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        一元不等式的圖像解法及其應(yīng)用

        2018-03-12 09:00:49安徽省宿州市第二中學(xué)柏長勝
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年3期
        關(guān)鍵詞:橫坐標(biāo)作圖交點(diǎn)

        ☉安徽省宿州市第二中學(xué) 柏長勝

        中學(xué)階段常見的一元不等式有整式不等式(一次、二次、高次不等式)、分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式、抽象不等式、含絕對(duì)值的不等式,以及它們之間的組合(或復(fù)合)不等式.因?yàn)檫@些不等式都只含一個(gè)未知數(shù),故可統(tǒng)一地將這些不等式記為f(x)>0(或f(x)<0).從數(shù)的角度看,這些不等式的解法各具特色,多姿多彩;若從函數(shù)圖像角度分析,它們則是統(tǒng)一的:函數(shù)y=f(x)的圖像在x軸上方的部分對(duì)應(yīng)的是f(x)>0,在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的是f(x)<0.因此,從函數(shù)圖像的角度可以找到這些一元不等式的統(tǒng)一解法.

        一、整式不等式的圖像解法

        例1 解下列不等式.

        (1)x2-2x-3>0;(2)x(x+2)(x-3)≥0.

        解析:(1)方法1:方程x2-2x-3=0的根為x=-1或x=3,作出函數(shù)y=x2-2x-3的圖像,如圖1所示.

        當(dāng)x<-1或x>3時(shí),函數(shù)y=x2-2x-3的圖像在x軸的上方,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0,故不等式x2-2x-3>0的解集為{x|x<-1或x>3}.

        圖1

        圖像法解整式不等式的一般流程為:(1)求根,(2)作圖,(3)寫解集.

        因?yàn)槲覀冎魂P(guān)注函數(shù)圖像在x軸上方的函數(shù)值為正的不變性(或圖像在x軸下方的函數(shù)值為負(fù)的不變性)及圖像與x軸的交點(diǎn)的不變性,而不必關(guān)注函數(shù)圖像的其他性質(zhì),因此,只需作出這些函數(shù)的拓?fù)鋱D像(必要時(shí)可以省略y軸)即可,如圖2所示.觀察函數(shù)圖像還可以發(fā)現(xiàn),連續(xù)函數(shù)y=f(x)在由其零點(diǎn)分割的定義域內(nèi)的每一個(gè)區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值符號(hào)都是相同的,因此,可以借助特殊點(diǎn)驗(yàn)證法來確定原不等式的解集.

        圖2

        方法2:函數(shù)f(x)=x2-2x-3的零點(diǎn)為-1和3,其定義域被分成(-∞,-1),[-1,3]和(3,+∞)三個(gè)區(qū)域.

        因?yàn)閒(-2)=5>0,f(0)=-3<0,f(4)=5>0,故不等式x2-2x-3>0的解集為{x|x<-1或x>3}.

        這種解法的一般流程為:(1)求零點(diǎn),(2)分區(qū)間,(3)取值定域,簡記為“零點(diǎn)定界,特殊點(diǎn)定域”.用這兩種方法可以求出高次整式不等式的解集.

        (2)方法1:方程x(x+2)(x-3)=0的根為-2,0,3,作出函數(shù)f(x)=x(x+2)(x-3)的拓?fù)鋱D像,因?yàn)閤→+∞時(shí),函數(shù)f(x)→+∞(或當(dāng)x>3時(shí),f(x)>0),因此,最高項(xiàng)系數(shù)為正的高次函數(shù)的圖像總是從x軸右上方開始(若最高項(xiàng)系數(shù)為負(fù),可以先通過不等式同解變形變?yōu)檎?,如圖3所示.

        圖3

        故原不等式的解集為{x|-2≤x≤0或x≥3}.

        方法2:函數(shù)f(x)=x(x+2)(x-3)的零點(diǎn)為-1,0和3,其定義域被分成(-∞,-2),[-2,0],(0,3)和[3,+∞)四個(gè)區(qū)域.

        因?yàn)閒(-3)<0,f(-1)=4>0,f(1)=-6<0,f(4)>0,故原不等式的解集為{x|-2≤x≤0或x≥3}.

        二、分式不等式的圖像解法

        三、指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的圖像解法

        指數(shù)不等式af(x)>ag(x)(a>0,a≠1)可以等價(jià)變形為相應(yīng)的整式不等式f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1),再運(yùn)用整式不等式的圖像解法即可求出原不等式的解集.對(duì)數(shù)不等式在轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的整式不等式時(shí)要注意真數(shù)大于0.

