摘 要：數(shù)列最起碼常識讓5千年都無人能識的標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)及其倒數(shù)一下子暴露出來，從而揭示有首項的無窮數(shù)列必有末項。數(shù)集相等概念以及幾何起碼常識和區(qū)間概念凸顯中學(xué)幾百年解析幾何有一系列將兩異點(diǎn)集誤為同一點(diǎn)集的錯誤。從而產(chǎn)生出病態(tài)的“高深”理論：直線段的部分點(diǎn)可與全部點(diǎn)一樣多；射線S沿S正向平移變?yōu)樯渚€S′≌S是S的真子集；巴拿赫-塔爾斯基分球定理。證明存在：幾千年都無人能識的等長卻不“等勢”從而不合同的直線段；2500年都無人能識的R外標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)。不識這類“更無理”的數(shù)和直線段使數(shù)學(xué)一直不知直線A沿本身伸縮或平移后就≠A了，所以“直線公理（定理）”和“R軸完備、封閉”論其實是將無窮多各異直線誤為同一線的“以井代天”的“井底”誤區(qū)。

關(guān)鍵詞：N內(nèi)、外標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)及N最大元；貌似重合的偽二重直線段；用而不知的“更無理”數(shù)推翻“R軸各點(diǎn)與各標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)一一對應(yīng)定理”；推翻百年集論和百年自然數(shù)公理；推翻巴拿赫-塔爾斯基分球定理；保距及非保距變換

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）09-0180-06

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.09.114

一、導(dǎo)言：不能不重視著名數(shù)學(xué)家朱梧■、龐加萊的“超人”論斷

百年集論被譽(yù)為是“人類最偉大的創(chuàng)造之一”（胡作玄《引起紛爭的金蘋果》27頁，福建教育出版社，1993）?！白顐ゴ髷?shù)學(xué)家”希爾伯特斷言：任何人都不能推翻集合論。然而中國著名數(shù)學(xué)家朱梧槚教授及肖奚安、杜國平、宮寧生教授卻“超人”地洞察到“定義：可與其真子集對等的集稱為無窮集”中的“無窮集”“都是自相矛盾的非集[1]”；換言之，根本不存在可與其真子集對等的無窮集。不少人認(rèn)為這是與4位數(shù)學(xué)家身份極不相稱的“怪論”。1908年富有遠(yuǎn)見卓識的世界著名數(shù)學(xué)家龐加萊提出了著名的“超人”論斷：后代人將把康脫的集論當(dāng)作一種疾病，而且人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了。（見張錦文等《世界數(shù)學(xué)名題欣賞·連續(xù)統(tǒng)假設(shè)》20頁）。有過人科學(xué)洞察力的龐大師也許也“超人”地洞察到集論存在違反邏輯學(xué)常識的自相矛盾，清醒堅信：凡違反真正常識的理論必是對科學(xué)危害極大的病態(tài)理論。本文證明真正的無窮集均不可對等于其任何真子集?！白匀粩?shù)集（列）”N各元n均有對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)n+1等等。自識自然數(shù)5千多年來數(shù)學(xué)一直未能證明存在標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)。然而數(shù)列最起碼常識凸顯有N外標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)>N一切自然數(shù)推翻集論立論的論據(jù)：中學(xué)的：N各元n的對應(yīng)數(shù)n+1、2n、…均∈N。所以須重新認(rèn)識級數(shù)論。本文是[2][3]的繼續(xù)與深化。

公元前1100年中國人商高同周公的一段對話談到了勾股定理說明人類認(rèn)識直線段已有幾千年?！翱茖W(xué)常識”：因數(shù)學(xué)是嚴(yán)密精確的代名詞故數(shù)學(xué)，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等數(shù)學(xué)絕不可能有重大錯誤；數(shù)學(xué)的公理、定理絕不可能被推翻。有一種“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)。挑戰(zhàn)各“絕對不可能”的“反科學(xué)”的“超人”發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯的：①中學(xué)的幾何起碼常識c：重合相等的 有界 圖形（點(diǎn)集）必合同。②數(shù)列最起碼常識和區(qū)間概念。③所謂數(shù)集A=B是說A的元與B的元可一一對應(yīng)相等。故高中生也有能力分辨本文是歪理邪說還是數(shù)學(xué)有史五千年來的最重大發(fā)現(xiàn)？

二、數(shù)列最起碼常識和“一一配對”概念讓5千年都無人能識的自然數(shù)一下子暴露出來——同是無窮數(shù)列，此列的項可多于彼列的項

設(shè)A={x}表A各元均由x代表，變量x的變域是A；A={（x，y）}表A是由有序數(shù)偶（x，y）組成的數(shù)偶集；A={（x，y），z}表A是由數(shù)偶和“單身”數(shù)z組成的混合集。其余類推。任一數(shù)集A={x}同時也是數(shù)偶集A={（x，x）}。

