江蘇海安縣南莫鎮(zhèn)中心小學（226681）

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確將“模型思想”列為核心概念之一。廣義地說，數(shù)學就是一種模型科學。無論是數(shù)學的概念、公式，還是數(shù)學的定理、公理等，都可以稱為模型。狹義地理解，數(shù)學模型是指用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。某種意義上，學生建構數(shù)學模型的過程就是經(jīng)歷“數(shù)學化”的過程。在這個過程中，學生需要充分調(diào)動自己的感官進行觀察、思維、想象等，需要充分運用數(shù)學思想進行提煉、抽象、概括等。數(shù)學模型是抽象的，因此，教師在數(shù)學教學中必須引導學生建構數(shù)學的模型，讓學生把握數(shù)學模型的本質(zhì)，感悟數(shù)學模型的思想。

一、聚類抽象，豐厚數(shù)學模型的建構表象

數(shù)學模型不是對個別數(shù)學對象特征的反映，而是具有“類”的特征。將眾多數(shù)學現(xiàn)實材料和數(shù)量關系進行抽象、概括，形成具有本質(zhì)屬性的模型，是模型建構的一般形式。為此，數(shù)學教學中教師要豐富學生的表象積累，為學生培育數(shù)學模型建構的土壤，讓學生從多維度、多側面、多視角、多方位感知一類事物共同具有的特征或者數(shù)量關系，從而為學生建構數(shù)學模型奠定堅實的基礎。

例如，筆者發(fā)現(xiàn)學生對于行程、工程等問題的數(shù)量關系通常只停留在記憶的層面上，沒有形成有意義的數(shù)學模型。為此，筆者向?qū)W生提供了幾種不同類型的數(shù)量關系的問題，如“一支鋼筆的價錢是15元，買5支鋼筆，一共需要多少元？”“飛機每小時飛行1200千米，3小時飛行多少千米？”“修一條公路，甲隊每天修200米，5天一共修了多少米？”學生在解決問題的過程中，有的根據(jù)經(jīng)驗和題目中的已知條件解決問題；有的根據(jù)“單價、數(shù)量和總價”“速度、時間和路程”“工效、工時和工總”的數(shù)量關系解決問題。在學生解決問題后，筆者引導學生進行深度比較：這些題目有什么共同特征？學生朦朧地感覺到“每支鋼筆15元”“每小時飛行1200千米”“每天修200米”都具有相似的特征。那么，這種具有相似特征的數(shù)量在數(shù)學上叫作什么呢？有學生認為都是表示“每什么”，有學生認為都是表示“單位數(shù)量”，還有學生認為都是表示“1份數(shù)量”，等等。在此基礎上，筆者揭示“每份數(shù)”“份數(shù)”“總數(shù)量”的概念。由于有了數(shù)學素材的支撐，學生積累了豐富的數(shù)學模型的建構表象。這樣的學習，能讓學生經(jīng)歷數(shù)學模型的抽象化過程，深刻理解數(shù)學概念的內(nèi)涵。

數(shù)學模型是對某類事物特征或者數(shù)量關系形式化、抽象化、符號化的概括。數(shù)學模型所表征和確證的數(shù)學對象是豐富的。因此，教師要讓學生對一類事物的特征或者數(shù)量關系充分地想、充分地說、充分地做，進而舍棄事物的非本質(zhì)屬性與特征，提取事物的本質(zhì)屬性和特征，用數(shù)學的語言抽象、概括或者近似地表達出來，就能讓學生水到渠成地建構數(shù)學模型。

二、原型啟發(fā)，引領數(shù)學模型的有效過渡

學生建構數(shù)學模型并非一蹴而就的，而是有一個數(shù)學化、形式化和公理化的抽象概括過程?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確指出，要“從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”。數(shù)學模型源于生活世界中的原型且高于生活世界中的原型，但生活世界中的原型卻能夠促進學生對數(shù)學模型的理解。因此，教師應當重視并引導學生從生活原型過渡到數(shù)學模型。

