李想

摘 要：正方形是矩形和菱形的綜合體，所以正方形的學(xué)習(xí)，是以平行四邊形、矩形、菱形的知識(shí)為基礎(chǔ)，進(jìn)行的一個(gè)探索和歸納的過(guò)程.

關(guān)鍵詞：正方形；判定；性質(zhì)

蘇教版八年級(jí)第九章“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”中主要對(duì)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了探索研究，平行四邊形的性質(zhì)和判定的知識(shí)探索過(guò)程直接指導(dǎo)了矩形和菱形的學(xué)習(xí).我們知道，矩形和菱形的學(xué)習(xí)，主要是在平行四邊形的基礎(chǔ)之上，加入矩形和菱形的特性的學(xué)習(xí).

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解并掌握正方形的概念；

2.理解并掌握正方形的性質(zhì)與判定，并會(huì)運(yùn)用解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；

3.了解并掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系.

一、正方形概念

1.正方形定義：有 且 的 是正方形.

2.正方形是軸對(duì)稱圖形，有 對(duì)稱軸；正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是 .正方形面積公式： 或 .

二、正方形的性質(zhì)

正方形是特殊的 ，而且是 的矩形，也是 的菱形.

∵四邊形ABCD為正方形

； ；

； ；

；

三、四邊形性質(zhì)匯總

1.平行四邊形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；

2.矩形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，四個(gè)內(nèi)角為直角，對(duì)角線相等；

3.菱形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，四條邊相等，對(duì)角線垂直；

4.正方形：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，四個(gè)內(nèi)角為直角，對(duì)角線相等，四條邊相等，對(duì)角線垂直.

由此可見(jiàn)，正方形的性質(zhì)包含了平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì).

四、判定正方形

1.利用正方形的定義證明： .關(guān)鍵詞： + + .

符號(hào)語(yǔ)言：∵ ，∴？荀ABCD為正方形.

2.正方形的判定一： .關(guān)鍵詞： + .

符號(hào)語(yǔ)言：∵ ，∴矩形ABCD為正方形.

3.正方形的判定二： .關(guān)鍵詞： + . .

符號(hào)語(yǔ)言：∵ ，∴菱形ABCD為正方形.

判定方面：

1.平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等；兩組對(duì)邊分別平行；一組對(duì)邊平行且相等；對(duì)角線互相平分；

2.矩形：三個(gè)直角+四邊形；一個(gè)直角+平行四邊形；對(duì)角線相等+平行四邊形；

3.菱形：四邊相等+四邊形；鄰邊相等+平行四邊形；對(duì)角線垂直+平行四邊形；

4.正方形：一個(gè)直角+鄰邊相等+平行四邊形；一個(gè)直角+對(duì)角線垂直+平行四邊形；對(duì)角線相等+鄰邊相等+平行四邊形；對(duì)角線相等+對(duì)角線垂直+平行四邊形；

由此可見(jiàn)，正方形的判定是在平行四邊形的基礎(chǔ)之上加上矩形的一個(gè)特性和菱形的一個(gè)特性。

五、正方形性質(zhì)的應(yīng)用

1.在正方形ABCD中，若AB=2，則AD= ，BC= ，CD= ，BD= ，AO= ，AC= ，∠ABC= °，△ABC是 三角形，△OBC是 三角形，S正方形ABCD=

.

2.下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）

A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

B.正方形的對(duì)角線互相平分且垂直

C.菱形的對(duì)角線相等

D.矩形的對(duì)角線相等

3.正方形具有而矩形沒(méi)有的性質(zhì)是（ ）

A.對(duì)角線互相平分 B.對(duì)邊相等

C.對(duì)角線相等 D.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

4.如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為（ ）

A.14 B.15

C.16 D.17

5.如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是4，則B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ ）

A.（-2，4），（1，3）

B.（-2，4），（2，3）

C.（-3，4），（1，4）

D.（-3，4），（1，3）

六、正方形判定的應(yīng)用

6.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是

（ ）

A.選①② B.選①③ C.選②④ D.選②③

7.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH.

求證：四邊形EFGH是正方形.

8.正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，已知正方形OEFG從OA位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°<旋轉(zhuǎn)角<90°），OE、OG分別與AD、DC交于點(diǎn)M、N.（1）求證OM=ON；（2）四邊形OMDN的面積變不變？說(shuō)明理由.

編輯 郭小琴