龐雅麗

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職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK的比較研究

龐雅麗1，2

（1．上海師范大學(xué) 教育學(xué)院，上海 200234；2．Texas A & M University 教育學(xué)院，美國 德克薩斯州）

從知識的起源、知識的橫向聯(lián)系、知識的縱向聯(lián)系、知識的本質(zhì)4個維度考查職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK（橫縱向內(nèi)容知識）這類學(xué)科知識的掌握情況．研究發(fā)現(xiàn)，被試的HCK不夠豐富；不同教齡的教師的HCK水平無顯著差異；修過小學(xué)數(shù)學(xué)知識理論類課程的職前教師的HCK水平顯著高于10年內(nèi)教齡的在職教師．基于研究結(jié)果，對職前和在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師教育提出一些建議．

MKT；HCK；小學(xué)數(shù)學(xué)教師

1 問題提出

從20世紀(jì)80年代起，不斷有研究表明，數(shù)學(xué)教師的知識和技能影響著教師的備課、反思、評價等課外教學(xué)實踐以及課堂上的師生互動，進(jìn)而影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程及其學(xué)習(xí)結(jié)果[1-5]．同時，數(shù)學(xué)教師的知識還影響著數(shù)學(xué)教育改革的實施情況，如何促進(jìn)數(shù)學(xué)教師知識的發(fā)展成為一項富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)[6-7]．有中美比較研究表明，中國中小學(xué)數(shù)學(xué)教師具有較強的學(xué)科內(nèi)容知識，其學(xué)科教學(xué)知識的提高主要得益于教學(xué)與在職專業(yè)發(fā)展[8-9]．

然而，隨著研究方法的更新和研究的更精致化，研究者們逐漸發(fā)現(xiàn)，中國數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識并不如想象中的樂觀，存在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)不夠完善、對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)不夠清楚、在一些概念表征和數(shù)學(xué)思維的認(rèn)識上存在偏差等問題[10-12]．那么，在當(dāng)前師范教育改革的形勢下，數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的學(xué)科知識是否可以通過職前教育獲得？在研究如何提高在職數(shù)學(xué)教師知識的同時，研究者們也日益關(guān)注職前數(shù)學(xué)教師的知識儲備．近年來，關(guān)于職前教師應(yīng)該具備怎樣的學(xué)科知識以便為入職做準(zhǔn)備也逐漸成為教師教育工作者討論的焦點[13-16]．

在關(guān)于“數(shù)學(xué)教師需要怎樣的數(shù)學(xué)知識”的研究中，美國密西根大學(xué)的Ball研究團隊提出的MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）模型獲得了較為廣泛的關(guān)注[17]．中國亦有研究者采用這一框架對數(shù)學(xué)教師知識進(jìn)行探索和研究[18-22]．但已有研究中，絕大部分關(guān)注的是初中或高中數(shù)學(xué)教學(xué)所需的數(shù)學(xué)知識，對小學(xué)數(shù)學(xué)的研究較為缺乏．實際上，Ball研究團隊提出MKT模型的初衷正是為了理清小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的數(shù)學(xué)知識，這一模型對MKT的兩大子成分SMK（學(xué)科內(nèi)容知識）和PCK（學(xué)科教學(xué)知識）進(jìn)行了更為細(xì)致的刻畫，其中，將SMK細(xì)化為CCK（一般內(nèi)容知識）、SCK（專門內(nèi)容知識）、HCK（橫縱向內(nèi)容知識）．

教師首先要懂得要教給學(xué)生的知識（CCK），這毋庸置疑．Ball團隊指出，數(shù)學(xué)教學(xué)需要的學(xué)科知識還有兩大特點，拆解性和聯(lián)系性[23]．?dāng)?shù)學(xué)的重要特點之一是它能夠?qū)⑿畔嚎s成抽象的形式，以抽象的符號形式表征概念，也正是由于這種壓縮和抽象帶來的簡化性，才有可能對概念進(jìn)行進(jìn)一步的操作．然而，教師需要能夠?qū)?shù)學(xué)知識進(jìn)行拆解，即，要知其所以然，這正是SCK的范疇．聯(lián)系性是指，教師不僅要建立數(shù)學(xué)不同分支不同內(nèi)容間的橫向聯(lián)系，而且要建立同一主題在不同階段的縱向聯(lián)系，了解隨著時間的推移數(shù)學(xué)是如何發(fā)生發(fā)展變化的．這屬于HCK的范疇．