變數(shù)n取自然數(shù)。無窮數(shù)列N={n}各數(shù)n均有序號數(shù)n與之配對而均在第n號位置。位置可用○形象表示從而可看圖識革命道理：N={◎① ② ...■…}中■表示n在第n號位內(nèi)而與該位組成N的第n項，即“無窮旅館”N中數(shù)n都“住”在n號“房間”內(nèi)；一n前移“奪占”n′的房間的同時n的原住房也變空，故被奪房的n′可后移到空房內(nèi)。將N各數(shù)挖去就得空房序列○○○...。級數(shù)論的“黎曼更序定理”是建立在“數(shù)列A各數(shù)任意改變前后位置（一位只能容納一數(shù)）后就形成還由A全部數(shù)與位置組成的數(shù)列”這一中學(xué)應(yīng)有的數(shù)列最起碼常識⑴之上的。故如[4]所述N各非0數(shù)n≥1可保序前移一格改與n-1≥0號房配對，而0可后移到N的空房內(nèi)從而形成有末項的M={① ② ③ …◎}即各n≥1改與n-1≥0號房配對后，0就可移到各非0數(shù)的后面而處在第Ω號房內(nèi)，顯然Ω是N的最大自然數(shù)。M還由N全部數(shù)與房間組成說明N各數(shù)無論怎樣改變前后位置后都不會有數(shù)在N的房間之外——說明無論在怎樣的配對法則下N的數(shù)與房間都可一一配對。

中學(xué)應(yīng)有的數(shù)列最起碼常識（2）：若數(shù)列A各數(shù)可兩兩配對而B各數(shù)不可兩兩配對則A≠B。N={n≥0}有偶數(shù)n=2p和奇數(shù)n=2p+1，p的變域{0，1，2，...，p，...}各元p變?yōu)橐粚?shù)2p、2p+1組成數(shù)偶序列（集）N={（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…}，N的子數(shù)列（集）N+={1，（2，3）（4，5）...}={n≥1}是既有數(shù)偶又有“單身”數(shù)1的混合序列；“拆東補(bǔ)西”地讓一偶數(shù)n與奇數(shù)1配對，n的原“配偶”就成一新單身奇數(shù)，故N+中偶、奇數(shù)無論怎樣重新配對后都保持有一單身奇數(shù)從而使N+不能成為數(shù)偶序列。為什么？因N+中奇數(shù)比偶數(shù)多從而使N+各數(shù)不可兩兩配對；可見N+一切奇數(shù)組成的無窮數(shù)列的項多于一切偶數(shù)組成的數(shù)列的項。應(yīng)有邏輯學(xué)起碼常識f：“拆東補(bǔ)西”不能使混合序列變?yōu)闆]單身項的數(shù)偶序列。故由一對對數(shù)組成的集也由一個個數(shù)組成，但由一個個數(shù)組成的集不一定也由一對對數(shù)組成。詳論見[5]。

混合序列N+各數(shù)n≥1變?yōu)閚-1∈N使N+變?yōu)镴={0，（1，2）（3，4）...}各數(shù)不可兩兩配對，而N各數(shù)可兩兩配對，據(jù)常識（2），N={n≥0}≠J={n-1≥0}。包含J的N≠J說明N中必至少有一J外自然數(shù)>無窮數(shù)列J一切數(shù)。N各數(shù)n變?yōu)槠浜罄^y=n+1>n形成后繼序列（集）H={（1，2）（3，4）…（2p+1，2p+2）…}中各數(shù)可兩兩配對且其偶數(shù)與奇數(shù)一樣多，而N+各數(shù)不可兩兩配對且其偶數(shù)與奇數(shù)不一樣多，故H≠N+。因N+各元n≥1均是n-1∈N的后繼∈H故H？勱N+，包含N+的H≠N+說明H中必至少有一N+外標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)y0=n0+1>n0∈N“更無理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0顯然是N的最大元Ω，因其后繼y0在N外而大于N一切數(shù)n。人類由認(rèn)識自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)Ω及Ω±1等竟須歷時5千多年！但獲此發(fā)現(xiàn)的依據(jù)是數(shù)列最起碼常識（1）（2）。5千年都無人能識Ω使初等數(shù)學(xué)一直將N的真子集J誤為N，將N外數(shù)誤為N內(nèi)數(shù)從而將H誤為N的真子集N+。文[4]有一改天換地的改偶定理：

h定理1（改偶定理）：各x與各y一一配對成一無窮“夫妻”有序數(shù)偶集F={（x，y）}內(nèi)“男、女”雙方中有“人”改配偶（新配偶必是F中人）使有的人變成“單身”后，一方出多少個單身，對方也只能出多少個單身；故各單身必可一一配對。否則必至少有一F外人“混進(jìn)來”參與新配對。故若新配對使一方保持無單身而另一方出現(xiàn)單身那就勢必有數(shù)學(xué)一直未能察覺的外人“混進(jìn)來”了。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新“夫妻”各自的原“配偶”就成一對可配對的單身，一單身 “再婚”就或使對方一單身也再婚或拆散一對夫妻而生一與再婚者同一方的新單身，沒別的可能。故每產(chǎn)生一對新夫妻的同時必生一對可配對的單身。所以定理成立。證畢。

