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        一道不等式的評講歷程

        2018-02-26 03:10:32季長征
        新課程·下旬 2018年11期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學歸納法不等式課堂教學

        季長征

        摘 要:在當今課堂教學中,需要教師采用最恰當?shù)牟呗詫χR進行加工重組,引導學生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,培養(yǎng)學生的問題意識并激發(fā)學生的求知欲,高三復習課的主要任務就是引導學生對所學知識進行系統(tǒng)的歸納整理,通過問題引入、題型設(shè)計建立不同解題思路,讓學生有全新的認識,不斷提高他們提出問題、分析問題、解決問題的能力。

        關(guān)鍵詞:不等式;數(shù)學歸納法;解題過程;課堂教學

        在高三考試中經(jīng)常遇到這類不等式,筆者嘗試以專題的形式加以評講,旨在從紛繁的解法中找到一些可以掌握的規(guī)律,提煉一些模型,幫助學生建構(gòu)知識體系,提高學生的學習效率,本著以“以學生為主體,師生合作”的原則,和學生一起探索。

        下面是一道原題“數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,且an,Sn,a2n成等差數(shù)列。(3)正數(shù)數(shù)列{cn},令ab=(cn)n+1,(n∈N*)。求數(shù)列{cn}中的最大項。”此題共有三問,我截取了最后一問,由第一問可知an=n,因此cn=,要求數(shù)列{cn}中的最大項,即轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列{cn}的單調(diào)性,就變?yōu)樽Cnn+1>(n+1)n(n≥3,n∈N*),筆者就如何用專題課講解此不等式同大家一起分享。

        證明:nn+1>(n+1)n(n≥3,n∈N*)

        師:該不等式是在什么條件下成立?是否有提示語在里面?

        生1:大于等于3的正整數(shù)。

        師:對,在遇到與正整數(shù)的有關(guān)命題,我們通常想到什么方法?

        生1:數(shù)學歸納法。

        師:下面請生1用數(shù)學歸納法完成此題。

        生1:①當n=3時,34>43,所以原不等式顯然成立。

        ②假設(shè)當n=k(k≥3)時結(jié)論成立,即kk+1>(k+1)k成立,也就是>1,則當n=k+1時,

        師:生1在此卡住了,你覺得怎么由向轉(zhuǎn)化。

        生1:(k+1)2>k(k+2)由此得>,

        故()k+1·(k+1)>()k+1·(k+1)=>1

        即(k+1)k+2>(k+2)k+1,故當n=k+1時亦成立,綜上原不等式成立。

        師:數(shù)學歸納法是一種由特殊到一般,從有限到無限思想的重要數(shù)學方法,是數(shù)學界的“多米諾骨牌”,此方法難點在想到用真分數(shù)性質(zhì),及如何運用好假設(shè)。學生解決此題能夠體會數(shù)學歸納法的本質(zhì)所在。

        生2:老師,我覺得不等式nn+1>(n+1)n(n≥3,n∈N*)右邊是正數(shù),所以我把右邊除了過來,我下面沒走下去。

        師:你卡殼的地方是?

        生2:我把原數(shù)列作商后得==,此式和1比較很困難。

        師:你是否嘗試帶大于等于3的幾個數(shù)試一試的?

        生2:老師我算過了,我想到了!它是一個遞減數(shù)列。

        師:那下面怎么處理呢?

        生2:構(gòu)造新的數(shù)列dn=變?yōu)檠芯繑?shù)列{dn}的單調(diào)性,

        ∵===[]n+1<1

        ∴dn+1

        所以<1(n≥3,n∈N*),即nn+1>(n+1)n(n≥3,n∈N*)。

        師:數(shù)學解題過程是在曲折中前進的,遇到問題從而產(chǎn)生新的思路,在思維不斷求變的過程中,學生認識問題的能力得以提高,解題能力得到錘煉。

        生3:老師我也想到證明單調(diào)性,但開始時我就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=的單調(diào)性,然后不知道怎么處理了。

        師:原數(shù)列cn=,只要知道數(shù)列{cn}的單調(diào)性,最值自然解決。問題可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=的單調(diào)性,問題對符合函數(shù)的求導你們還記得嗎?

        生4:我知道!∵y=x,∴l(xiāng)ny=lnx兩邊求導得·y′=故y′=·x

        這樣的求導方式讓很多學生覺得驚奇不已,我讓學生4到黑板上演示了詳細過程,班級的氣氛再次熱烈起來。

        師:現(xiàn)在請生3繼續(xù)完成吧。

        生3:好的,當x∈[e,+∞]時,y′<0,即y=在[3,+∞)上單調(diào)遞減,

        所以cn(n+1)n(n≥3,n∈N*)。

        師:生4用的知識我們暫時不會,大家想想我們就沒有其他方法了嗎?

        班級一片寂靜……過了一會兒,我看到學生一籌莫展,做了一點提示,我們能不能將函數(shù)變變形,將它變成大家熟悉的函數(shù)求導呢?

        生5:老師我覺得可以構(gòu)造一個函數(shù),由lny=lnx,變形為y=e,然后對它求導。

        y′=(e)′e·,當x∈[e,+∞)時y′<0,即y=在[3,+∞)在上單調(diào)遞減,同上。立即班級響起了雷鳴般的掌聲,班級的氛圍再次掀起了高潮。

        師:研究數(shù)列單調(diào)性時,注意不能直接求導,數(shù)列雖是特殊的函數(shù),但它不連續(xù),所以要轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導,當對求導遇到困難時,在將函數(shù)y=x變?yōu)閥=e過程中體現(xiàn)的數(shù)學的化歸思想,化未知為已知,化陌生為熟悉。

        師:這時,我趁熱打鐵。常規(guī)方法你們都已經(jīng)說了,而且講的非常棒。現(xiàn)在我來問大家對這個函數(shù)f(x)=熟悉嗎?大家異口同聲說:“熟悉?!蹦敲次覀兡懿荒馨堰@道題向這個方面轉(zhuǎn)化呢?

        生6:老師,我想到了,他激動得站了起來。將不等式nn+1>(n+1)n兩邊取自然對數(shù),得到(n+1)lnn>nln(n+1),即<,因此可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x∈[3,+∞)),∵f′(x)=<0,∴f(x)在x∈[3,+∞)上單調(diào)遞減。

        當n+1>n≥3時,f(n+1)(n+1)n。

        師:太棒了,將一道陌生的題目轉(zhuǎn)化為我們大家再熟悉不過的題目了。要證此不等式nn+1>(n+1)n成立,想到數(shù)學的對稱性,把n+1和n各放在一側(cè),想到了兩邊取自然對數(shù),從而領(lǐng)悟出數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系可以通過對題目的結(jié)構(gòu)理解而產(chǎn)生,利用數(shù)學上結(jié)構(gòu)的對稱美產(chǎn)生了思維的火花?;粗獮橐阎?,化陌生為熟悉。

        課堂教學要基于學生的“最近發(fā)展區(qū)”,使所有學生都有所發(fā)展,盡量利用課本后課中出現(xiàn)的一些好素材,同時根據(jù)教學目的,采取橫向或縱向的發(fā)散,讓問題落腳點在大家熟悉的區(qū)域,通過教師引導,師生共同探究,師生共同感受到數(shù)學的統(tǒng)一美和完整美,最終目的是學生探究感悟數(shù)學的精髓,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

        編輯 劉瑞彬

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