較為遺憾的是，Ball團隊后來進(jìn)行的實證研究中并沒有涉及HCK．事實上，縱覽近年來關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識的研究，大多關(guān)注的也是CCK和SCK．那么，一個自然的問題就是，在職與職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師對HCK這類學(xué)科知識的掌握情況是怎樣的？這類學(xué)科知識會隨著教學(xué)經(jīng)驗的豐富而增長么？這類學(xué)科知識有可能通過職前教育獲得么？因此，具體研究問題如下：

（1）在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK水平如何？不同教齡教師的HCK水平是否存在差異？

（2）職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK水平如何？哪些方面有待提高？

（3）職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK水平是否存在差異？

2 研究設(shè)計與方法

采用測試調(diào)查的方法，測試卷的編制借鑒了Ball研究團隊深入一線的方法．研究者利用兩年來數(shù)十次到上海多所小學(xué)聽課、評課、參與教學(xué)設(shè)計等機會，收集了小學(xué)數(shù)學(xué)教師在學(xué)科知識方面犯的錯誤、模糊的認(rèn)識、存在的疑問，從中提取了屬于HCK范疇的學(xué)科知識問題，編制了“小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK測試卷”，共17題．基于HCK的內(nèi)涵，將其細(xì)化為知識的起源、知識的橫向聯(lián)系、知識的縱向聯(lián)系、知識的本質(zhì)4個子維度．測試題在各子維度的分布見表1．

在測試題編制過程中，考慮到就小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識而言，HCK難于CCK和SCK，若采用開放式主觀測試題，在職被試可能存在抗拒作答的心理，從而導(dǎo)致回收到大量無效數(shù)據(jù)，故研究全部采用客觀題對被試進(jìn)行測試．研究者與另兩位數(shù)學(xué)教育工作者就各題目所考察的知識點和所屬類別先獨立編碼，后集中商討，最終一致性達(dá)到100%．

表1 測試卷在HCK各子類別的題目分布

研究者選取上海某高校小學(xué)教育專業(yè)理科班2013級與2014級共122名師范生作為職前教師的樣本，隨機選取上海J區(qū)和F區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教師共98名作為在職教師的樣本，其中J區(qū)位于上海市區(qū)，F(xiàn)區(qū)位于上海郊區(qū)，J區(qū)的教學(xué)質(zhì)量和師資水平均高于F區(qū)．在測試前，職前被試已修過高等數(shù)學(xué)類課程和一般教育類課程，2013級修過一門小學(xué)數(shù)學(xué)知識理論類課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》，2014級則未修過這門課，此外職前被試沒有修過任何其它的數(shù)學(xué)教育類課程．測試于2016年春季學(xué)期初完成，收回有效答卷220份，回收率100%．

3 研究結(jié)果與討論

3.1 在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK測試結(jié)果

3.1.1 在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK整體測試結(jié)果

在職教師的HCK測試結(jié)果見表2．各子維度及總的平均得分率均不超過60%，表現(xiàn)尚可的是H4（知識的本質(zhì)），表現(xiàn)最弱的是H3（知識的縱向聯(lián)系）．

表2 在職教師在HCK測試中的得分情況

進(jìn)一步考查H3維度的測試題，其涉及的知識主要是在數(shù)概念發(fā)展的不同階段，其命數(shù)法和記數(shù)法、運算法則、運算的封閉性、運算的互逆性是如何發(fā)展變化的．其中第6題和第9題的正確率均不足30%．?dāng)?shù)與運算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基本、所占比例最大的內(nèi)容，教師需要了解數(shù)集擴充的歷史順序和邏輯順序，才能對小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的起源、數(shù)概念的發(fā)展、不同數(shù)集中運算的不斷發(fā)展變化有更豐富的認(rèn)識．顯然，在職被試在這方面的知識儲備還不足以高屋建瓴地看待小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)與運算，從而更好地組織教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)．

3.1.2 不同教齡的教師HCK水平的差異性

將在職被試按照教齡分為兩組，教齡不足10年的為組1，教齡滿10年及以上的為組2，兩組在職教師在HCK各維度的表現(xiàn)見表3．組2的整體HCK水平高于組1，尤其表現(xiàn)在H1（知識的起源）和H2（知識的橫向聯(lián)系）兩個子維度上．而在H3維度，組2反而低于組1．

