☉甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

新課標(biāo)修訂組認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的，適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過(guò)解題提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是每位同學(xué)都必須面對(duì)的問(wèn)題.本文結(jié)合具體試題來(lái)談一下高中數(shù)學(xué)試題中是如何體現(xiàn)核心素養(yǎng)的.

一、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征.

得1≤x＜2，故答案為［1，2）.

評(píng)注：本題從具體的題設(shè)背景中，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則［f（x）·g（x）］′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），抽象出函數(shù)g（x）=x·f（x），體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)解不等式，屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類的問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵.解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.

例2 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1.

評(píng)注：第（1）問(wèn)中，通過(guò)遞推關(guān)系式構(gòu)造出一個(gè)我們比較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用了演繹推理的方法，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).第（2）問(wèn)運(yùn)用了將分母縮小的放縮法，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，證明不等式的過(guò)程運(yùn)用了演繹推理，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)中的運(yùn)算主要有兩大類：一類是純代數(shù)運(yùn)算；一類是借助幾何圖形進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算.

（1）求橢圓Γ的方程；

（2）直線l與圓O：x2+y2=b2相切于點(diǎn)M，且與橢圓Γ相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|的最大值.

綜上所述，|AB|的最大值為2.

評(píng)注：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，所使用的方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)及弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)的解答過(guò)程中，都是借助幾何圖形進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解析幾何的運(yùn)算通常集“繁、長(zhǎng)、巧”于一體，讓很多同學(xué)望而生畏.究其原因，主要是同學(xué)們?cè)谶\(yùn)算長(zhǎng)度的判斷上出了問(wèn)題：不能預(yù)估選擇的解題方向會(huì)有怎樣的運(yùn)算及運(yùn)算長(zhǎng)度.若在解題過(guò)程中，同學(xué)們能認(rèn)識(shí)到解題環(huán)節(jié)產(chǎn)生的運(yùn)算，并通過(guò)分析進(jìn)行合理的調(diào)控，更深入地理解算理，這樣才可以提高運(yùn)算的靈活性.

四、數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng).主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.

例4 （河南省長(zhǎng)葛市一高2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數(shù)量（單位：千輛）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，在調(diào)查過(guò)程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：

租用單車數(shù)量x（千輛） 2 3 4 5 8每天一輛車平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲：，方程乙（1）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)：①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）（備注：e^i=yi-y^i，e^i稱為相應(yīng)于點(diǎn)（xi，yi）的殘差（也叫隨機(jī)誤差））；

租用單車數(shù)量x（千輛） 2 3 4 5 8每天一輛車平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7模型甲 估計(jì)值y^i 2.4 2.1 1.6殘差e^i 0 -0.1 0.1模型乙 估計(jì)值y^i 2.3 2 1.9殘差e^i 0.1 0 0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并通過(guò)比較Q1，Q2的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

（2）這個(gè)公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，這個(gè)城市投放8千輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.6，0.4；投放1萬(wàn)輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.4，0.6.問(wèn)：該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本，利潤(rùn)=收入-成本）.

分析：（1）①通過(guò)對(duì)回歸方程的計(jì)算可得兩種模型的估計(jì)值y^i，代入e^i=yi-y^i，即可得殘差；②計(jì)算可得Q1，Q2，比較Q1與Q2的大小可知哪種模型的擬合效果更好；（2）分別計(jì)算投放8千輛和1萬(wàn)輛時(shí)該公司一天獲得的總利潤(rùn)，即可得結(jié)論.

解：（1）①經(jīng)計(jì)算，可得下表：

租用單車數(shù)量x（千輛） 2 3 4 5 8每天一輛車平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7模型甲 估計(jì)值y^i 3.1 2.4 2.1 1.9 1.6殘差e^i 0.1 0 -0.1 0 0.1模型乙 估計(jì)值y^i 3.2 2.3 2 1.9 1.7殘差e^i 0 0.1 0 0 0

②Q1=0.12+（-0.1）2+0.12=0.03，Q2=0.12=0.01. 因?yàn)镼1＞Q2，故模型乙的擬合效果更好.

（2）若投放量為8千輛，則公司獲得每輛車一天的收入期望為10×0.6+6×0.4=8.4，所以一天的總利潤(rùn)為（8.4-1.7）×8000=53600（元）.