右框框內(nèi)相等的兩數(shù)均已配■成數(shù)對?，F(xiàn)上N各非0數(shù)n（≥1）∈N+均改與（位于其左斜下方）比其小的n-1（≥0）∈下N 配對，所有新配偶n-1∈下N 的全體是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}？哿下N；這新配對使上N中的0變成單身，據(jù)改偶定理下N也必有一單身Ω，這J（？哿下N）外的Ω∈下N顯然是下N的最大元而與1∈下N相隔無窮多自然數(shù)∈下N。

集合起碼常識a：無窮數(shù)集A的元x與B=A的元y必可一一配對成一對對數(shù)使A=B各元x同時或不同時均可有“配偶”y∈B=A，沒規(guī)定各對數(shù)（x，y）中的y只能=x等等，y與x只要均是“單身”就可配對。

證：①數(shù)列N各數(shù)n均可有≠n的n′號房與之配對，即N各數(shù)n均可有配偶n′∈A=N。設(shè)“無窮旅館”N中只有部分房間有空調(diào)，文盲都知若N的客房與客人一樣多則不論如何配對，各人都必能配到一間房，只不過各人所配房間并非都有空調(diào)罷了?？梢娺B文盲都懂的邏輯學(xué)起碼常識說明無窮集A的元與B=A的元能否一一配對只與A和B是否分別包含一樣多個元有關(guān)而與配對的方式方法完全無關(guān)。“真理都是很樸實的”，那些違反真正科學(xué)常識的“高深”理論必是對科學(xué)危害極大的病態(tài)理論。②A={0，1}中的0變?yōu)?，1變?yōu)?得{1，0}=A是非恒等變換。A={x}各數(shù)x變?yōu)閥=y（x）組成B={y（x）}=A一定是一一對應(yīng)變換但不一定是恒等變換，即y（x）可≠x。③上述框框內(nèi)下N各數(shù)任意改變前后位置后各數(shù)n的“頭頂”上都必有數(shù)（可≠n）∈上N可與n配對。據(jù)改偶定理，A的元與B=A的元一一配對成的數(shù)偶集{（x，y=x）}中有y任意改與≠自己的數(shù)x配為（x，y≠x）后各x、y還必可一一配對。這都說明“A各元x均可有配偶y∈B=A”中的 y（x）可≠x。證畢。

設(shè)A一部分元均由x代表另一部分元均由z代表，“A各元x、z均有配偶∈B=A”是說：A一部分元x均有配偶∈B=A的同時A其余元 z也必均有配偶∈B=A；斷定B無單身與z配對顯然是違反常識a的錯誤。據(jù)集合起碼常識a ，N={0，1，2，…，n≥0，…}各非0元n≥1均有配偶y=n-1（≥0）∈A=N（所有配偶y=n-1∈A=N的全體是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}）的同時N其余元 0也必可有配偶y=Ω∈A=N，這J外的Ω顯然是…。斷定J={n-1≥0}=A=N即斷定A=N無“單身”Ω與N的0元配對顯然是違反集合起碼常識a的重大錯誤：說A=N的元與N的元不一樣多 。

凡違反集合起碼常識a的“無窮集”顯然“都是自相矛盾的非集[1]”。顯然Ω和Ω±1等等均是標(biāo)準(zhǔn)分析一直用而不知的標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)，顯然其倒數(shù)<任何有窮正數(shù)ε是用而不知的無窮小正數(shù)?！盁o窮集A=B但A每一元x并非均可有配偶y（可≠x）∈B”中的A=B因違反集合起碼常識a從而是根本不能存在的“自相矛盾的非集[1]”。

h定理2：有最?。ù螅┰臒o窮數(shù)集A各元x若均有對應(yīng)數(shù)y（x）>（<）x則各y（x）并非均∈A。

證：①有最小元x=i的U各數(shù)x與V的數(shù)y配對：相等的兩數(shù)配成一對（x，y=x）；無窮多對（x，y=x）組成{（x，y=x）}中各x改與比其大的y（x）>x配對就使（x=i，y=i）中的y=i變?yōu)椴豢膳鋵Φ膯紊恚蛐屡鋵Ψㄒ?guī)定各x都只與比其大的y配對，而y=i是最小數(shù)而不可比任何一個x大從而不可與任何x配對。將“最小”用“最大”替換，將…改為…，同樣就有配不出去的最大數(shù)。