例如，教學蘇教版教材第7冊“垂線和平行線”時，有些教師盡管多次強化畫垂線和平行線的操作要領，但學生在具體操作時還是覺得無所適從，不知道如何擺放三角尺。如何突破這樣的教學難點？畫垂線和平行線的操作模型在生活中有原型嗎？如何讓學生從畫垂線和平行線中獲得一般的操作啟示，甚至能夠?qū)⑵溆行нw移到“畫三角形的高”“畫平行四邊形的高”呢？為此，筆者運用“問題串”著重對畫平行線進行導學：①經(jīng)驗摸底：根據(jù)你的經(jīng)驗，怎樣畫平行線？（學生想到了用等寬的直尺描、用直尺移等）②理性審視：用等寬的直尺描比較精確，但只能畫固定距離的平行線；借助直尺移動很方便，但是移的過程中容易發(fā)生歪斜的現(xiàn)象。③原型展示：多次演示“開關窗戶”的動畫，引發(fā)學生深度思考。④原型啟發(fā)：能不能也像開關窗戶一樣造一個軌道，讓直尺在平移時有一個依靠？⑤模型建構：怎樣畫垂線？怎樣畫平行線？經(jīng)過討論、交流，學生發(fā)現(xiàn)畫垂線時，已知直線就是軌道，直尺或者三角形可以直接在直線上平移；畫平行線時，可以讓三角尺的一條邊和已知直線重合，以固定的另一條邊為軌道，讓三角尺或者直尺在這個軌道上移動。如此，學生通過生活原型，成功地建構了“畫平行線”“畫垂線”的操作模型。

通過學生的理性概括，學生理解了畫垂線、畫平行線“為什么要建軌道？”“怎樣建軌道？”以及“用什么建軌道？”等一系列問題。教師充分運用生活原型的可靠性和直觀性，引導學生突破了數(shù)學學習的難點，引領學生實現(xiàn)了從生活原型到數(shù)學模型建構的有效過渡。同時，還消除了生活原型對數(shù)學模型建構的干擾，深化了學生對數(shù)學知識的本質(zhì)理解。

三、符號概括，實現(xiàn)數(shù)學模型的意義建構

數(shù)學模型的建構過程必須經(jīng)歷從“感性”到“理性”，再到“運用”的過程。許多數(shù)學模型是用數(shù)學符號來確證和表征的，因此教學中教師要給學生提供運用符號的機會，甚至讓學生創(chuàng)造符號。如此，充盈數(shù)學符號的模型意義，讓學生能夠運用數(shù)學符號進行概括，從而建構數(shù)學模型，感受數(shù)學模型的意義和價值。

例如，作為三大運算律之一的“乘法分配律”，溝通了乘加、乘減之間的關系，其形式上的變化和特殊的結構，給學生造成了一定的認知障礙。教學中，筆者讓學生創(chuàng)造符號進行概括，引導學生走出思維窠臼。首先，通過情境問題“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩。四、五年級一共要領多少根跳繩？”引導學生解決問題。有學生先算一共有幾個班，再算一共需要多少根跳繩；有學生先算四、五年級各需要多少根跳繩，再算一共需要多少根跳繩。學生認識到，盡管方法不同，但都解決了問題。在此基礎上，學生就能用等號將兩種計算方法聯(lián)結在一起。其次，引導學生從乘法意義的視角對這兩個算式進行詮釋：左邊先算什么？表示幾個24？右邊先算什么？表示幾個24？學生發(fā)現(xiàn)，盡管解決問題的方式不同、計算順序不同，但意義是相同的，結果是相同的。那么，是否具有這樣特點的算式一定能夠組成等式呢？最后，讓學生自主創(chuàng)造等式，并展開積極主動的驗證。從單個例子的等式關系，到創(chuàng)造更多例子的等式關系，學生在豐富例證的過程中習得了科學的探究策略。在這過程中，他們主動運用各種符號建模，如“（☆+△）×□=☆×□+△×□”“（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙”“（a+b）×c=a×c+b×c”等。對于這樣的符號表達，學生還能說出其意義，如“☆個□加上△個□等于（☆+△）個□”“a個c加上b個c等于（a+b）個c”等?？梢?，教師引導學生自覺運用符號、創(chuàng)造符號構建數(shù)學模型，就能夠讓學生初步感受數(shù)學模型思想。

數(shù)學模型的建構，有助于促進學生的數(shù)學理解，發(fā)展學生的思維能力，提升學生的思維品質(zhì)。通過自主探索，對數(shù)學結論進行抽象、概括，提煉成數(shù)學模型的過程中，學生不僅“知其然”，更“知其所以然”。經(jīng)歷了數(shù)學模型的建構，學生無論是知識結構還是解決問題的能力都有了質(zhì)的飛躍，學生的創(chuàng)新精神、實踐能力以及核心素養(yǎng)都得到了最大限度的提升。