可能的范圍之后，對(duì)于兩邊之和等于第三邊時(shí)，究竟能不能圍成三角形，利用動(dòng)手操作肯定無(wú)法達(dá)到最佳效果。于是，我們借助動(dòng)畫(huà)演示，引導(dǎo)孩子結(jié)合操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、想象。尤其是在逐漸逼近的演示中，教師多次停下來(lái)引導(dǎo)孩子想象可能發(fā)生的情形，然后拉動(dòng)課件中的三角形對(duì)他們的想象進(jìn)行驗(yàn)證，幫助孩子在腦海中形成動(dòng)態(tài)的表象。經(jīng)歷了這樣的過(guò)程，學(xué)生的空間想象能力得到了培養(yǎng)。

二是經(jīng)歷研究問(wèn)題的一般過(guò)程，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在本課中，問(wèn)題的產(chǎn)生是十分自然的?？此坪?jiǎn)單的用三根紙條圍三角形，不經(jīng)意就能圍成，但第三位上臺(tái)的同學(xué)卻怎么也圍不成三角形。這是怎么回事呢？哦，原來(lái)并不是隨隨便便三根紙條就能圍成三角形的！問(wèn)題就自然產(chǎn)生了：什么樣的三根紙條能圍成三角形呢？顯然，這個(gè)問(wèn)題太大，學(xué)生無(wú)從著手進(jìn)行研究。“我們看看剛才的這幾根紙條，為什么圍不成？怎么樣才能圍成？”因?yàn)橛辛司唧w的例子，問(wèn)題立即落了地，孩子們有話可講了，也有事可做了。長(zhǎng)的邊可以變短，短的邊可以變長(zhǎng)，辦法都是可行的。可是，如果都變，不利于研究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，怎么辦？教師引發(fā)了孩子的積極思考，又適時(shí)給出合理的建議：我們就固定兩根短的不變，把最長(zhǎng)的這根變短點(diǎn)，看看它變多短就能圍成三角形。研究一步步往下推進(jìn)，并不是由教師簡(jiǎn)單生硬地出示操作要求，而是整個(gè)方案都是和孩子們一起通過(guò)討論得出，包括實(shí)驗(yàn)的范圍、分工合作、匯總結(jié)果等，都是很自然地從孩子們的思維深處流淌出來(lái)。在這潤(rùn)物無(wú)聲的過(guò)程中，孩子們親歷了解決問(wèn)題的全過(guò)程。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)原來(lái)在一個(gè)固定的范圍內(nèi)都可以圍成，超出范圍便圍不成時(shí)，孩子們喜形于色，非常有成就感。最后，借助課件的動(dòng)畫(huà)演示，孩子們篤定地找到了最長(zhǎng)邊的范圍，終于發(fā)現(xiàn)了三角形三邊之間的關(guān)系。至此，孩子們經(jīng)歷了一個(gè)完整的探究過(guò)程：發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題———作出假設(shè)———制定計(jì)劃———實(shí)踐操作———得到結(jié)論，積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.提出新問(wèn)題

我們的研究固然體現(xiàn)了我們的深入思考，但因水平有限，難免存在問(wèn)題。比如：我們認(rèn)為動(dòng)手操作與課件動(dòng)畫(huà)演示相結(jié)合，能幫助學(xué)生建立動(dòng)態(tài)表象，有效地培養(yǎng)空間觀念，但這個(gè)有效性可否檢測(cè)出來(lái)？可以通過(guò)什么樣的途徑或方式加以檢測(cè)？還有，我們所認(rèn)為的幫助孩子積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這經(jīng)驗(yàn)卻又看不見(jiàn)、摸不著，如何得以體現(xiàn)？這些都值得我們進(jìn)一步進(jìn)行研究。endprint