設(shè)有最小元x=i的A各元x有對應(yīng)y（x）>x。A各元x與B=A各元y一一配對成F={（x，y=x）}=A=B中各x改與>x的y（x）>x配對從而x方保持無單身但卻使F中的y方（假設(shè)各y（x）∈F=A成立）至少出現(xiàn)一單身y=i，據(jù)改偶定理，假設(shè)不成立即各y（x）并非均∈F=A而必至少有一y>x在A外。同樣：②設(shè)有最大元x=j的A各元x有對應(yīng)y（x）

有最小元的N各元n變?yōu)閥=n+1>n組成H={y}，據(jù)h定理2，各y并非均∈N而必至少有一y∈H在N外。按證明存在Ω的證法易證有首項的無窮序列都有末項。

h定理3：無窮數(shù)集C的任何真子集B？奐C都不可～C，換言之，若A～C則A必≠B？奐C。

證：C各元x變?yōu)閥（x）組成A={y（x）}～C而有x？圮y=y（x）。假設(shè)“～C的A=B？奐C”成立則C中B？奐C各元均由x代表的同時也均可由y（x）∈A=B？奐C代表（因A={y（x）}=B={x}？奐C）。據(jù)集合起碼常識a，C各元x均可有配偶∈W=C，故C中B？奐C各元y（x）∈A=B均有配偶x∈W=C（x？圮y=y（x））的同時C其余（在B？奐C以外的）元 也必可有配偶∈W=C，矛盾！因W=C～A各元x均已有配偶y（x）∈A=B而無“單身”可供配對。故假設(shè)不成立即A≠B？奐C。這說明B？奐C各元x并非也均可由y（x）∈A代表即A中必有數(shù)y在B？奐C外。證畢。

因與x∈R相異或相等的實數(shù)均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x變換為實數(shù)x+△x的幾何意義可是：一維空間“管道”g內(nèi)R軸上的質(zhì)點(diǎn)x∈R沿R軸方向移動變?yōu)檫€在g內(nèi)的點(diǎn)x′=x+△x，即實數(shù)的改變可形象化（注！是真正的形象化而非沒有形象的假形象化）為管道g內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置的改變（設(shè)各點(diǎn)只作位置改變而沒別的改變即變位前后的質(zhì)點(diǎn)是同一質(zhì)點(diǎn)）。數(shù)學(xué)的圖形可是離散的點(diǎn)的點(diǎn)集。直線上的點(diǎn)集Z：……（這不是省略號）各點(diǎn)可作保距或非保距平移。至少有兩元的點(diǎn)（數(shù)）集 A各元x保距（偏離原位）變?yōu)閤′=x+△x組成元為點(diǎn)x′的B≌A。鐵球是鐵分子的集合A，A變形為鐵板是因其組織結(jié)構(gòu)變了，A平移到新位置成A′還是由移動前的所有鐵分子組成的集，這移動只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結(jié)構(gòu)。同樣，保距變換是剛體運(yùn)動從而不改變點(diǎn)集的組成成員和組織結(jié)構(gòu)。極顯然：點(diǎn)集Z各點(diǎn)任意交換位置后還是原點(diǎn)集Z，但點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離變大（小）后（集的組成成員沒變但組織結(jié)構(gòu)變了）就不能還是原點(diǎn)集了。所以不改變組成成員的變距變換必改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)。有了各點(diǎn)還須有規(guī)定各點(diǎn)如何排列聚集的法則才能確

定一點(diǎn)集 ；點(diǎn)還是這些點(diǎn)，但其可聚集成長度為c的直線段A也可聚集成長為c的圓弧等等，A還可伸長（收縮） 變長（短）為新線段（～A）還由A的全部點(diǎn)組成。在紙片A上畫上幾個質(zhì)點(diǎn)形成一點(diǎn)集。將A掛在畫有直角坐標(biāo)系的黑板上后再讓A沿黑板不斷移動（保距變換），此時各點(diǎn)的位置坐標(biāo)不斷變化但點(diǎn)集的組成成員、組織結(jié)構(gòu)、各成員（所畫上的那幾個點(diǎn)）之間的距離關(guān)系，始終都沒變。這說明：質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與質(zhì)點(diǎn)本身有根本區(qū)別從而使質(zhì)點(diǎn)集與數(shù)集有根本區(qū)別。

h定理4：至少有兩元的點(diǎn)（數(shù)）集A={x}（B={y}）任兩異元x與x+△x（y與y+△y）之間的距離是|△x|（|△y|），A≌B的必要條件是A各元x有對應(yīng)y（x）∈B且|△x|=|△y|即△y =±△x，充分必要條件是A、B各元有一一對應(yīng)關(guān)系：x？圮y=±x+常數(shù)c。

