馮 俊

（陜西省西安市曲江第一中學，陜西 西安）

一、背景

函數(shù)理論在中學數(shù)學中占有十分重要的地位，也是中考數(shù)學中的重點與難點內(nèi)容。而作為函數(shù)理論的入門——函數(shù)的概念，對于很多初中學生來說是很難的。其主要的難點是如何理解“對于任意的而言，都有唯一的值與之對應(yīng)”?，F(xiàn)實生活中有很多函數(shù)的影子，但是對于初學者而言，很難將上述較為晦澀難懂的句子用生活中的例子來解釋。筆者通過教學課堂中的實例將對其思考。

二、教學設(shè)計

（一）教學目標

1.理解函數(shù)的概念，并能從具體事例抽象出函數(shù)概念2.初步學會判斷兩個變量之間的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系

（二）教學重難點

教學重點：函數(shù)的概念

教學難點：實例中函數(shù)概念的抽象

（三）教學設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1.在一個變化過程中，什么叫作變量、常量；什么稱為自變量與因變量？

問題2.在同學們成長過程中，身高與年齡有著怎樣的關(guān)系？

問題3.長度為L的繩子圍成一個長方形，長方形的相鄰兩邊有著一定的關(guān)系嗎？

問題4.移動公司推出了很多套餐活動，每月手機應(yīng)繳納的費用與流量多少之間有著何種關(guān)系？

設(shè)計意圖：回憶初一所學兩個變量之間的關(guān)系：因變量隨著自變量的變化而變化，為引入函數(shù)概念作鋪墊；接下來的三個實例使得學生感受函數(shù)實質(zhì)為兩個變量之間存在著某種變化關(guān)系。

2.實踐探究，形成知識

實驗一：5位同學參與“搶凳子”游戲。制定如下規(guī)則：5位同學有5張凳子。那么每人可以坐一張凳子，用a，b，c，d，e表示5位同學，1，2，3，4，5表示5張凳子；于是人與凳子之間建立如下的對應(yīng)關(guān)系：

不妨稱這種對應(yīng)關(guān)系為“一一對應(yīng)”。

表述關(guān)系：對于任意的一位同學，都有確定的、唯一的一張凳子與之對應(yīng)。

實驗二：5名同學有4張凳子，可以允許兩人坐一張凳子，用a，b，c，d，e表示 5 位同學，1，2，3，4 表示 4 張凳子。于是建立的對應(yīng)關(guān)系如下：

不妨稱這種對應(yīng)關(guān)系為“多對一”。

表述關(guān)系：對于任意的一位同學，都有確定的、唯一的一張凳子與之對應(yīng)。（而對于與而言，都對應(yīng)號座位）

實驗三：規(guī)定5位同學，可以坐6張凳子，允許某位同學坐兩張凳子。用 a，b，c，d，e 表示 5 位同學，1，2，3，4，5，6 表示 6 張凳子。建立的對應(yīng)關(guān)系如下：

不妨稱這種對應(yīng)關(guān)系為“一對多”。

表述關(guān)系：對于任意的一名同學，不一定有唯一的凳子與之對應(yīng)。

知識構(gòu)成：上述例子中，實驗一、二含有兩個變量，給定其中一個變量（學生），相應(yīng)的就確定了另外一個變量的值。

函數(shù)的概念：一般地，如果在一個變化的過程中有兩個變量x，y，并且對于變量的任意值都有唯一的值與之對應(yīng)。那么，我們稱y是x的函數(shù)；其中x是自變量，y是因變量。

函數(shù)的本質(zhì)：函數(shù)屬于現(xiàn)實生活中的對應(yīng)關(guān)系中的“一對一以及多對一”

設(shè)計意圖：從生活中的游戲出發(fā)，讓學生感受到函數(shù)是身邊中的例子的抽象；同時切實感受函數(shù)的本質(zhì)是生活中的一一對應(yīng)與多對一，而一對多這種對應(yīng)關(guān)系不滿足函數(shù)的概念。