表3 不同教齡的教師在HCK測試中的平均得分情況

對兩個教齡組別的被試的平均得分進(jìn)行單因素方差分析，結(jié)果見表4和表5．

表4 不同教齡組別教師測試成績的方差齊性檢驗結(jié)果

Levene’s Test for Equality of Variance的各顯著性值均大于0.05，說明各組數(shù)據(jù)的方差是齊性的．組1的HCK測試成績（=8.85，=1.76）與組2（=9.37，=1.77）之間無統(tǒng)計意義上的顯著差異（=2.143，=0.146 > 0.05）．但就各子維度而言，組2的H1和H2得分均顯著高于組1（H1:=4.341，=0.04 < 0.05；H2:=4.323，=0.04 < 0.05），在H3和H4維度上兩者無統(tǒng)計意義上的顯著差異．

表5 不同教齡教師的測試均值成績的ANOVA結(jié)果

隨著教齡的增長，教學(xué)經(jīng)驗日益豐富，教師可能會更加關(guān)注“知識的起源”和“知識間的橫向聯(lián)系”，以便更合理地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，這兩個維度上的知識會有較明顯的增長．但教齡增長并不會導(dǎo)致教師獲得更多的“知識的縱向聯(lián)系”，從研究結(jié)果看，甚至出現(xiàn)了教齡越長，這類知識越弱的情形．這一方面可能是由于10年以上教齡的教師大多是中師畢業(yè)，即便后來進(jìn)修本科，但在學(xué)科知識的儲備上較為不足；另一方面也說明這類學(xué)科知識很難通過在職教學(xué)經(jīng)歷自然獲得．教齡對教師關(guān)于“知識的本質(zhì)”的認(rèn)識，則基本沒有影響．從整體上來看，隨著教齡的增長，教師的HCK整體水平會有所提高，但并不顯著．

3.2 職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK測試結(jié)果

職前教師的HCK測試結(jié)果見表6．平均得分率最高的是H1維度（知識的起源），其余子維度及總的平均得分率均不超過60%，其中得分最低的是H2（知識的橫向聯(lián)系）．

表6 職前教師在HCK測試中的得分情況

進(jìn)一步考查H2維度的測試題，其涉及的知識主要有自然數(shù)與集合之間、不同運算之間、不同幾何體的度量之間的聯(lián)系．其中，第4題的正確率僅為12%，將近九成的職前被試認(rèn)為“乘法是加法的簡便運算”，而忽略了這僅僅在自然數(shù)范圍內(nèi)成立．H2維度的低得分率表明，職前被試頭腦中的數(shù)學(xué)知識之間的橫向聯(lián)系是非常薄弱的、片面的、亟待提高的．

3.3 職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK水平的差異性

對職前和在職被試的HCK測試平均成績進(jìn)行獨立樣本檢驗，表7顯示，兩組數(shù)據(jù)無顯著差異．

考慮到職前被試分別來自2013級與2014級，在測試之前，2014級尚未修過任何數(shù)學(xué)教育類的課程，而2013級則已修過一門．對2013級職前被試和教齡在10年以內(nèi)的在職被試進(jìn)行獨立樣本檢驗，表8的輸出結(jié)果顯示，2013級職前被試的HCK平均分（=9.50，=1.75）顯著高于10年內(nèi)教齡的在職教師（=8.83，=1.75）（=-2.043，=0.043 < 0.05），尤其表現(xiàn)在H1（2013級：=3.45；10年內(nèi)教齡教師：=2.6）和H3（2013級：=2.19；10年內(nèi)教齡教師：=1.91）兩個子維度．在其余兩個子維度，職前2013級被試略低于10年內(nèi)教齡在職被試．

表7 職前與在職教師HCK平均成績的獨立樣本t檢驗結(jié)果

表8 職前2013級與在職10年內(nèi)教師測試成績的獨立樣本t檢驗結(jié)果

2013級職前被試在“知識的起源”和“知識的縱向聯(lián)系”兩個維度上的較好表現(xiàn)，可能與所修過的一門小學(xué)數(shù)學(xué)知識理論類課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》有關(guān)．該課程系統(tǒng)地講述了小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的主要的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)公式等的來龍去脈．在一名教師從教的前10年是其職業(yè)生涯中的重要成長期，HCK的缺失會影響教師對數(shù)學(xué)的整體把握，進(jìn)而影響教師的數(shù)學(xué)教學(xué)以至其專業(yè)發(fā)展．而研究表明，這類學(xué)科知識是有可能通過職前教育獲得的．

4 研究結(jié)論及啟示

4.1 職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK均不夠豐富

職前教師對數(shù)學(xué)概念的起源有較清晰的認(rèn)識，但對知識間的橫向聯(lián)系的理解極為欠缺．在職教師能較好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，但對知識的縱向聯(lián)系的認(rèn)識比較欠缺．