證：A≌B時A與B的元必可有一一對應(yīng)關(guān)系：x？圮y=y（x），距離|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x；而當(dāng)且僅當(dāng)y=y（x）=±x+c時才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。證畢。

同理，二、三維空間點(diǎn)集A≌B的必要條件是...。注：欲判斷A？奐R（各元均由x代表）與B？奐R是否≌時，若A各元均由x代表則B各元須均由y=y（x）（x∈A）代表，h定理4說明A各點(diǎn)x通過各種保距變換變?yōu)樾碌狞c(diǎn)x+△x的坐標(biāo)只能是y（x）=±x+c。在“一一對應(yīng)相等”中應(yīng)注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括號外的x和y=x+1的變域均為區(qū)間q=[0，1]，即q各元是x，當(dāng)變數(shù)x的變域是q時；q各元是y=x+1，當(dāng)x的變域是[-1，0]時；x可=a∈q，y=x+1也可=a∈q，各x=a（a的變域是q）與各y=x+1=a當(dāng)然可一一對應(yīng)相等：x=a？圮x+1=a（恒等變換），但要注意箭頭兩邊的x是不相等的。

h定理5：至少有4元的點(diǎn)集（設(shè)想是質(zhì)點(diǎn)集）K={x}的任何真子集A={x}？奐K都不可≌K。

證1：因保距變換不能改變點(diǎn)集的組成成員，故K去掉部分成員（元）變?yōu)锳？奐K是非保距變換使A不≌K。證2：A≌K的必要條件是K～A。據(jù)h定理3，A？奐K不～K故K不≌A。證畢。

N+={n≥1}？奐N，N各元n≥0保距變?yōu)閥=n+1>n生成～N的H={n+1≥1}（n≥0）≌N，中學(xué)幾百年“N+=H”其實是將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列的肉眼直觀錯覺。據(jù)h定理5，≌N的H不是N的任何真子集，據(jù)h定理3，H～N不是N的任何真子集——說明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有N外標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)y0=n0+1>n0∈N。高等數(shù)學(xué)是研究變量的，而凡變量必有變域，變數(shù)必可遍取其變域的一切數(shù)。區(qū)間Q=[0，n]∪（n，n+1]中的變數(shù)n≥0由0→∞遍取N一切數(shù)n時Q的子區(qū)間[0，n]由0→∞地變長而長到包含N一切數(shù)n∈[0，n]。據(jù)中學(xué)區(qū)間概念在各[0，n]（n的變域為N）之外還有自然數(shù)n+1∈（n，n+1]——表明有N外自然數(shù)∈H?！鞍磺幸阎獦?biāo)準(zhǔn)正數(shù)的R各數(shù)x均有對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)x+1和x/2以及xn（自然數(shù)n≥2）等等”。R所有非負(fù)元x≥0組成R+。若用變域為R+的x≥0替換Q中n≥0則據(jù)區(qū)間概念在R+之外還有標(biāo)準(zhǔn)正實數(shù)。

可見一系列論據(jù)分別均表明N是有界集！5千年不識Ω使自有數(shù)集（列）和函數(shù)概念幾百年來數(shù)學(xué)一直不知：有胡子的不一定是爹，由偶數(shù)2g =0，2，4，…和2g+1組成的集不一定是N而有可能是N的真子（擴(kuò)）集；從而使初等數(shù)學(xué)有幾百年重大錯誤：將根本不是N的真子集誤為N的真子集；將N的真子（擴(kuò)）集誤為N；將無窮多似是而非的假N誤為N；從而將非可數(shù)集誤為可數(shù)集。

三、不識“更無理”數(shù)使中學(xué)幾百年解析幾何一直將兩異直線段誤為同一線段——由發(fā)現(xiàn)無理數(shù)到發(fā)現(xiàn)“更無理”的標(biāo)準(zhǔn)無窮小、大正數(shù)竟須歷時2500年

（一）集合、幾何起碼常識凸顯直線A沿本身伸縮或平移后就≠A了

說R軸各元點(diǎn)x可沿軸保距平移變?yōu)辄c(diǎn)y=x+△x=x+1>x就是說R軸可沿軸正向平移距離1變?yōu)閥=x+1軸，其余類推。R各元x保序變?yōu)閥（x）=x+△x=kx生成I={y}各元y=kx中的正常數(shù)k若≈1則I各元y=kx≈x與R各元x一一對應(yīng)近似相等使I≈R（xy平面的直線y=kx≈x與直線y=x近似重合）；顯然當(dāng)且僅當(dāng)k=1時才有：I各元kx=x與R各元x一一對應(yīng)相等使I=R。可見數(shù)集相等概念表明x軸沿本身保序伸縮變換為y（x）=kx軸≠x軸（正常數(shù)k≠1）。

h定理6：至少有兩元的數(shù)集A非恒等變換地保序變換為B必≠A。

證：A各數(shù)在集內(nèi)分別都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的數(shù)，1是第二大的數(shù)，0是第三大的數(shù)；A各元x保序變?yōu)閤2組成B={0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的雞組成集合A和B，a（b）是A（B）中第n大的雞，顯然若A=B則a和b必是同一雞。任一A={x}各數(shù)x保序變?yōu)閥=y（x）組成B={y（x）}，x∈A在A中的大小“地位”與y（x）∈B在B中的大小地位是一樣的，顯然若A=B則x與y（x）必是同一數(shù)，故若y（x）不≡x則B≠A。證畢。

