☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 陸 燁

教學(xué)中，我們經(jīng)常聽到某些同行抱怨，學(xué)生知其然不知其所以然.這其實(shí)是學(xué)生的理解出現(xiàn)了問題，學(xué)生的任何一項(xiàng)學(xué)習(xí)都需要理解，就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)理解是否有著更加深刻的內(nèi)涵呢？這又給我們的教學(xué)帶來怎樣的啟示呢？以下是筆者的思考.

一、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)是對結(jié)構(gòu)和形式的研究，是一種模式的科學(xué)，它可以分為代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等.高度的抽象性與嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識并非只是靜態(tài)的存在，其核心中蘊(yùn)含著一系列具有延伸性質(zhì)，并具有相互影響的邏輯關(guān)系.從數(shù)學(xué)知識的特殊性出發(fā)，數(shù)學(xué)理論研究者將數(shù)學(xué)理解分成兩類：“工具性理解”與“關(guān)系性理解”.

所謂“工具性理解”，這主要是從語義的角度展開理解，即某數(shù)學(xué)符號所表征的事物是什么，或某一規(guī)律對應(yīng)的具體操作步驟是怎樣的.比如，復(fù)數(shù)的概念理解就是需要明確復(fù)數(shù)是什么數(shù)，可以有怎樣的形式進(jìn)行表達(dá)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是怎樣的等.

所謂“關(guān)系性理解”，這主要是從工具性理解出發(fā)，除有關(guān)符號意義及替代物結(jié)構(gòu)的認(rèn)識以外，我們還需認(rèn)識怎樣獲取指代物的意義，并且對獲取過程的邏輯關(guān)系進(jìn)行理解和認(rèn)識.比如，針對“直線與平面平行”的工具性理解，就是直線和平面之間不存在公共點(diǎn)；可以通過直線與平面的平行關(guān)系，確認(rèn)直線與直線平行；可以通過直線與直線平行的關(guān)系，確認(rèn)直線與平面平行.而關(guān)系性理解，就是建立線面平行、線線平行和面面平行相互之間的關(guān)系，并通過有關(guān)的定理實(shí)現(xiàn)有效建構(gòu).比如，已知某直線l和某平面α平行，則可以確認(rèn)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和該直線l平行，在平面內(nèi)選取某點(diǎn)A，則點(diǎn)A與直線l所確定的平面β和平面α的交線即為與該直線l平行的直線.

二、數(shù)學(xué)理解對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

1.從系統(tǒng)的層面來整體化設(shè)計(jì)教學(xué)

數(shù)學(xué)知識的生成往往有兩種方式，一種是自下而上的概括生成，比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念等；另一種是從上而下演繹而成，比如，線面平行的基本性質(zhì)和判定定理等.在教學(xué)過程中，教師只有真正地站在系統(tǒng)的層面對數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行整體性的設(shè)計(jì)，才能有效把握知識邏輯方面的起點(diǎn)和增長點(diǎn)，進(jìn)而讓學(xué)生明確知識間的有關(guān)聯(lián)系.為了引導(dǎo)學(xué)生逐步建立新舊知識之間的聯(lián)系，教師還要選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法.只有當(dāng)教師從系統(tǒng)的層面來設(shè)計(jì)教學(xué)，他們才能對學(xué)生理解知識的路線進(jìn)行規(guī)劃，才能創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的銜接點(diǎn)，進(jìn)而提升學(xué)生對知識的理解能力，促進(jìn)學(xué)生對知識的縱橫理解.

比如，在對三角函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)時，教師要意識到三角函數(shù)的定義是其邏輯起點(diǎn)，無論是同角三角函數(shù)的關(guān)系，還是誘導(dǎo)公式，亦或是函數(shù)圖像，這些都是從最基本的定義衍生而來，因此定義應(yīng)該是以上知識的關(guān)鍵點(diǎn)和增長點(diǎn).教學(xué)過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)與幾何兩個角度來掌握定義，并由此生成一系列知識，同時還要幫助學(xué)生理順相關(guān)知識之間的關(guān)系，深刻領(lǐng)會相關(guān)的銜接點(diǎn).因?yàn)榻⑿轮倪^程其實(shí)也就是鞏固和強(qiáng)化舊知的過程，這不僅有助于學(xué)生高效掌握新學(xué)內(nèi)容，也有助于學(xué)生更進(jìn)一步理解舊知識.

教學(xué)中，教師只有從整體層面來設(shè)計(jì)教學(xué)，才能有效把握知識的邏輯關(guān)聯(lián)，進(jìn)而幫助學(xué)生形成更加穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)，并促進(jìn)學(xué)生知識遷移能力的發(fā)展.

2.關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識的形成過程

數(shù)學(xué)知識之間本就具有極強(qiáng)的邏輯關(guān)系，這些關(guān)系縱橫交織，構(gòu)成一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R網(wǎng)絡(luò).因此我們在教學(xué)中要踩準(zhǔn)邏輯起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識的形成過程，這能夠幫助學(xué)生梳理知識關(guān)系，建立良好的認(rèn)知圖式結(jié)構(gòu).

比如，教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念時，就要明確其邏輯起點(diǎn)應(yīng)該是實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，而關(guān)鍵點(diǎn)則為復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的形成過程，教師要讓學(xué)生在具體操作中進(jìn)行體會.教師羅列“2×i-1”、“1.5+（-2×i）”、“”，學(xué)生對這些內(nèi)容進(jìn)行比較、分析和綜合，最終形成對復(fù)數(shù)基本形式的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上，教師再組織學(xué)生對復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)進(jìn)行比較，啟發(fā)學(xué)生對二者的關(guān)系進(jìn)行研究分析，最終引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)數(shù)的二元性進(jìn)行概括，并對“實(shí)部”和“虛部”兩個部分進(jìn)行定義和認(rèn)識.

