楊帆

【摘要】 正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，如何生成數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有著舉足輕重的作用.本文以“函數(shù)單調(diào)性”案例為素材，從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，探討了如何設(shè)計(jì)問(wèn)題串，創(chuàng)設(shè)情境，使得數(shù)學(xué)概念有效生成，從而逐步加深學(xué)生對(duì)概念的理解和應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 概念教學(xué);問(wèn)題;情境

概念教學(xué)的重點(diǎn)在于概念的生成過(guò)程，在于關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程.一個(gè)好的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生經(jīng)歷概念生成過(guò)程，并使其能夠概括概念并學(xué)會(huì)應(yīng)用概念解決問(wèn)題.合理地設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以積極的態(tài)度主動(dòng)探索領(lǐng)悟，促成概念的生成.在一次南京市級(jí)公開課中，筆者準(zhǔn)備的“函數(shù)單調(diào)性”受到好評(píng).本文以“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)為載體，淺談如何設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，創(chuàng)設(shè)情境來(lái)優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué).

一、課堂實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對(duì)人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過(guò)測(cè)試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：

時(shí)間間隔t 剛記憶完畢 20分鐘后 60分鐘后 8～9小時(shí)后 1天后 2天后 6天后 一個(gè)月后

記憶量y（百分比） 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1

[問(wèn)題1]這張表反映了什么問(wèn)題？

[問(wèn)題2]能不能用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)分析一下這張表.這里有沒(méi)有函數(shù)關(guān)系的存在？

[問(wèn)題3]誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)？

[問(wèn)題4]從圖像的走向來(lái)看，我們?cè)鯓佑脠D形語(yǔ)言來(lái)判斷記憶量是在增大還是在減小呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串的形式，使學(xué)生從表格中抽象出數(shù)學(xué)中所研究的函數(shù)圖像.引導(dǎo)學(xué)生用圖形語(yǔ)言來(lái)判斷記憶量隨時(shí)間間隔的變化情況，通過(guò)直觀感受，學(xué)生了解了函數(shù)圖像上升就是記憶量增加，反之就是記憶量減少.

（二）創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)定義

情境：某一天的溫度θ關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)θ=f（t），t∈[0，24]的圖像如下.

[問(wèn)題5]圖像是一直上升或下降的嗎？怎樣用圖形語(yǔ)言描述氣溫隨時(shí)間的變化情況？

[問(wèn)題6]在區(qū)間[4，14]，函數(shù)圖像呈什么趨勢(shì)變化？

[問(wèn)題7]怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫在[4，14]這個(gè)區(qū)間，氣溫隨著時(shí)間的升高而升高這個(gè)特征？

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行分組探究，給出方案，師生共同討論研究.

生1：能不能在區(qū)間[4，14]上取兩個(gè)端點(diǎn)值4，14，4<14，若4所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（4）小于14所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f（14） ，就可以說(shuō)明在[4，14]上，氣溫隨著t的增大而增大？

師：大家覺(jué)得他的方案可不可行？討論一下.

生2：不可行，圖像有可能不是一直上升的.

師：那能不能取三個(gè)點(diǎn)，例如，4<10<14，有f（4）< f（10）< f（14），是不是就可以說(shuō)明在[4，14]上，氣溫隨著時(shí)間的增大而增大？

生：不可以.應(yīng)該取無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn).

師：如果有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在依次增大，這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也在依次增大，那是不是就可以說(shuō)，在[4，14]上，氣溫隨著時(shí)間的增大在增大，也就是說(shuō)在[4，14]上，從左往右看，圖像一直呈上升趨勢(shì)？

生：不是，有一個(gè)點(diǎn)不滿足都不可以.

師：那我們應(yīng)該怎樣取點(diǎn)？

生：取遍區(qū)間每一個(gè)點(diǎn)，即任意取點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提出用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫函數(shù)圖像上升趨勢(shì)的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考.使學(xué)生感悟由形到數(shù)的翻譯，由直觀到抽象的轉(zhuǎn)變.師生共同合作探究，逐步加深學(xué)生對(duì)“任意”的理解，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)圖像上升或下降的趨勢(shì)，為引出函數(shù)單調(diào)性概念做鋪墊.

（三）認(rèn)識(shí)定義，鞏固深化

[問(wèn)題8]請(qǐng)你給“函數(shù)單調(diào)性”下個(gè)定義.