集合起碼常識a和幾何起碼常識c顯示自有變換（函數(shù)）概念幾百年來數(shù)學(xué)一直存在重大錯誤：將變動了的直（射）線誤為不變直（射）線。R軸即x軸各點(diǎn)x沿軸 非恒等變換地保序 平移變?yōu)辄c(diǎn)x′=x+1生成元為點(diǎn)x′的x′=x+1軸≌x軸疊壓在x軸上，中學(xué)數(shù)學(xué)一直認(rèn)定x軸=x′軸即函數(shù)x′=x+1的值域x′軸=x軸，因初中幾何有直線公理（有書“證明”這是定理）：過空間兩異位置點(diǎn)有且只能有一條直線。其實這是違反集合起碼常識a的肉眼直觀錯覺。理由：

（1）據(jù)h定理6，這 非恒等變換 前后的直線不相等（平面的直線：y=x（y 的變域是R）與y=x+1不重合；顯然若兩直線各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x與y=x+1能一一對應(yīng)相等則兩線必重合）。（2）有最小元的R+各元x≥0均有對應(yīng)x′=x+1>x，據(jù)h定理2，各x′∈x′軸并非均∈R+而必至少有一正數(shù)x′（∈x′軸）=η在R+外而>R一切數(shù)，顯然η是標(biāo)準(zhǔn)無窮大正數(shù)，而1/η是無窮小正數(shù)。所以R是有界集?。?）x軸即R軸有子部射線x≥0即射線R+，與x軸“重合”的x′軸也有射線x′≥0。R軸子部射線x≥-1（包含射線R+）沿R軸正向平移距離1變?yōu)樵獮辄c(diǎn)x′=x+1≥0的射線s（？奐x′=x+1軸）：x′=x+1≥0（x≥-1）疊壓在射線R+上。假設(shè)射線s=R+成立則據(jù)集合起碼常識a，s即射線x′=x+1≥0（x≥-1）的真子集：射線x′≥1各點(diǎn)x′=x+1≥1（x≥0）均有配偶x（≥0）∈R+的同時s的 其余點(diǎn) x′=x+1<1也必可有配偶x（≥0）∈R+，矛盾！因R+各點(diǎn)x≥0都已有配偶x′=x+1≥1（x≥0）而無單身與s的其余點(diǎn)配對，故假設(shè)不成立即s≠R+——說明x′=x+1軸≠x軸。

所以射（直）線A沿A正向平移非0距離變成的射（直）線B≌A中有元點(diǎn)“更無理”地突破了A的“框框”而在A外使B≌A不可是A的真子集。否定無理數(shù)使數(shù)學(xué)自相矛盾，否定“更無理”數(shù)使初等數(shù)學(xué)出現(xiàn)違反集合起碼常識a的尖銳自相矛盾。

區(qū)間[0，1]表示0與1及0與1之間所有數(shù)組成的集，但要注意下文表明[0，1]與[0，1]？奐x軸或x′軸等，是不同區(qū)間；...。數(shù)學(xué)將R+記為[0，+∞）。射線R+各元x≥0保序不保距 變?yōu)閥=x+△x=x2≥0組成{x2}=Y（不≌R+）疊壓在R+上，說R+=Y就是說Y是射線R+。“無界”的R+與Y分別都有區(qū)間A=[0，1]？奐R+和B=[0，1]？奐Y，顯然若R+=Y則A必=B。A？奐R+各元x不保距 變?yōu)閥=x2生成元為y的B（？奐Y）不≌A，據(jù)幾何起碼常識c，B≠A（所以中學(xué)幾百年“B=A”是違反幾何常識c的錯誤）——表明R+≠Y。同理A各點(diǎn)x非保距變?yōu)辄c(diǎn)x′=xk（正常數(shù)k≠1）生成元為點(diǎn)x′的集≠A。由此可見僅憑幾何起碼常識c就可證“無界”的相應(yīng)兩“重合”射（直）線是否真的重合。