        四、三角不等式的圖像解法

        圖4

        圖像法解形如sinx≥a(-1≤a≤1)的不等式的一般流程為:(1)作圖(y=sinx與y=a),(2)求交點(diǎn)(一個(gè)周期內(nèi)),(3)寫解集(加上周期整數(shù)倍).

        五、抽象不等式的圖像解法

        由抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式稱為抽象不等式,因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)無具體的解析式,圖像法是解決這類不等式的最佳方法.

        例3已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),對(duì)于任意的兩個(gè)不相等的正數(shù)x1,x2,都有且f(3)=0,則不等式xf(x)<0的解集為________.

        解析:由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(x)為R上的奇函數(shù),故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,且f(0)=0,f(-3)=-f(3)=0,可作出函數(shù)f(x)的拓?fù)鋱D像,如圖5所示.

        圖5

        故不等式xf(x)<0的解集為{x|-3<x<0或0<x<3}.

        圖像法解抽象函數(shù)不等式的一般流程為:(1)分析性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性等),(2)求零點(diǎn),(3)作圖像,(4)寫解集.

        六、復(fù)合不等式的圖像解法

        由復(fù)合函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式稱為復(fù)合不等式,因?yàn)閾Q元法是解決復(fù)合函數(shù)的根本方法,故換元法配合圖像法是解決這類不等式的最佳方法.

        解析:令t=(fa),則(ft)≤2,作函數(shù)y=(ft)與y=2的圖像,如圖6所示.它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2,故不等式(ft)≤2的解集為{t|t≥-2},再求出y=(fa)與y=-2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,故不等式(fa)≥-2的解集為{a|a≤},所以不等式(f(fa))≤2的解集為{a|a≤}.

        圖6

        由本例分析可知,圖像法解形如f(f(x))>a的復(fù)合不等式的一般流程為:(1)作函數(shù)y=f(x)的圖像,(2)令f(x)=t,(3)求出外不等式f(t)>a的解集A,(4)再解內(nèi)不等式f(x)∈A.

        七、含絕對(duì)值不等式的圖像解法

        例5 (2017年全國Ⅰ卷理23)[選修4-5:不等式選講]已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

        (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;

        (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

        解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),分別作出函數(shù)f(x)=-x2+x+4和g(x)=|x+1|+|x-1|=的圖像,如圖7所示.

        圖7

        (2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),g(x)=2.

        所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等價(jià)于當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)≥2,即當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)-x2+ax+2≥0.作函數(shù)F(x)=-x2+ax+2的圖像,如圖8所示,所 以得-1≤a≤1.

        圖8

        所以a的取值范圍為[-1,1].

        圖像法解含絕對(duì)值不等式的一般流程為:(1)作圖(分段函數(shù)),(2)求交點(diǎn),(3)寫解集.

        八、圖像法解不等式的綜合應(yīng)用舉例

        例6(2017年全國Ⅰ卷理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

        圖9

        解析:(1)略.令F(t)=1-t-ln(tt>0),因?yàn)镕′(t)=-1-<0,所以F(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.又F(1)=0,x→0時(shí),函數(shù)F(t)→+∞,作出函數(shù)F(t)的圖像,如圖10所示.

        由圖10可知,不等式1-t-lnt<0的解集為(1,+∞),所以,即0<a<1.

        綜上,a的取值范圍為(0,1).

        另解1:不等式1-t-lnt<0等價(jià)于1-t<lnt,作函數(shù)y=1-t和y=lnt的圖像,如圖11所示.它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,由圖10可知,不等式1-t-lnt<0的解集為(1,+∞),所以>1,即0<a<1.

        綜上,a的取值范圍為(0,1).

        另解2:令F(t)=1-t-lnt,因?yàn)镕(t)只有一個(gè)零點(diǎn)1,且F(e)=1-e-1<0,,所以不等式1-t-lnt<0的解集為(1,+∞).

        綜上,a的取值范圍為(0,1).

        中學(xué)階段的一元不等式從結(jié)構(gòu)形式來看只要掌握兩種類型的解法即可,形如f(x)>0的不等式,其圖像解法的流程為:(1)求零點(diǎn),(2)作圖,(3)寫解集;形如f(x)>g(x)的不等式,其圖像解法的流程為:(1)作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,(2)求交點(diǎn),(3)寫解集.其他類型的不等式都可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為這兩種類型的不等式進(jìn)行求解.

        1.王錫林.一元不等式的統(tǒng)一解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2001(4).

        2.鄭明改.“不等式”統(tǒng)一的解法[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2007(2).

        3.金迅嬰,李書超,王啟學(xué).關(guān)于不等式的統(tǒng)一解法及其應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(5).F

        圖10

        圖11

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