師生活動(dòng)：辨析定義，提出能用“所有”與“無(wú)數(shù)”替換“任意”嗎？能將“區(qū)間I”換成“定義域”嗎，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)定義.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)關(guān)鍵詞“任意”“區(qū)間”“都有”的分析，讓學(xué)生深刻體會(huì)到“無(wú)數(shù)”并不等價(jià)于“所有”，函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，它反映的是函數(shù)的局部性質(zhì).從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，幫助學(xué)生形成良好的概念網(wǎng)絡(luò)，由學(xué)生自主概括概念.

（四）例題講解，鞏固新知

例1 ??畫出下列函數(shù)的圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間.

（1）y=-x2+2;

（2）y= 1 x .

思考：可不可以說(shuō)y= 1 x 這個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)減函數(shù)？

師生活動(dòng)：學(xué)生討論探究，舉反例示范，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生更加透徹理解函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)（或減函數(shù)），但是在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)增函數(shù)（或減函數(shù)）.

思考：我們可以根據(jù)函數(shù)來(lái)確定單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖像帶給我們的是直觀的感覺(jué)，能不能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言對(duì)你所形成的結(jié)論加以證明呢？

例2 ??證明函數(shù)y= 1 x 在（0，+∞）上是減函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)定義證明函數(shù)單調(diào)性，教師板書演示，使學(xué)生了解如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明函數(shù)單調(diào)性.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性.

（五）小結(jié)回授，感悟數(shù)學(xué)

[問(wèn)題9]本節(jié)課你學(xué)會(huì)了用哪些語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性？試用自己理解的語(yǔ)言敘述.

[問(wèn)題10]這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用自己理解的語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行質(zhì)疑和概括.抓住概念本質(zhì)，體現(xiàn)概念升華.

二、教后反思

（一）合理創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知欲，促進(jìn)概念生成

1.創(chuàng)設(shè)的情境要直觀，體會(huì)概念源頭

直觀的情境，能夠使學(xué)生更好地進(jìn)行思考和訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)概念的源頭.例如，本文中采取的艾賓浩斯遺忘曲線和溫度變化圖兩個(gè)情境，均以圖形的方式展示給學(xué)生，加深學(xué)生的直觀感受，促使學(xué)生更容易地用圖形語(yǔ)言來(lái)形容圖像的變化趨勢(shì)，為后面更好地生成概念做鋪墊.

2.創(chuàng)設(shè)的情境要有趣味性，加深概念理解

有趣的問(wèn)題情境不僅能激發(fā)學(xué)生求知欲和學(xué)習(xí)興趣，而且能夠加強(qiáng)師生的情感交流，為數(shù)學(xué)概念教學(xué)打下基礎(chǔ).例如，本文中的艾賓浩斯遺忘曲線情境，在上課初始抓住學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主探索研究，在學(xué)生學(xué)會(huì)自主概括單調(diào)性概念以后再回頭解決開始的遺忘曲線情境問(wèn)題，加深單調(diào)性概念的理解.

（二）注重問(wèn)題建設(shè)，設(shè)計(jì)有效“問(wèn)題串”，加深數(shù)學(xué)概念理解

1.應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)階梯性“問(wèn)題串”

數(shù)學(xué)概念有一定的抽象性，學(xué)生很難把握重點(diǎn)、難點(diǎn)，設(shè)計(jì)階梯性“問(wèn)題串”，有利于引導(dǎo)學(xué)生層層分析、由淺入深、循序漸進(jìn)，更好地理解數(shù)學(xué)概念.例如，本文中問(wèn)題1到4，使學(xué)生更好地理解了如何用圖形語(yǔ)言來(lái)描述圖像趨勢(shì).問(wèn)題5到7，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乜坍媹D像趨勢(shì).

2.應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)符合學(xué)情的“問(wèn)題串”

要設(shè)計(jì)以學(xué)生為主體的“問(wèn)題串”，貼近學(xué)生實(shí)際.以學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、能力為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，才能促進(jìn)知識(shí)的同化，才能全面地理解概念的內(nèi)涵和外延.

高中數(shù)學(xué)課程指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).”所以我們?cè)谠O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念課時(shí)，一定要遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理地設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，重視概念的形成和發(fā)展過(guò)程，努力揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，使概念教學(xué)切實(shí)有效.