所以投放1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)，應(yīng)該增加到投放1萬(wàn)輛.

評(píng)注：本題主要考查了回歸模型的殘差分析及概率中的數(shù)學(xué)期望.本題主要涉及數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).其中第（1）問(wèn)的第①小問(wèn)中分別計(jì)算模型甲和模型乙的估計(jì)值和殘差，可以看成是數(shù)據(jù)分析中的整理數(shù)據(jù)和提取信息；第（1）問(wèn)的第②小問(wèn)中計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并比較Q1，Q2的大小，可以看成數(shù)據(jù)分析中的構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論，最終得出的結(jié)論是模型乙的擬合效果更好.第（2）問(wèn)中，利用模型，計(jì)算每輛車一天收入的數(shù)學(xué)期望，再計(jì)算出總利潤(rùn)，比較利潤(rùn)大小，得出選擇投放1萬(wàn)輛.

五、直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象活動(dòng)的思維基礎(chǔ).

例5 （云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2018屆高考適應(yīng)性月考）如圖1，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C與平面A1ADD1及平面ABCD所成角分別為30°，45°，M，N分別為A1C與A1D的中點(diǎn)，且MN=1.

圖1

（1）求證：MN⊥平面A1ADD1；

（2）求二面角A-A1C-D的平面角的正弦值.

分析：（1）根據(jù)中位線定理可得MN//CD，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得CD⊥平面A1ADD1，從而可得結(jié)果；（2）以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出平面A1CD與平面A1AC的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角的余弦公式及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，可得結(jié)果.

解：（1）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镸，N分別為A1C，A1D的中點(diǎn)，所以MN為△A1CD的中位線，所以MN∥CD.

又因?yàn)镃D⊥平面A1ADD1，所以MN⊥平面A1ADD1.

（2）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镃D⊥平面A1ADD1，所以∠CA1D為A1C與平面A1ADD1所成的角，即∠CA1D=30°.

又因?yàn)锳1A⊥平面ABCD，所以∠A1CA為A1C與平面ABCD所成的角，即∠A1CA=45°.

所以MN=1，CD=2，A1C=4，A1A=，AC=.

如圖2，分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，所以A（0，0，0），D（0，2，0），C（12，，C（2，2，0），B（2，0，0）.

圖2

評(píng)注：本題主要考查線面垂直的判定、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，從而建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組，求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.本題第（1）問(wèn)利用幾何直觀，借助題設(shè)和圖形中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系，利用了線面垂直的性質(zhì)定理證明了線面垂直.第（2）問(wèn)利用幾何直觀建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，體現(xiàn)出直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

六、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).

例6（江蘇省常州市橫林高級(jí)中學(xué)2017～2018學(xué)年第一學(xué)期高三月考）某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個(gè)水平放置的直四棱柱形儲(chǔ)水器（如圖3），其中直四棱柱的高AA1=10m，兩底面ABCD與A1B1C1D1是高為2m，面積為10m2的等腰梯形，且若儲(chǔ)水窖頂蓋每平方米的造價(jià)為100元，側(cè)面每平方米的造價(jià)為400元，底部每平方米的造價(jià)為500元.

圖3

（1）試將儲(chǔ)水窖的造價(jià)y表示為θ的函數(shù)；

（2）該農(nóng)戶如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)水窖，才能使得儲(chǔ)水窖的造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元？（取=1·73）

分析：（1）過(guò)A作AE⊥DC，垂足為E，令A(yù)B=x，先將x用θ表示，再求出CD，即可將儲(chǔ)水窖的造價(jià)y表示為θ的函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出θ為何值時(shí)有最小值，從而可得如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)水窖，才能使得儲(chǔ)水窖的造價(jià)最低.

解：（1）如圖4，過(guò)A作AE⊥DC，垂足為E，則AE=2，

圖4

答：當(dāng)∠ADC=60°時(shí)，造價(jià)最低，最低造價(jià)為51840元.

評(píng)注：本題主要考查閱讀能力及數(shù)學(xué)建模能力、函數(shù)的解析式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.解答本題的根據(jù)是將儲(chǔ)水窖的造價(jià)y表示為θ的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)求最小值.本題也考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí).

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京:人民教育出版社，2017.F