R軸各點(diǎn)x沿軸平移變?yōu)辄c(diǎn)y=x+△x=2x生成元為點(diǎn)y的y=2x軸疊壓在x軸上。R軸的射線x≥1各元x≥1有對應(yīng)y=2x>x，據(jù)h定理2，各y∈y軸并非均∈射線x≥1而必至少有一標(biāo)準(zhǔn)無窮大正數(shù)y（∈y軸）在射線x≥1外而>R一切數(shù)使y軸≠x軸。所以R軸是有界圖形！

R軸即x軸各點(diǎn)x沿軸 非恒等變換地保序不保距 平移變?yōu)辄c(diǎn)x′=x+△x=0.5x生成元為點(diǎn)x′的x′=0.5x軸，中學(xué)一直認(rèn)定x軸=x′軸，因有直線公理。其實這是肉眼直觀錯覺。理由：（1）據(jù)h定理6這…。（2）x′=0.5x軸不≌x軸，據(jù)幾何起碼常識c，x′軸≠x軸。（3）有最大元的區(qū)間T=（0，2]？奐R各元x均有對應(yīng)x′=0.5x

由上可見僅憑h定理2、6就可證“無界”的R軸沿本身平移或伸縮（伸縮系數(shù)k>0且≠1可取無窮多數(shù)）可變?yōu)闊o窮多各異直線（均由標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)點(diǎn)組成）相互疊壓在一起，而中學(xué)幾百年解析幾何一直只識其中的一條直線且將無窮多各異直線誤為同一線：R軸。這是因數(shù)學(xué)一直不知有用而不知的R外標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)，不知伸縮前后的直線若組成成員相同則組織結(jié)構(gòu)不同，兩者是“同分異構(gòu)”體。所以“直線公理”和“R完備、封閉”論是“以井代天”的“井底”誤區(qū)。將各異直線誤為同一線自然就會將各異直線段誤為同一線段（以及將各異面誤為同一面）。

（二）幾何起碼常識c凸顯中學(xué)幾百年解析幾何一直將兩異直線段誤為同一線段——百年病態(tài)集論的癥結(jié)

流傳幾百年使世人深信不疑的中學(xué)函數(shù)“常識”：“定義域=[0，2]？奐R的y=x/2=0.5x的值域=[0，1]？奐R”其實是違反幾何起碼常識c的肉眼直觀錯覺。直線段L=[0，2]？奐x軸有子部線段D=[0，1]？奐x軸即L=D∪（1，2]？奐L，L各元點(diǎn)x沿x軸負(fù)向平移變?yōu)辄c(diǎn)x′=x+△x=0.5x生成元為點(diǎn)x′的線段D′（～L）=[0，1]？奐x′=0.5x軸?！獿的D′≠D？奐L（表明x軸≠x′=0.5x軸）的理由：

（1）L=[0，2]？奐x軸各點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)x′=0.5x∈D′生成D′（～L）=[0，1]？奐x′軸。將3斤重的一包餅干A壓縮成壓縮餅干B使B的體積遠(yuǎn)小于A的體積，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結(jié)果...。這是致命錯誤。同樣，據(jù)h定理3（此理成立的依據(jù)是集合起碼常識a），D′～L不是L的子部D=[0，1]？奐L即線段L收縮成D′～L不能成為L的一部分D，中學(xué)的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯誤。L壓縮變短為D′～L是改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)的變換。D任兩異元點(diǎn)間的距離是|△x|>0，這兩點(diǎn)的對應(yīng)兩點(diǎn)∈D′之間的距離是|△x′|=|0.5△x|<|△x|說明D′與D有不同的組織結(jié)構(gòu)。（2）據(jù)h定理3，～L的D′不是L的任何真子集說明≠L的D′各元x′=0.5x并非均∈L而其中必有數(shù)學(xué)一直未能識的“特異”的x′=0.5x=t在L？勱D外。以上的（一）已證明在D′=[0，1]？奐x′軸中有無窮小正數(shù)x′=0.5x

（4）假設(shè)D′={0.5x}=D={x}成立則D=D′各元均由x代表的同時也均可由0.5x∈D′代表，在D=D′方各元0.5x 與L～D′方各元x一一配對后再令D=D′各元0.5x改與=自己的數(shù)0.5x∈L=D∪（1，2]？奐L配對使D方保持無單身，據(jù)改偶定理L方也只有0個單身；然而事實上因L方的D？奐L各元與D=D′方各元如此配對后就將D=D′方的元配光了從而使L=D∪（1，2]？奐L中D以外的數(shù)∈（1，2]？奐L都不可有配偶∈D=D′而成單身。故假設(shè)不成立“D′=D”是一種錯覺。

