張誠

摘 要 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要思維的發(fā)散，但在學(xué)習(xí)中許多學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是發(fā)而不散，導(dǎo)致數(shù)學(xué)解題的頻繁失誤。教師在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多用“變式”來破除“定式”，衰減“思維慣性”。本文通過對(duì)一道中考試題的“典型失誤”的統(tǒng)計(jì)和分析，提出了突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)散障礙的教學(xué)和命題建議。

關(guān)鍵詞 思維慣性 發(fā)散性思維 圖形表達(dá) 具體化

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生的思維不能很好地發(fā)散的原因是多方面的。通過一道試題“典型失誤”的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題解決的發(fā)散性思維主要發(fā)生在問題具體化的過程中。就命題的角度而言，應(yīng)當(dāng)特別注意圖形表達(dá)的具體化特征，避免具體圖形給學(xué)生的發(fā)散性思維帶來不必要的干擾。

二、一個(gè)“典型失誤”及其中隱含的問題

本題第（2）小題和第（3）小題都需要分兩種情形解答。其中，第（2）小題需要分別考慮P點(diǎn)在y軸左側(cè)與右側(cè)的情形；第（3）小題需要分別考慮P點(diǎn)在x軸上方和下方的情形。然而，閱卷過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在本題最為典型的解題失誤就是在這兩小題中只針對(duì)一種情形作答。

隨著閱卷數(shù)量的增加，筆者發(fā)現(xiàn)上述“典型失誤”還呈現(xiàn)出兩個(gè)明顯的特點(diǎn)。一是“只針對(duì)一種情形作答”的考生在第（2）小題集中于“P在y軸右側(cè)”這種情形，在第（3）小題集中于“P在x軸下方”的情形。二是考生的上述失誤現(xiàn)象在第（2）小題上表現(xiàn)得比第（3）小題要嚴(yán)重很多。筆者對(duì)此作了粗略統(tǒng)計(jì)，在第（3）小題有所得分的學(xué)生中，約有35%的學(xué)生想到了P在x軸上方的情形。而在第（2）小題中，只有約10%的學(xué)生想到圓心P在y軸左側(cè)的情形。

分析本題的第（2）和第（3）小題容易發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)小題雖然考查的知識(shí)點(diǎn)不同，但是對(duì)思維的發(fā)散性要求并無區(qū)別。如果學(xué)生在第（2）小題中“想不到兩種情形”，那么在第（3）小題中也會(huì)有同樣表現(xiàn)。但事實(shí)表明，學(xué)生在兩小題上的發(fā)散性思維存在著較大的差別。為什么學(xué)生只想到一種情形，并且集中于某一種情形？為什么學(xué)生在（2）、（3）兩小題上的發(fā)散性思維表現(xiàn)出明顯的差異？

三、原因分析

統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，在第（2）小題，學(xué)生的認(rèn)知局限于“P在y軸右側(cè)”這一情形。一個(gè)重要的原因是這一情形相對(duì)于另外一種情形（“P在y軸左側(cè)”情形）更契合學(xué)生的一個(gè)“思維慣性”。這個(gè)“思維慣性”就是我們對(duì)“P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)”這一條件作內(nèi)部具象化表征時(shí)，往往習(xí)慣于將點(diǎn)P置于A、B兩點(diǎn)中間。更為重要的原因是，試題在條件陳述之外提供了“圖1”，而從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，其中⊙P的位置（點(diǎn)P位于A、B兩點(diǎn)中間）恰好又契合了上述“思維慣性”，這就有意無意地將“思維慣性”作了一次強(qiáng)化。觀察圖1還發(fā)現(xiàn)，其中⊙P的位置非常接近于第（2）小題“⊙P過點(diǎn)B”這一題設(shè)條件。在學(xué)生對(duì)第（2）小題的題設(shè)條件進(jìn)行感知時(shí)，圖1幾乎可以直接成為問題的具體化表征。這就使得學(xué)生在問題感知之后，完全跳過了對(duì)“題設(shè)條件作發(fā)散性思考”這一步，直接進(jìn)入到具體問題的分析階段。也就是說，學(xué)生在第（2）小題中“一邊倒”式地定式于“P在y軸右側(cè)”這一情形，有主觀上的“思維慣性”作用，更有試題表述所帶來的慣性強(qiáng)化與問題表征的“導(dǎo)向”作用。

到第（3）小題，主觀上的那個(gè)“思維慣性”以及圖1的慣性強(qiáng)化作用依然是存在的，所以很多學(xué)生只針對(duì)“P在x軸下方”這一情形作答。但是，與第（2）小題不同的是，圖1中P點(diǎn)所處的位置與第（3）小題中“⊙P與x軸相切”這一題設(shè)條件相去甚遠(yuǎn)，學(xué)生在第（3）小題的問題感知之后，需要根據(jù)題設(shè)條件自主建構(gòu)問題的具體化表征。在學(xué)生“自主建構(gòu)具體化的問題表征”時(shí)，“對(duì)條件作發(fā)散性思考”這一智力動(dòng)作就有可能發(fā)生，從而使得部分學(xué)生意識(shí)到“兩種情形”的存在。也就是說，在第（3）小題中，圖1所起到的思維干擾與誤導(dǎo)作用要比第（2）小題小很多。這就是學(xué)生在兩小題上的發(fā)散性思維表現(xiàn)出較大的差別的主要原因。

