由文心

（吉林省臨江市第二中學(xué)）

在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師所采用的方法是多種多樣的，但是考慮到數(shù)學(xué)課程自身抽象性的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想是受到更多的數(shù)學(xué)教師認(rèn)可的。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，大多數(shù)老師都會(huì)采用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)展開(kāi)整節(jié)課的講解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生的理解水平，幫助學(xué)生解決遇到的各種難題。所以本文主要就是分析在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題

集合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的入門(mén)內(nèi)容，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在集合這一內(nèi)容中包含了數(shù)學(xué)中的很多理念。但是由于集合本身所具有的邏輯性，使得很多學(xué)生在學(xué)習(xí)集合的過(guò)程中出現(xiàn)問(wèn)題。而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用有效地解決了這些問(wèn)題。究其原因，主要是集合中的大部分知識(shí)，比如關(guān)系交集、并集以及補(bǔ)集等等都是間接地和圖形相互聯(lián)系的，并且基礎(chǔ)的表達(dá)式比如{A,B,C}也與圖形息息相關(guān)。在實(shí)際的解題過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合的思想能夠有效地解決集合的問(wèn)題，換言之，就是將集合關(guān)系轉(zhuǎn)化成為關(guān)系圖形，這樣更加形象化，有利于學(xué)生的理解。

正如平時(shí)所常用到的方法，數(shù)形結(jié)合在解決集合問(wèn)題的時(shí)候是以兩種方式體現(xiàn)的，一種就是數(shù)軸，這是很有效且很方便的一種圖形。而另外一種則是韋恩圖。與數(shù)軸相比，韋恩圖能夠更加清晰地展示出各個(gè)集合之間存在的關(guān)系，使得最后的結(jié)合更加直觀和形象，而數(shù)軸僅僅是能夠表示出大概的關(guān)系。比如，在對(duì)集合A和集合B之間存在的包含關(guān)系分析的時(shí)候，由于其中關(guān)系到了不等式的問(wèn)題，所以利用數(shù)軸的方法更加簡(jiǎn)單和直接。而用韋恩圖進(jìn)行分析的問(wèn)題一般都是趨向于數(shù)型集合這類(lèi)問(wèn)題，這種方法能夠更加具體地將條件以圖形的形式展示出來(lái)。

例如一道題目：“在一次學(xué)校組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，總共給出了三個(gè)題目，分別是1，2，3。那么參賽的人數(shù)總共有25個(gè)，其中所有的人都必須至少選做一個(gè)題目。最后經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)可以知道，在1題答錯(cuò)的人數(shù)中，答對(duì)第2題的人數(shù)是答對(duì)第3題人數(shù)的2倍。而答對(duì)第1個(gè)題的人數(shù)比余下的人數(shù)多一個(gè)。而只答對(duì)一道題目的學(xué)生的總?cè)藬?shù)中有一半的學(xué)生沒(méi)有答對(duì)第1題。請(qǐng)問(wèn)有幾個(gè)學(xué)生答對(duì)了第2題？”這個(gè)問(wèn)題在剛開(kāi)始分析的時(shí)候可能會(huì)感覺(jué)到關(guān)系非常復(fù)雜，條理也并不是非常清晰，尤其是那些邏輯思維比較差的學(xué)生就會(huì)感覺(jué)難度非常大。但是借助韋恩圖進(jìn)行分析，就會(huì)更加直觀。其中的三個(gè)圓分別表示答出三個(gè)題目的人數(shù)，比如可以將其中的A、B、C作為每一個(gè)題目答對(duì)的人數(shù)，而a，b，c，d，f，e，g則是代表著答對(duì)一個(gè)題目以上的人數(shù)。隨后將題目中的數(shù)字帶入展開(kāi)分析即可。

二、數(shù)形結(jié)合解決方程和不等式問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最為常見(jiàn)也是最為重要的一個(gè)圖形工具就是坐標(biāo)系。由于坐標(biāo)系的存在，具有高度的空間性以及抽象性的知識(shí)都可以變得更加直觀，極大地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。尤其是針對(duì)方程以及不等式等的問(wèn)題，坐標(biāo)系的存在就發(fā)揮了非常大的作用。利用坐標(biāo)系解決問(wèn)題的方法主要是通過(guò)分析方程或者是不等式兩邊的式子，將其繪制成坐標(biāo)圖，標(biāo)注重要的數(shù)字及信息，最后通過(guò)分析繪制成的圖像就能夠簡(jiǎn)化方程和不等式的問(wèn)題。

比如，在針對(duì)這一方程sin2x=log5x的時(shí)候，求這一方程的解有多少個(gè)？這一問(wèn)題看似非常復(fù)雜，但是學(xué)生通過(guò)分析方程，并將其繪制成坐標(biāo)系圖，直接將兩邊的函數(shù)繪制成兩個(gè)圖像，最后只需要觀察這兩個(gè)圖像之間有多少個(gè)相交的點(diǎn)即可得到答案，不僅方便解答，而且準(zhǔn)確度高。

三、數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)極值問(wèn)題

在高中階段，函數(shù)的極值問(wèn)題也是這一節(jié)內(nèi)容中常見(jiàn)的題目，而極值的求解就是不等式的解決方法，即借助圖形繪制來(lái)完成。

比如，對(duì)于不等式（a+b）2≥0，想要求得最后的極值，那么最簡(jiǎn)單的方法就是將這一不等式轉(zhuǎn)化為圖形的形式，不僅可以減少不必要的大量的計(jì)算，還能夠有效地提升準(zhǔn)確率。

又如，方程 x2+y2+2x=0，求（x-1）2+（y+1)2的最小值。如果對(duì)于這道題用普通的計(jì)算方法，那么計(jì)算的過(guò)程是非常復(fù)雜的，首先要從第一個(gè)方程給出的條件中確定x與y的關(guān)系以及兩者的取值范圍，隨后還要借助第二個(gè)方程進(jìn)行大量的運(yùn)算。而在實(shí)際的解題中，學(xué)生在計(jì)算中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)很多的問(wèn)題，降低準(zhǔn)確率。所以可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，繪制出如上圖所示的圖形，這樣就有效地將極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了圖形問(wèn)題。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，能夠極大地減少不必要的計(jì)算，降低問(wèn)題的復(fù)雜程度，提高計(jì)算的準(zhǔn)確率。數(shù)形結(jié)合在以后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該被廣泛地采用，使問(wèn)題更加直觀，高中數(shù)學(xué)的解題速度極大地提高。

尚軍.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用探討［J］.廣西教育，2016（42）.