3.開展數(shù)學(xué)研究方法及思想的教學(xué)

數(shù)學(xué)研究方法及思想是數(shù)學(xué)知識的靈魂所在，這些因素對于數(shù)學(xué)知識具有統(tǒng)攝作用.教師在教學(xué)中幫助學(xué)生習(xí)得研究方法，樹立數(shù)學(xué)思想，就能將原本異常龐大的知識結(jié)構(gòu)壓縮成一個小小的芯片，存儲于學(xué)生的大腦中，這樣的處理顯然會大幅提升學(xué)生的腦容量.正如某些數(shù)學(xué)理論研究者所言：和對數(shù)的引入大幅延長數(shù)學(xué)家的壽命一樣，數(shù)學(xué)研究方法及其思想則有效擴(kuò)展了大腦的存儲空間.

比如，在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識基本不等式時，我們?nèi)绻龑?dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合的思想來進(jìn)行統(tǒng)攝處理，可以讓他們概括出線段x+y=a（a∈R）與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，則Rt△OAB內(nèi)接矩形面積有最大值（如圖1），當(dāng)且僅當(dāng)形成正方形時有最大的面積.而“積定和有最小值”，從數(shù)形結(jié)合的思想來理解，用雙曲線xy=b（b是非零實(shí)數(shù)）上的某個動點(diǎn)M向著坐標(biāo)軸構(gòu)建垂線可得矩形OBMN（如圖2所示），矩形的周長有最小值等.

圖1

圖2

數(shù)形結(jié)合的思想可以幫助學(xué)生溝通基本不等式與函數(shù)、解析幾何與三角函數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生由此將進(jìn)一步完善知識之間的關(guān)聯(lián)，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生將整合最值的求解方法，他們對基本不等式的理解也將再上一個新的臺階.

三、提升數(shù)學(xué)理解的教學(xué)設(shè)想

1.通過多元表征來提升理解

學(xué)生對知識的獲取都是由其心理表征的建立開始的，作為數(shù)學(xué)知識的代言人，這種心理表征將與其他數(shù)學(xué)概念搭建聯(lián)系，從而建立起多元化的心理表征，一方面，將增大知識聯(lián)結(jié)的數(shù)量，另一方面，這也有助于學(xué)生強(qiáng)化新舊認(rèn)知的整合度.

比如，有關(guān)等差數(shù)列的概念認(rèn)識，我們先讓學(xué)生從文字角度來記住其概念表征，然后再引導(dǎo)學(xué)生從表示式的角度來進(jìn)行表征，還可以在坐標(biāo)系中引導(dǎo)學(xué)生對其展開表征.這些不同的表征將為等差數(shù)列的概念理解創(chuàng)造必要條件，同時不同的表征方式之間又自成體系，方便學(xué)生進(jìn)行圖式建構(gòu)，這樣既能增加等差數(shù)列有關(guān)概念點(diǎn)的聯(lián)結(jié)數(shù)量，還能增強(qiáng)聯(lián)結(jié)的強(qiáng)度.

2.通過變式教學(xué)來強(qiáng)化理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元表征的教學(xué)有助于學(xué)生增加更多的聯(lián)結(jié)數(shù)量，而變式教學(xué)則能強(qiáng)化聯(lián)結(jié)的強(qiáng)度.

比如，在利用基本不等式研究最值問題時，研究的起點(diǎn)是“已知a+b=1（a，b＞0），求ab的最大值”和“已知ab=1（a，b＞0），求a+b的最小值”.我們在變式教學(xué)時，可以這樣來變形“已知，求ab的最大值”，亦可以變形為“已知a+b=1（a，b＞0），求3a+3b的最大值”，還可以變形為“已知lna+lnb=1，求a+b的最小值”等.諸如此類的變式還有很多，教師靈活地進(jìn)行選擇，有效地將其呈現(xiàn)在課堂上，能強(qiáng)化學(xué)生對不等式最值問題的理解，而且學(xué)生還將結(jié)合基本不等式對函數(shù)、幾何等與之相關(guān)知識的聯(lián)結(jié)更加熟悉，這樣的處理有助于學(xué)生理解水平的提升.

3.通過反思過程來增進(jìn)理解

主動而深刻的反思能有效增進(jìn)學(xué)生的理解.當(dāng)然，我們也必須認(rèn)識到：如果只有一次反思，學(xué)生很難將有關(guān)認(rèn)識內(nèi)化為自己的心理結(jié)構(gòu).因此，教師要讓反思成為學(xué)生的一種習(xí)慣，而且更要讓學(xué)生領(lǐng)會反思的本質(zhì)，即反思不是簡單的回頭看，它應(yīng)該是學(xué)生以批判性的目光來審視自己的認(rèn)知過程，并由此提煉出認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)新舊知識的重組與整合，進(jìn)而搭建成較為完善的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，最終提升學(xué)生理解的質(zhì)量.

綜上所述，提升數(shù)學(xué)理解是我們教學(xué)的追求，而要實(shí)現(xiàn)這一目的，我們在教學(xué)中要創(chuàng)造廣泛聯(lián)結(jié)的空間，為學(xué)生創(chuàng)造固化聯(lián)結(jié)的機(jī)會，讓學(xué)生在應(yīng)用中深化理解.

1.馬復(fù).數(shù)學(xué)理解的兩種類型［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（3）.

2.趙緒昌.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)思維活動過程的教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1996（4）.F