總結(jié)以上分析，筆者認(rèn)為學(xué)生在本題表現(xiàn)出的“思維不發(fā)散”，主要是兩個(gè)方面的原因。一是主觀上的“思維慣性”作用；二是試題提供的配圖在客觀上起到了“慣性強(qiáng)化”作用。如果本題不提供配圖，而完全采取文字描述的方式，反而更有助于學(xué)生的發(fā)散性思維，并且這種發(fā)散性思維在第（2）和第（3）小題上也就不會(huì)表現(xiàn)出太大的差別。

四、啟示

1.在問題解決的過程中保持批判意識(shí)，有助于突破思維囿限

通過對(duì)“典型失誤”的分析，筆者認(rèn)為，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題的發(fā)散性思維主要發(fā)生在命題感知之后的具體化過程中。通常情況下，一個(gè)數(shù)學(xué)命題需要經(jīng)歷“命題感知（理解題意）——具體化（構(gòu)建抽象命題的具體對(duì)象）——具體問題解決——反思與總結(jié)（基于具體對(duì)象的概括，回到抽象）”的過程。在這個(gè)過程中，“具體化”就是指將抽象的試題陳述對(duì)應(yīng)為具體的圖形表達(dá)或符號(hào)表達(dá)。也就是說，從抽象對(duì)象到具體對(duì)象轉(zhuǎn)換的時(shí)候，最需要發(fā)散性思維的介入。一旦具體化過程結(jié)束，進(jìn)入到具體問題解決階段，個(gè)體的思維就會(huì)集中于具體情形的分析，從而很難跳出具體情形的思維囿限。能否突破這個(gè)囿限，很大程上取決于個(gè)體思維的批判性。由此帶來的啟示就是在問題解決的全過程中，不斷提醒自己：我是否忽略了什么？當(dāng)前的情形是否具有一般性？是否還存在著另一種情形或另一個(gè)方面？……這種批判意識(shí)的保持，能促進(jìn)我們及時(shí)回顧與反思，進(jìn)而使“丟失的一般性”有可能被意識(shí)到。

2.日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多用“變式”來破除“定式”，衰減“思維慣性”

所謂“思維慣性”，也就是認(rèn)知心理學(xué)上所說的“思維定勢(shì)”和“功能固著”。它產(chǎn)生的一個(gè)重要的原因就是過往的學(xué)習(xí)中知識(shí)的非本質(zhì)屬性被泛化。比如，在“三角形”這一概念的學(xué)習(xí)中，我們總是習(xí)慣于畫出一個(gè)銳角三角形，這就使“銳角”這一非本質(zhì)屬性被泛化了，從而學(xué)生對(duì)“三角形”這一概念的內(nèi)部和外部表征都定式于“銳角三角形”。在上述試題中，學(xué)生對(duì)“P是直線AB上一點(diǎn)”這個(gè)題設(shè)條件產(chǎn)生的“思維慣性”，原因就在于在日常教學(xué)中，也是習(xí)慣于將“P置于A、B兩點(diǎn)之間”的。也就是說，“學(xué)”的慣性與“教”的慣性是“一脈相承”的。要想學(xué)生“學(xué)”得發(fā)散，教師首先要做到“教”得發(fā)散。因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)特別注意運(yùn)用“變式”。所謂“變式”就是指保持對(duì)象的本質(zhì)屬性不變，而將其非本質(zhì)屬性作盡可能的變化。這樣既能防止非本質(zhì)屬性的泛化，又有助于本質(zhì)屬性的凸顯。更為重要的是，變式的過程其實(shí)也就是發(fā)散思維的過程，它能有效地通過教師“發(fā)散性地教”促進(jìn)學(xué)生思維的廣闊性，使學(xué)生習(xí)慣于全面地、多角度地看待問題。

3.命題時(shí)應(yīng)注意圖形表述的“具體化”特點(diǎn)

學(xué)生在上述試題的第（2）和第（3）小題中表現(xiàn)出明顯的發(fā)散性思維差異，一個(gè)重要的原因是“圖1”的“思維導(dǎo)向”作用?？梢钥隙ǖ氖?，命題者在試題文字表述之外提供“圖1”的初衷，是為了讓學(xué)生更好地理解題意。但是，命題者在提供圖1的同時(shí)卻沒有意識(shí)到圖1又在無意中“框”住了學(xué)生的發(fā)散性思維。我們對(duì)照試題的文字表述與圖形表述會(huì)發(fā)現(xiàn)，文字表達(dá)是通過文字或符號(hào)的指代意義來間接地表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，這一特點(diǎn)使它具有抽象的表達(dá)效果，而圖形表達(dá)是對(duì)關(guān)系結(jié)構(gòu)的直接描述，它必然是具體的。因此，我們?cè)诿}的過程中如果要用圖形來表達(dá)題意的話，就要特別注意圖形表達(dá)的“具體化”特點(diǎn)。如果一個(gè)試題打算將學(xué)生的思維發(fā)散性作為一個(gè)考查指向的話，那么，試題在表述中就要特別注意對(duì)“配圖”的使用，防止其帶來的不必要的思維干擾。事實(shí)上，如果命題者有意將“思維的發(fā)散性”作為能力考查的一個(gè)指向，上述題目完全可以不配圖，將“具體化”的過程完全留給學(xué)生。

【責(zé)任編輯 郭振玲】endprint