陜西省三原縣東郊中學(xué) 張小院

分式方程是初中階段“數(shù)與代數(shù)”體系中方程部分的重要內(nèi)容，是學(xué)生通過學(xué)習(xí)建立方程思想的重要過程，只有正確地理解和掌握整式方程的相關(guān)知識才能學(xué)好分式方程.因此，分式方程的研究綜合了前面學(xué)習(xí)過的整式方程的知識，同時(shí)又為后繼的內(nèi)容做了奠基，起到了承前啟后的作用.但在各層次的聽課中，發(fā)現(xiàn)部分施教者在進(jìn)行《分式方程》的教學(xué)中，尚存些許對教材知識理解不透徹，不全面，造成教學(xué)失誤，影響學(xué)生對知識的正確、全面理解，制約學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。現(xiàn)就施教中出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)做如下整理和解析，希望能對大家在這方面的教學(xué)中有所幫助。

一、關(guān)于字母的取值

案例：若分式方程的解為正數(shù)，求a的取值范圍。

錯(cuò)誤教法：

解：原方程可化為：x=2(x-4)+a

x=2x-8+a

x-2x=-8+a

-x=-8+a

X=8-a

∵ 分式方程的解為正數(shù)

∴ x>0

∴8-a>0

∴a＜8. 所以a的取值范圍為：a＜8.

出錯(cuò)原因：只考慮了此分式方程的解為正數(shù)而未考慮有解時(shí)最簡公分母不為0，也就是分式方程要有解的前提條件。（即x-4≠0，x≠4）。

正確教法：

解：原方程可化為： x=2(x-4)+a

x=2x-8+a

x-2x=-8+a

-x=-8+a

X=8-a

∵ 分式方程的解為正數(shù)

∴ x>0且x-4≠0，即x>0且x≠4

∴8-a>0且8-a≠4

∴a＜8且a≠4

所以a的取值范圍為：a＜8且a≠4

二、分式方程無解

案例：若關(guān)于x的分式方程無解，求m的值。

錯(cuò)誤教法：

解：去分母得：x(2m+x)-x(x-3)=2(x-3)

∵ 分式方程無解

∴ 分式方程有增根

即x(x-3)=0

∴增根為x=0或x=3

把x=0和x=3分別代入x(2m+x)-x(x-3)=2(x-3)中，得：

m=

∴m的值為

出錯(cuò)原因：無解可能是分式方程無解即有增根，也可能化成的整式方程無解。

三、分式方程有增根

案例：若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）

A、0和3 B、1 C、1和-2 D、3

錯(cuò)誤教法：將分式方程化為整式方程x（x+2）-(x-1)(x+2)= m后，直接將增根x=1和x=-2代入轉(zhuǎn)化的整式方程，求出m的值分別為0和3.故選A。

錯(cuò)誤原因：，未將求出的m值代入原分式方程進(jìn)行驗(yàn)證。將m=0代入原分式方程后，原分式方程為：

此時(shí)，分式方程無解，與增根x=-2矛盾。

故m=0不符合題意，舍去。

教法總結(jié)：

第一，若關(guān)于某一未知數(shù)的分式方程有（正數(shù)、負(fù)數(shù)或非整數(shù)、非負(fù)數(shù)）解時(shí)，要確定某個(gè)字母的取值或取值范圍，不但要使表示未知數(shù)的含這一字母的代數(shù)式滿足正數(shù)、負(fù)數(shù)或非整數(shù)、非負(fù)數(shù)，還要排除使分時(shí)方程無解時(shí)含這一字母的代數(shù)式的值；

第二，分式方程的無解，與分式方程有增根存在著本質(zhì)的區(qū)別，但在教學(xué)中部分教師確將分式方程無解理解為有增根，這是極其錯(cuò)誤的，增根是使分式方程最簡公分母為0的未知數(shù)的值。它說明分式方程化簡為的整式方程有解，但這個(gè)解使分式的最簡公分母為0，即此未知數(shù)的解為分式方程的增根，而無解有兩種情況，即化成的整式方程無解和分式方程有增根；

第三，在針對分式方程有增根求某字母值時(shí)，若分式方程有多個(gè)增根時(shí)，先按照解分式方程的方法將分式方程化成整式方程，然后解此整式方程，即用含某一字母的代數(shù)式表示出未知數(shù)，再將分式方程的增根分別代入表示未知數(shù)的含某一字母的代數(shù)式，得到關(guān)于這一字母為未知數(shù)的方程，解這個(gè)方程便得到這一字母的值后，最后一定要將該字母值代入原分式方程進(jìn)行驗(yàn)證。若該字母的值能使原分式方程產(chǎn)生增根，說明此字母值存在，若不能產(chǎn)生增根，則說明此字母值不存在，從而確定出滿足要求的該字母的值。