中學(xué)將D′～L和D？奐L誤為同一線段使康脫推出錯上加錯的病態(tài)理論：L～D？奐L。“=D卻不≌D的D′”中的D′=D因違反幾何起碼常識c從而確“是自相矛盾的非集[1]”，而真正的無窮集D′≠D。將一根針全部插入一蠟燭內(nèi)，針不能成為蠟，但肉眼不能察覺蠟燭內(nèi)有非蠟的針；同樣，D′與D是貌似重合的偽二重直線段，兩者只有重疊或相互嵌入關(guān)系而無重合關(guān)系，D′∪D≠D；但“肉眼”階段的數(shù)學(xué)一直不能察覺D′與D似是而非，不能察覺D′中有R外標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)，從而被偽二重集迷惑。

設(shè)射線x≥0去掉起點(diǎn)x=0后就成為“缺起點(diǎn)”射線x>0。[6]書將R軸一切正數(shù)點(diǎn)x組成的射線x>0稱為正實軸。復(fù)平面z=x+iy的點(diǎn)z=0的對應(yīng)點(diǎn)w=z2=0。[6]書208頁：映射w（z）=zn（自然數(shù)n≥2）將正實軸z=x>0映射成正實軸w=zn=xn>0。說射線z=x>0的象w=zn=xn>0也是射線是正確的，但說這象=原象就違反幾何起碼常識c了，因映射z？圮w=zn是非保距映射使象不≌原象從而更≠原象。據(jù)h定理6和幾何起碼常識c可證中學(xué)一直將無窮多各異射線x≥0、x2≥0、x3≥0、...、2x2≥0、3x2≥0、...誤為同一線。

四、將“非常高深理論”還原為非常樸實科學(xué)常識勢必能大大減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和縮短學(xué)制——推翻巴拿赫-塔爾斯基分球定理

幾何學(xué)有一病態(tài)的巴拿赫-塔爾斯基分球定理，據(jù)此定理可推出“一顆豌豆可變成碩大無比的太陽”；據(jù)h定理可證此“高深莫測”的“定理”的癥結(jié)是將“自相矛盾的非集[1]”誤為無窮集，從而將偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形。

學(xué)習(xí)上不能滿足于只知其然不知其所以然的低層次淺薄。傅種孫：“有多邊形于此，截去一角所余必不與原形等積。試問何以知其然？答道‘全體大于部分。區(qū)區(qū)6字就解決了。事實上問題并不是這樣簡單，須知希爾伯特費(fèi)十?dāng)?shù)頁的篇幅才把它解決的?！保ā稊?shù)學(xué)通報》1962/11，25頁）——可見“全體大于部分”的正確性使希爾伯特費(fèi)十?dāng)?shù)頁的篇幅才能解決的問題只用區(qū)區(qū)6字就解決了。本來根據(jù)連小學(xué)生也一看就知的非常樸實的幾何常識就能證明的小學(xué)數(shù)學(xué)題卻要“故弄玄虛”地變?yōu)樾钃?jù)“非常高深理論”費(fèi)十?dāng)?shù)頁才能證明的大學(xué)數(shù)學(xué)題，這是典型的化簡為繁、化清為濁。數(shù)學(xué)的證明中有不少類似這樣化簡為繁的例子（例對隱函數(shù)存在定理的證明）。這勢必大大增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)（使“減負(fù)”成空話）和不得不延長學(xué)制。產(chǎn)生出遠(yuǎn)遠(yuǎn)脫離實際從而對經(jīng)濟(jì)建設(shè)和加強(qiáng)國防毫無用處的“高深莫測”“數(shù)學(xué)”的癥結(jié)是對數(shù)與形的認(rèn)識有驚人淺薄和極重大錯誤；“深入才能淺出，淺入就只能深出?！薄凹賯魅f卷書，真?zhèn)饕痪湓?。”正確反映現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)才是真正的數(shù)學(xué)。

五、結(jié)語

“區(qū)區(qū)6字就能解決”變成“費(fèi)十?dāng)?shù)頁才能解決”現(xiàn)象說明百多年集論百多年來浪費(fèi)了億萬學(xué)生（包括物理、哲學(xué)、邏輯學(xué)專業(yè)的學(xué)生）大量寶貴時間（“時間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學(xué)費(fèi)。育人課本的重大錯誤造成的重大經(jīng)濟(jì)損失一點(diǎn)也不亞于經(jīng)濟(jì)建設(shè)的重大錯誤造成的經(jīng)濟(jì)損失，是否及時糾正與每一人的切身利益息息相關(guān)。沒思維望遠(yuǎn)（顯微）鏡的“肉眼”數(shù)學(xué)被無窮對象中的假象迷惑從而陷入以井代天和張冠李戴的“井底蛙”誤區(qū)，這誤區(qū)使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態(tài)理論。破除迷信、解放思想、實事求是才能創(chuàng)造5千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學(xué)發(fā)生革命飛躍：從“井底”一下子躍出進(jìn)入到認(rèn)識“更無理”的數(shù)和圖形的時代從而不再被蒙在“井”里；從肉眼數(shù)學(xué)一下子突變成科學(xué)慧眼數(shù)學(xué)。

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