因此，在職前小學(xué)教師教育課程中，應(yīng)注重數(shù)學(xué)知識間的橫向聯(lián)系，將看似孤立的知識點聯(lián)結(jié)成一張彼此關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)，提高職前教師的學(xué)科素養(yǎng)．在職培訓(xùn)則需加強數(shù)學(xué)知識間的縱向聯(lián)系，特別是某些重要概念的起源、發(fā)生、發(fā)展及變化，了解一定的數(shù)學(xué)史可幫助提升教師這方面的學(xué)科知識．有研究者曾以中學(xué)階段無理數(shù)為例，研究了數(shù)學(xué)史對提升HCK的作用[24]．開展基于數(shù)學(xué)史提升小學(xué)數(shù)學(xué)教師的HCK類學(xué)科知識的行動研究將非常有意義．

4.2 不同教齡教師的整體HCK水平?jīng)]有顯著差異

10年以內(nèi)教齡的教師與10年以上教齡的教師在整體HCK水平上沒有統(tǒng)計意義上的顯著差異．但具體到各子維度，研究發(fā)現(xiàn)，隨著教齡增長，教師關(guān)于知識的起源和知識間的橫向聯(lián)系這兩類學(xué)科知識會有顯著增長，但對知識間的縱向聯(lián)系的理解反而呈下降態(tài)勢．這一結(jié)果再次佐證了在職培訓(xùn)中需加強知識間的縱向聯(lián)系的必要性．

隨著教齡增長，教師的教學(xué)經(jīng)驗日益豐富，有研究表明，對教學(xué)實踐的反思可提升教師的PCK[25]，但其SMK未必會隨著教學(xué)實踐而自然增長．研究顯示，教師的HCK中的某些子成分（知識的本質(zhì)、知識間的縱向聯(lián)系）并不會隨著教齡的增長而自然增長，因此，在職培訓(xùn)應(yīng)避免一把抓，而應(yīng)聚焦教師的薄弱環(huán)節(jié)，設(shè)計相應(yīng)的培訓(xùn)方案，有針對性地提升教師的HCK．

4.3 修過小學(xué)數(shù)學(xué)知識理論類課程的職前教師HCK水平顯著高于10年內(nèi)教齡的教師

職前被試與在職被試的HCK水平無顯著差異．但當(dāng)考查修過小學(xué)數(shù)學(xué)知識理論類課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》的2013級被試這一群體時，研究發(fā)現(xiàn)，這些職前教師的HCK水平顯著高于10年內(nèi)教齡的在職教師．在職教師或許從在職培訓(xùn)中也可零星獲得一些小學(xué)數(shù)學(xué)理論知識，但缺乏系統(tǒng)性，效果并不佳．

這從一定程度上表明，HCK可以通過職前獲得，從而為師范生入職后的專業(yè)發(fā)展提供深厚的學(xué)科基礎(chǔ)．有學(xué)者提出，基于MKT視角，構(gòu)建小學(xué)教育專業(yè)面向HCK的課程《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》和《數(shù)學(xué)史》[26]，這里的研究為這一設(shè)想實施的可行性提供了證據(jù)．如何更好地將提升HCK水平與現(xiàn)有職前數(shù)學(xué)教育類課程進(jìn)行整合，是值得數(shù)學(xué)教師教育工作者當(dāng)下思考的問題．

致謝：感謝美國Texas A&M University李業(yè)平教授對本文寫作的指導(dǎo)．

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Comparative Study of Horizon Content Knowledge between Pre-Service and In-Service Elementary Mathematics Teachers

PANG Ya-li1, 2

(1. Shanghai Normal University College of Education, Shanghai 200234, China; 2. Texas A & M University College of Education, Texas, U. S. A.)

Horizon content knowledge (HCK) of pre-service and in-service elementary mathematics teachers was investigated according to four dimensions as follows: the origin of knowledge, the horizontal connection of knowledge, the longitudinal connection of knowledge, and the essence of knowledge. The findings suggested that participants’ HCK was not rich enough. There was no significant difference in HCK among teachers of different teaching ages. The HCK level of pre-service teachers who had learned elementary mathematics theory course was significantly higher than that of in-service teachers who had been teaching for no more than ten years. Some suggestions about pre-service and in-service elementary mathematics teacher education were provided based on this study.

MKT; HCK; elementary mathematics teachers

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2017–11–01

上海市高校青年教師培養(yǎng)資助計劃項目——職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師MKT的發(fā)展研究（B913113001017）

龐雅麗（1980—），女，山西孝義人，講師，博士，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)、數(shù)學(xué)教師教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）01–0058–04

龐雅麗．職前與在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師HCK的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（1）：58-61．