3.應(yīng)用舉例，鞏固提高

例1.給出下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系式

其中，y 是 x 的函數(shù)的有（1），（2），（4），（6）

分析：（1）屬于一一對應(yīng)

（2）多對一：比如當 x=±2 時，y=4；當 x=±3 時，y=6

（3）一對多：當 x=4時，y=±2；當 x=9 時，y=±3；不能表示函數(shù)（4）屬于一一對應(yīng)

（5）一對多：當 x=1時，y=±4；當 x=2 時，y=±7；不能表示函數(shù)

（6）多對一：當x=0或x=2時，y=5

例2.下列四個圖中，不能表示y是x的函數(shù)的數(shù) （ ）

分析：A.多對一 B.一一對應(yīng) C.多對一 D.一對多

于是答案為D

設(shè)計意圖：通過例1、例2的實踐演練，進一步感受函數(shù)的本質(zhì)，發(fā)展學生數(shù)形結(jié)合的意識，提高了其數(shù)學抽象的能力。

總結(jié)：函數(shù)的三種形式

1.表格（將實驗一、二改寫成表格的形式）

實驗一：

實驗二：

2.表達式（例 1）

3.圖像（例 2）

設(shè)計意圖：對實驗一、二、三的再次解讀與認知，總結(jié)出函數(shù)的三種表達形式，突出了本節(jié)課的教學重點之一。

4.知識總結(jié)，拓展延伸

（1）函數(shù)的概念

（2）函數(shù)的三種表達形式

三、意義

函數(shù)的概念課對學生而言，既枯燥無味，又難以理解，其主要的原因是：（1）教材中的部分實例雖然貼近生活，但是學生無法親身感知、抽象思維難以提高；（2）函數(shù)的概念本身（對于任意的而言，都有唯一的值與之對應(yīng)），這種關(guān)系模糊不清。

本課采用生活中的游戲為載體，課堂上以此為鑒，總結(jié)日常生活中的對應(yīng)關(guān)系：一一對應(yīng)，多對一，一對多；內(nèi)容上屬于高一學生應(yīng)該理解的范疇，但是對于學生而言，從生活中來；而由此界定了函數(shù)的概念的主體部分，做到了到生活中去。另一層面，把高中的映射圖象改成了函數(shù)表達的三種形式中的表格，又頗具創(chuàng)意，容易理解。經(jīng)過學生的作業(yè)反饋程度以及相關(guān)的班級學習此節(jié)內(nèi)容的對照，發(fā)現(xiàn)本班學生更加深入理解知識點，這會為今后的學習做鋪墊。

筆者認為，在中學數(shù)學的概念課的講授過程中，既要體現(xiàn)從生活中來，又要回歸到生活中去；不必過于拘泥于教材中的實例，要充分發(fā)揮學生的主體地位，調(diào)動其積極性，提高其想象力；也不必完全局限于教材內(nèi)容的安排，可以突破設(shè)置的屏障，甚至借助于高中部分知識的理解，做到張弛有度。從某種意義上來說，這樣的教學方式對于培養(yǎng)學生的抽象思維有一定的幫助，使得人們在處理抽象復雜化的問題時盡量采用具體的案例進行分析！

新時代背景下，課堂教學不再是一味地追求學生的學業(yè)成績，進而用學生的終身發(fā)展作為替代，這就要求數(shù)學課堂教學要結(jié)合實際生活，將生活中的案例抽象成數(shù)學問題；反之，學會將數(shù)學問題具體化也是未來學生必備的思路之一。從這個角度考慮，以“實際生活”為例進行教學具有很深的意義。但是結(jié)合中學生的實際情況，面臨著中高考的巨大壓力，教師課堂教學中也會存在時間上的限制，于是這種教學模式勢必會耽誤大量的時間，從而影響教學進度，那么如此教學模式同樣也有很長的路要走。在以后的教學中要積極響應(yīng)，逐步探索！